Chapitre 2 — Fonctions affines et pourcentages · coursIX Signe d'une fonction affine

Sommaire du chapitre

I — Appliquer un pourcentage
- Méthode 1 — Calculer $t %$ d'une quantité
- Méthode 2 — Augmenter ou diminuer une quantité de $t %$
II — Calculer un pourcentage
- Méthode 3 — Calculer une proportion en pourcentage
- Méthode 4 — Calculer un taux d'évolution
III — Coefficient multiplicateur
- Méthode 5 — Appliquer une évolution avec le coefficient multiplicateur
IV — Évolutions successives, évolution réciproque
- Méthode 6 — Calculer un taux d'évolution global
- Méthode 7 — Vérifier qu'une évolution en compense une autre
V — Fonctions affines : image, antécédent
- Méthode 8 — Calculer une image
- Méthode 9 — Calculer un antécédent
VI — Trouver une fonction affine
- Méthode 10 — Déterminer une fonction affine
VII — Tracer une fonction affine
- Méthode 11 — Tracer la droite d'une fonction affine
- Méthode 12 — Utiliser une fonction linéaire (proportionnalité)
VIII — Lire l'équation d'une droite
- Méthode 13 — Lire l'équation réduite d'une droite
IX — Signe d'une fonction affine
- Méthode 14 — Dresser le tableau de signes d'une fonction affine
X — Comparer deux fonctions affines
- Méthode 15 — Comparer deux offres

Propriété 7 — Signe de $a x + b$ (avec $a \neq = 0$ )

$a x + b$ s'annule pour une seule valeur, $x = - \frac{b}{a}$ (solution de $a x + b = 0$ ).

Si $a > 0$ (la droite monte), $a x + b$ est négatif avant cette valeur et positif après.
Si $a < 0$ (la droite descend), $a x + b$ est positif avant et négatif après.

À retenir : dans le tableau de signes, à droite du zéro, on écrit le signe de $a$ .

Méthode 14 — Dresser le tableau de signes d'une fonction affine

Exemples corrigés

a)
Dresser le tableau de signes de $f (x) = 3 x - 12$ .
b)
Dresser le tableau de signes de $g (x) = - 5 x + 2$ .
c)
Une entreprise vend $x$ objets ; son bénéfice, en euros, est $B (x) = 4 x - 60$ . À partir de combien d'objets vendus le bénéfice est-il positif ?

Correction

3 x - 12

= 0

où placer le

0

x

= 4

3 x = 12

a = 3 > 0

+

à droite du

0

- 5 x + 2

= 0

x

= 0, 4

- 5 x = - 2

a = - 5 < 0

-

à droite du

0

4 x - 60

= 0

x

= 15

4 x = 60

a = 4 > 0

B (x)

est négatif avant

15

, positif après.

Le bénéfice est positif à partir de

16

objets vendus.

il est nul pour

15

objets

À vous de jouer

Dresser le tableau de signes de chaque fonction :

f (x) = 2 x + 8

g (x) = - x + 3

h (x) = 0, 5 x - 3

Correction

$f$

2 x + 8

= 0

où placer le

0

x

= - 4

2 x = - 8

a = 2 > 0

+

à droite du

0

$g$

- x + 3

= 0

x

= 3

a = - 1 < 0

-

à droite du

0

$h$

0, 5 x - 3

= 0

x

= 6

0, 5 x = 3

a = 0, 5 > 0

+

à droite du

0

À faire : exercices 39 à 41

Exercice 39 — Tableaux de signes

Pour chaque fonction, calculer la valeur qui l'annule, puis dresser son tableau de signes.

f (x) = 3 x - 9

g (x) = - 2 x + 8

h (x) = 4 x + 12

k (x) = - 0, 5 x + 3

Corrigé

a) $3 x - 9 = 0$ , $x = 3$ ; $a > 0$

b) $- 2 x + 8 = 0$ , $x = 4$ ; $a < 0$

c) $4 x + 12 = 0$ , $x = - 3$ ; $a > 0$

d) $- 0, 5 x + 3 = 0$ , $x = 6$ ; $a < 0$

À droite du zéro, le signe de $a$ ; à gauche, le signe contraire.

Exercice 40 — Positif ou négatif ?

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

1.
$f (x) = - 5 x + 2$ est positif ou nul pour :

a) $x ⩽ 0, 4$ b) $x ⩾ 0, 4$

c) $x ⩽ - 0, 4$ d) $x ⩾ - 0, 4$
2.
$3 x + 12$ est strictement négatif pour :

a) $x > - 4$ b) $x < 4$ c) $x < - 4$ d) $x > 4$

Corrigé

1°)
$a$ : $- 5 x + 2 = 0$ pour $x = 0, 4$ et $a < 0$ : positif avant $0, 4$ .
2°)
$c$ : $3 x + 12 = 0$ pour $x = - 4$ et $a > 0$ : négatif avant $- 4$ .

Exercice 41 — Un bénéfice

Un food-truck vend $x$ repas par jour, avec $x$ entre $0$ et $80$ . Son bénéfice, en euros, est $B (x) = 5 x - 150$ .

a)
Calculer $B (0)$ et interpréter ce résultat.
b)
Résoudre $B (x) = 0$ .
c)
Dresser le tableau de signes de $B (x)$ pour $x$ entre $0$ et $80$ .
d)
À partir de combien de repas vendus le bénéfice est-il positif ?

Corrigé

a)
$B (0) = - 150$ : sans vente, le food-truck perd $150$ € (ses frais fixes).
b)
$5 x - 150 = 0$ , donc $5 x = 150$ et $x = 30$ .
c)
$a = 5 > 0$ :
d)
Le bénéfice est positif à partir de $31$ repas (nul pour $30$ ).

Chapitre 2 — Fonctions affines et pourcentages · coursIX Signe d'une fonction affine

Propriété 7 — Signe de ax+b (avec a=0)

Méthode 14 — Dresser le tableau de signes d'une fonction affine

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 39 — Tableaux de signes

Exercice 40 — Positif ou négatif ?

Exercice 41 — Un bénéfice

Propriété 7 — Signe de $a x + b$ (avec $a \neq = 0$ )