Chapitre 2 — Fonctions affines et pourcentages · coursV Fonctions affines : image, antécédent

Sommaire du chapitre

I — Appliquer un pourcentage
- Méthode 1 — Calculer $t %$ d'une quantité
- Méthode 2 — Augmenter ou diminuer une quantité de $t %$
II — Calculer un pourcentage
- Méthode 3 — Calculer une proportion en pourcentage
- Méthode 4 — Calculer un taux d'évolution
III — Coefficient multiplicateur
- Méthode 5 — Appliquer une évolution avec le coefficient multiplicateur
IV — Évolutions successives, évolution réciproque
- Méthode 6 — Calculer un taux d'évolution global
- Méthode 7 — Vérifier qu'une évolution en compense une autre
V — Fonctions affines : image, antécédent
- Méthode 8 — Calculer une image
- Méthode 9 — Calculer un antécédent
VI — Trouver une fonction affine
- Méthode 10 — Déterminer une fonction affine
VII — Tracer une fonction affine
- Méthode 11 — Tracer la droite d'une fonction affine
- Méthode 12 — Utiliser une fonction linéaire (proportionnalité)
VIII — Lire l'équation d'une droite
- Méthode 13 — Lire l'équation réduite d'une droite
IX — Signe d'une fonction affine
- Méthode 14 — Dresser le tableau de signes d'une fonction affine
X — Comparer deux fonctions affines
- Méthode 15 — Comparer deux offres

Définition 5 — Fonction affine

Une fonction $f$ est affine quand il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout réel $x$ :

f (x) = a x + b

$a$ est le coefficient directeur, $b$ l'ordonnée à l'origine.

Si $b = 0$ , $f (x) = a x$ : $f$ est linéaire (proportionnalité).
Si $a = 0$ , $f (x) = b$ : $f$ est constante.

Méthode 8 — Calculer une image

Exemples corrigés

a)
Soit $f (x) = - 3 x + 8$ . Calculer $f (2)$ et $f (- 5)$ .
b)
VTC : calculer le prix d'une course de $12$ km.

Correction

f (2)

= - 3 \times 2 + 8

on remplace

x

par

2

f (2)

= 2

f (- 5)

= - 3 \times (- 5) + 8

parenthèses autour de

- 5

f (- 5)

= 23

15 + 8

f (12)

= 2 \times 12 + 5

f (12)

= 29

La course coûte

29

€.

on répond dans le contexte

À vous de jouer

1°)
Soit $f (x) = 4 x - 7$ . Calculer $f (0)$ , $f (3)$ et $f (- 2)$ .
2°)
Soit $h (x) = 0, 5 x + 3$ . Calculer $h (10)$ et $h (- 4)$ .
3°)
VTC : calculer le prix d'une course de $8$ km.

Correction

1°)

f (0)

= 4 \times 0 - 7

on remplace

x

par

0

f (0)

= - 7

f (3)

= 4 \times 3 - 7 = 5

f (- 2)

= 4 \times (- 2) - 7

parenthèses autour de

- 2

f (- 2)

= - 15

2°)

h (10)

= 0, 5 \times 10 + 3 = 8

h (- 4)

= 0, 5 \times (- 4) + 3

h (- 4)

= 1

- 2 + 3

3°)

f (8)

= 2 \times 8 + 5

le prix du VTC :

f (x) = 2 x + 5

f (8)

= 21

La course coûte

21

€.

on répond dans le contexte

Méthode 9 — Calculer un antécédent

Exemples corrigés

a)
Soit $f (x) = 4 x - 7$ . Calculer l'antécédent de $9$ .
b)
VTC : une course a coûté $35$ €. Quelle distance a-t-on parcourue ?

Correction

4 x - 7

= 9

on écrit

f (x) = 9

4 x

= 16

on ajoute

7

x

= 4

on divise par

4

L'antécédent de

9

est

4

. Contrôle :

f (4) = 16 - 7 = 9

2 x + 5

= 35

on écrit

f (x) = 35

2 x

= 30

on retire

5

x

= 15

on divise par

2

On a parcouru

15

km.

À vous de jouer

1°)
Soit $f (x) = - 3 x + 8$ . Calculer l'antécédent de $14$ , puis celui de $2$ .
2°)
VTC : une course a coûté $45$ €. Quelle distance a-t-on parcourue ?
3°)
Soit $h (x) = 5 x + 2$ . Résoudre $h (x) = - 8$ .

Correction

1°)

- 3 x + 8

= 14

on écrit

f (x) = 14

- 3 x

= 6

on retire

8

x

= - 2

on divise par

- 3

L'antécédent de

14

est

- 2

. Contrôle :

f (- 2) = 6 + 8 = 14

- 3 x + 8

= 2

on écrit

f (x) = 2

- 3 x

= - 6

x

= 2

L'antécédent de

2

est

2

contrôle :

f (2) = - 6 + 8 = 2

2°)

2 x + 5

= 45

on écrit

f (x) = 45

2 x

= 40

on retire

5

x

= 20

On a parcouru

20

km.

3°)

5 x + 2

= - 8

5 x

= - 10

x

= - 2

La solution est

- 2

contrôle :

h (- 2) = - 10 + 2 = - 8

À faire : exercices 24 à 27

Exercice 24 — Affine ou non ?

Dire si chaque fonction est affine ; si oui, donner $a$ et $b$ .

f (x) = 5 x + 1

g (x) = x^{2} - 3

h (x) = 2 - 3 x

k (x) = \frac{2}{x}

m (x) = 1, 5 x

n (x) = - 4

Corrigé

a)
$affine$ , $a = 5$ et $b = 1$
b)
$non$ (carré de $x$ )
c)
$affine$ , $a = - 3$ et $b = 2$
d)
$non$ ( $x$ au dénominateur)
e)
$affine$ (linéaire), $a = 1, 5$ et $b = 0$
f)
$affine$ (constante), $a = 0$ et $b = - 4$

$2 - 3 x = - 3 x + 2$ : le coefficient de $x$ est $a$ , même s'il est écrit en second.

Exercice 25 — Images

Soit $f (x) = 3 x - 4$ et $g (x) = - 4 x + 6$ .

a)
Calculer $f (0)$ , $f (2)$ , $f (- 1)$ et $f (0, 5)$ .
b)
Calculer $g (0)$ , $g (2)$ , $g (- 3)$ et $g (1, 5)$ .

Corrigé

a)
$f (0) = - 4$ ; $f (2) = 2$ ; $f (- 1) = - 7$ ; $f (0, 5) = - 2, 5$
b)
$g (0) = 6$ ; $g (2) = - 2$ ; $g (- 3) = 18$ ; $g (1, 5) = 0$

$g (- 3) = - 4 \times (- 3) + 6 = 12 + 6$ : parenthèses autour de $- 3$ .

Exercice 26 — Antécédents

Calculer chaque antécédent par une équation.

a)
$f (x) = 3 x + 9$ : calculer l'antécédent de $15$ , de $0$ , puis de $- 6$ .
b)
$g (x) = - 2 x + 8$ : calculer l'antécédent de $0$ , puis de $14$ .
c)
$h (x) = 0, 5 x - 2$ : résoudre $h (x) = 3$ .

Corrigé

a) Antécédent de $15$ :

3 x + 9

= 15

3 x

= 6

x

= 2

De même : $3 x = - 9$ , antécédent de $0$ : $- 3$ ; $3 x = - 15$ , antécédent de $- 6$ : $- 5$ .

b) Antécédent de $14$ :

- 2 x + 8

= 14

- 2 x

= 6

x

= - 3

Antécédent de $0$ : $- 2 x = - 8$ , soit $4$ .

c) $0, 5 x - 2 = 3$ , donc $0, 5 x = 5$ et $x = 10$ .

Exercice 27 — Deux tarifs

Répondre à chaque question par un calcul.

a)
Un dépanneur facture $40$ € de déplacement et $1, 50$ € par km. Exprimer le prix $T (x)$ pour $x$ km. Quelle distance a-t-il parcourue pour $70$ € ?
b)
Une salle de réception se loue $200$ €, plus $15$ € par invité. Exprimer le prix $S (x)$ pour $x$ invités. Calculer $S (40)$ . Combien d'invités pour $650$ € ?

Corrigé

a) $T (x) = 1, 5 x + 40$ .

1, 5 x + 40

= 70

1, 5 x

= 30

x

= 20

\frac{30}{1 , 5} = \frac{300}{15}

Le dépanneur a parcouru $20$ km.

b) $S (x) = 15 x + 200$ ; $S (40) = 600 + 200 = 800 €$ .

15 x + 200

= 650

15 x

= 450

x

= 30 invit \overset{e}{ˊ} s