Chapitre 2 — Fonctions affines et pourcentages · coursX Comparer deux fonctions affines

Sommaire du chapitre

I — Appliquer un pourcentage
- Méthode 1 — Calculer $t %$ d'une quantité
- Méthode 2 — Augmenter ou diminuer une quantité de $t %$
II — Calculer un pourcentage
- Méthode 3 — Calculer une proportion en pourcentage
- Méthode 4 — Calculer un taux d'évolution
III — Coefficient multiplicateur
- Méthode 5 — Appliquer une évolution avec le coefficient multiplicateur
IV — Évolutions successives, évolution réciproque
- Méthode 6 — Calculer un taux d'évolution global
- Méthode 7 — Vérifier qu'une évolution en compense une autre
V — Fonctions affines : image, antécédent
- Méthode 8 — Calculer une image
- Méthode 9 — Calculer un antécédent
VI — Trouver une fonction affine
- Méthode 10 — Déterminer une fonction affine
VII — Tracer une fonction affine
- Méthode 11 — Tracer la droite d'une fonction affine
- Méthode 12 — Utiliser une fonction linéaire (proportionnalité)
VIII — Lire l'équation d'une droite
- Méthode 13 — Lire l'équation réduite d'une droite
IX — Signe d'une fonction affine
- Méthode 14 — Dresser le tableau de signes d'une fonction affine
X — Comparer deux fonctions affines
- Méthode 15 — Comparer deux offres

Méthode 15 — Comparer deux offres

Exemples corrigés

Une agence loue une camionnette à la journée. Tarif A : $20$ €, plus $0, 50$ € par km ; tarif B : $80$ €, plus $0, 20$ € par km. On note $f (x)$ et $g (x)$ les prix pour $x$ km. Quel tarif choisir selon la distance ? Le graphique ci-contre représente les deux tarifs.

Correction

Résolution

f (x) = 0, 5 x + 20

g (x) = 0, 2 x + 80

partie fixe, plus le prix d'un km

Les droites se coupent au point

(200; 120)

; avant

200

km, la droite de A est en dessous.

lecture graphique

0, 5 x + 20

= 0, 2 x + 80

même prix pour les deux tarifs

0, 3 x

= 60

on retire

0, 2 x

20

x

= 200

\frac{60}{0 , 3} = \frac{600}{3}

Pour moins de

200

km, le tarif A est le moins cher ; au-delà, le tarif B. Pour

200

km, les deux coûtent

120

€.

on conclut dans le contexte

À vous de jouer

1°)
Résoudre $4 x + 3 = x + 12$ ; puis $6 x - 5 = 2 x + 11$ ; puis $2 x + 5 = - 4 x + 8$ .
2°)
Salle A : $20$ € d'inscription et $30$ € par mois ; salle B : $100$ € d'inscription et $20$ € par mois. À partir de combien de mois la salle B est-elle la moins chère ?

Correction

1°)

4 x + 3

= x + 12

3 x

= 9

on retire

x

3

x

= 3

6 x - 5

= 2 x + 11

4 x

= 16

x

= 4

2 x + 5

= - 4 x + 8

6 x

= 3

on ajoute

4 x

, on retire

5

x

= 0, 5

2°)

Salle A :

30 x + 20

; salle B :

20 x + 100

, pour

x

mois.

partie fixe, plus le prix des mois

30 x + 20

= 20 x + 100

même prix pour les deux salles

10 x

= 80

x

= 8

Pour

8

mois, les deux salles coûtent

260

€ ; au-delà, la salle B est la moins chère, donc à partir de

9

mois.

chaque mois coûte

10

€ de moins en salle B

À faire : exercices 42 à 44, puis les exercices de type épreuve 45 à 47

Exercice 42 — Équations

Résoudre chaque équation.

6 x + 5 = 4 x + 11

3 x - 2 = x + 8

2 x + 3 = 5 x - 9

4 x + 1 = - 2 x + 4

Corrigé

6 x + 5

= 4 x + 11

2 x

= 6

x

= 3

3 x - 2

= x + 8

2 x

= 10

x

= 5

2 x + 3

= 5 x - 9

- 3 x

= - 12

x

= 4

4 x + 1

= - 2 x + 4

6 x

= 3

x

= 0, 5

En d), on ajoute $2 x$ des deux côtés : $4 x + 2 x = 6 x$ .

Exercice 43 — Deux offres d'emploi

Une commerciale hésite entre deux sociétés. Société A : $1200$ € par mois, plus $10 %$ des ventes. Société B : $800$ € par mois, plus $20 %$ des ventes. On note $x$ le montant des ventes du mois, en euros.

a)
Exprimer les salaires $f (x)$ et $g (x)$ proposés par A et par B.
b)
Pour quel montant de ventes les deux salaires sont-ils égaux ?
c)
Elle pense vendre pour $5000$ € par mois. Quelle société choisir ?

Corrigé

a) $f (x) = 0, 1 x + 1200$ et $g (x) = 0, 2 x + 800$ .

0, 1 x + 1200

= 0, 2 x + 800

400

= 0, 1 x

x

= 4000 €

c) $f (5000) = 500 + 1200 = 1700$ et $g (5000) = 1000 + 800 = 1800$ : $soci \overset{e}{ˊ} t \overset{e}{ˊ} B$ .

En dessous de $4000$ € de ventes, la société A est plus intéressante.

Exercice 44 — Deux formules de piscine

Formule A : $5$ € l'entrée. Formule B : abonnement de $24$ €, puis $2$ € l'entrée. Le graphique donne le prix payé selon le nombre $x$ d'entrées.

a)
Exprimer les prix $f (x)$ et $g (x)$ des formules A et B.
b)
Lire les coordonnées du point d'intersection des deux droites.
c)
Retrouver ce résultat par le calcul.
d)
Quelle formule choisir selon le nombre d'entrées ?

Corrigé

a)
$f (x) = 5 x$ et $g (x) = 2 x + 24$ .
b)
Intersection : $(8; 40)$ .
c)
$5 x = 2 x + 24$ , donc $3 x = 24$ et $x = 8$ ; $f (8) = 40$ .
d)
Moins de $8$ entrées : $A$ ; plus de $8$ : $B$ ; pour $8$ entrées, les deux coûtent $40$ €.

Exercice 45 — Automatismes (QCM)

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

1.
$30 %$ de $70$ est égal à :

a) $21$ b) $210$ c) $40$ d) $2, 1$
2.
Un article à $100$ € augmente de $20 %$ , puis baisse de $20 %$ . Il coûte :

a) $100$ € b) $96$ €c) $104$ €d) $80$ €
3.
Lequel de ces nombres est inférieur à $0, 2$ ?

a) $\frac{1}{4}$ b) $25 %$ c) $\frac{1}{8}$ d) $0, 3$
4.
Une baisse de $20 %$ est compensée par une hausse de :

a) $20 %$ b) $25 %$ c) $80 %$ d) $120 %$
5.
La droite qui passe par $A (2; 1)$ et $B (4; 7)$ a pour coefficient directeur :

a) $3$ b) $\frac{1}{3}$ c) $2$ d) $- 3$
6.
La fonction $f (x) = 3 x - 4$ est :

a) croissante b) décroissante c) constante
7.
L'antécédent de $13$ par $f (x) = 2 x + 3$ est :

a) $29$ b) $5$ c) $8$ d) $6, 5$
8.
Le point d'abscisse $3$ de la droite d'équation $y = - 2 x + 4$ a pour ordonnée :

a) $- 2$ b) $10$ c) $2$ d) $- 10$
9.
Une distance de $x$ miles vaut $1, 6 x$ kilomètres. Pour $x = 25$ , cela fait :

a) $40$ km b) $26, 6$ kmc) $15, 6$ kmd) $4$ km

Corrigé

1°)
$a$ : $3 \times 7 = 21$ ( $10 %$ de $70$ font $7$ ).
2°)
$b$ : $100 \times 1, 2 \times 0, 8 = 100 \times 0, 96$ .
3°)
$c$ : $\frac{1}{8} = 0, 125$ ( $\frac{1}{4} = 25 % = 0, 25$ ).
4°)
$b$ : $0, 8 \times 1, 25 = 1$ .
5°)
$a$ : $\frac{7 - 1}{4 - 2} = \frac{6}{2}$ .
6°)
$a$ : $a = 3 > 0$ .
7°)
$b$ : $2 x + 3 = 13$ donne $2 x = 10$ .
8°)
$a$ : $- 6 + 4 = - 2$ .
9°)
$a$ : $1, 6 \times 25 = 40$ .

Exercice 46 — Les inscrits d'un club de judo

Une feuille de calcul donne le nombre d'inscrits d'un club de judo.

	A	B	C	D	E
1	Année	2020	2021	2022	2023
2	Rang $x$	$0$	$1$	$2$	$3$
3	Inscrits	$180$	$171$	$166$	$156$
4	Taux d'évolution	$\times$

1.
Calculer le taux d'évolution du nombre d'inscrits entre 2020 et 2021.
2.
Quelle formule saisir en C4 pour obtenir, par recopie vers la droite, les taux d'évolution d'une année sur l'autre ?
3.
On modélise le nombre d'inscrits par $f (x) = - 8 x + 180$ , où $x$ est le rang de l'année. Donner le sens de variation de $f$ et interpréter $- 8$ .
4.
Selon ce modèle, combien d'inscrits y aura-t-il en 2028 ?
5.
À partir de quelle année y aura-t-il moins de $100$ inscrits ?

Corrigé

1°)
$t = \frac{171 - 180}{180} = \frac{- 9}{180}$ , soit $t = - 0, 05$ : $- 5 %$ .
2°)
$=(C3-B3)/B3$
3°)
$a = - 8 < 0$ : $f$ est $d \overset{e}{ˊ} croissante$ ; chaque année, le club compte $8$ inscrits de moins.
4°)
2028 : $x = 8$ ; $f (8) = - 64 + 180 = 116$ inscrits.
5°)
On résout l'inéquation :

$- 8 x + 180$
$< 100$
$- 8 x$
$< - 80$
$x$
$> 10$
on divise par $- 8$ : le sens change

Premier entier : $x = 11$ , soit $2031$ ( $f (10) = 100$ n'est pas « moins de $100$ »).

Exercice 47 — Les soldes

Un magasin fait une remise de $25 %$ sur un casque à $80$ € et de $10 %$ sur une enceinte à $120$ €.

1.
Calculer le prix soldé de chaque article.
2.
On achète les deux articles. Calculer le prix total payé, puis le pourcentage global de remise.
3.
Après les soldes, le prix de l'enceinte augmente de $10 %$ . Revient-il à $120$ € ?

Corrigé

1°)
Casque : $80 \times 0, 75 = 60 €$ ; enceinte : $120 \times 0, 9 = 108 €$ .
2°)
Total : $60 + 108 = 168 €$ au lieu de $200$ € ; $t = \frac{168 - 200}{200} = \frac{- 32}{200}$ , soit une remise globale de $16 %$ .
3°)
$108 \times 1, 1 = 118, 80$ : $non$ ( $0, 9 \times 1, 1 = 0, 99$ et $0, 99 \neq = 1$ ).

La remise globale n'est ni $35 %$ ni la moyenne $17, 5 %$ : l'enceinte, plus chère, pèse davantage.