Chapitre 2 — Fonctions affines et pourcentages · coursIV Évolutions successives, évolution réciproque

Sommaire du chapitre

I — Appliquer un pourcentage
- Méthode 1 — Calculer $t %$ d'une quantité
- Méthode 2 — Augmenter ou diminuer une quantité de $t %$
II — Calculer un pourcentage
- Méthode 3 — Calculer une proportion en pourcentage
- Méthode 4 — Calculer un taux d'évolution
III — Coefficient multiplicateur
- Méthode 5 — Appliquer une évolution avec le coefficient multiplicateur
IV — Évolutions successives, évolution réciproque
- Méthode 6 — Calculer un taux d'évolution global
- Méthode 7 — Vérifier qu'une évolution en compense une autre
V — Fonctions affines : image, antécédent
- Méthode 8 — Calculer une image
- Méthode 9 — Calculer un antécédent
VI — Trouver une fonction affine
- Méthode 10 — Déterminer une fonction affine
VII — Tracer une fonction affine
- Méthode 11 — Tracer la droite d'une fonction affine
- Méthode 12 — Utiliser une fonction linéaire (proportionnalité)
VIII — Lire l'équation d'une droite
- Méthode 13 — Lire l'équation réduite d'une droite
IX — Signe d'une fonction affine
- Méthode 14 — Dresser le tableau de signes d'une fonction affine
X — Comparer deux fonctions affines
- Méthode 15 — Comparer deux offres

Propriété 2 — Évolutions successives

Le coefficient multiplicateur global de plusieurs évolutions successives est le produit de leurs coefficients multiplicateurs :

C_{M global} = C_{M 1} \times C_{M 2} \times \dots

Une même évolution répétée $n$ fois a pour coefficient global $C_{M}^{n}$ (suite géométrique de raison $C_{M}$ , chapitre 1).

Méthode 6 — Calculer un taux d'évolution global

Exemples corrigés

Calculer le taux d'évolution global dans chaque cas.

a)
Un prix augmente de $20 %$ , puis baisse de $20 %$ .
b)
Le chiffre d'affaires d'un magasin augmente de $10 %$ en 2025, puis de $30 %$ en 2026.
c)
Un loyer augmente de $4 %$ par an pendant $3$ ans. On donne $1, 0 4^{3} ≃ 1, 12$ .

Correction

C_{M}

= 1, 2 \times 0, 8

produit des coefficients

C_{M}

= 0, 96

0, 96 = 1 - 0, 04

Globalement, le prix a baissé de

4 %

C_{M}

= 1, 1 \times 1, 3

C_{M}

= 1, 43

1, 43 = 1 + 0, 43

Le chiffre d'affaires a augmenté de

43 %

et non de

40 %

C_{M}

= 1, 0 4^{3}

la même évolution trois fois

C_{M}

≃ 1, 12

Le loyer a augmenté d'environ

12 %

3

ans.

et non de

12 %

exactement :

1, 0 4^{3} = 1, 124864

À vous de jouer

Calculer le taux d'évolution global dans chaque cas :

1°)
une hausse de $50 %$ , puis une baisse de $40 %$ ;
2°)
deux baisses successives de $10 %$ ;
3°)
une hausse de $20 %$ par an pendant $2$ ans.

Correction

1°)

C_{M}

= 1, 5 \times 0, 6

produit des coefficients

C_{M}

= 0, 9

0, 9 = 1 - 0, 1

Globalement, baisse de

10 %

et non une hausse de

10 %

2°)

C_{M}

= 0, 9 \times 0, 9

C_{M}

= 0, 81

0, 81 = 1 - 0, 19

Globalement, baisse de

19 %

et non de

20 %

3°)

C_{M}

= 1, 2^{2}

la même évolution deux fois

C_{M}

= 1, 44

1, 44 = 1 + 0, 44

Globalement, hausse de

44 %

et non de

40 %

Définition 4 — Évolution réciproque

L'évolution réciproque d'une évolution est celle qui ramène à la valeur de départ. Deux évolutions successives se compensent quand le produit de leurs coefficients multiplicateurs vaut $1$ :

C_{M 1} \times C_{M 2} = 1

Méthode 7 — Vérifier qu'une évolution en compense une autre

Exemples corrigés

a)
Un prix double. Une baisse de $50 %$ le ramène-t-elle à sa valeur de départ ?
b)
Une hausse de $20 %$ est-elle compensée par une baisse de $20 %$ ?
c)
Une action perd $20 %$ de sa valeur. Pour la retrouver, il faut une hausse de : $20 %$ ; $25 %$ ; $40 %$ ?

Correction

C_{M 1} \times C_{M 2}

= 2 \times 0, 5

doubler :

\times 2

C_{M 1} \times C_{M 2}

= 1

Oui : la baisse de

50 %

compense le doublement.

le produit vaut

1

C_{M 1} \times C_{M 2}

= 1, 2 \times 0, 8

C_{M 1} \times C_{M 2}

= 0, 96

différent de

1

Non : on n'est pas revenu à la valeur de départ.

il manque

4 %

0, 8 \times 1, 2 = 0, 96

;

0, 8 \times 1, 25 = 1

;

0, 8 \times 1, 4 = 1, 12

on teste chaque réponse

Il faut une hausse de

25 %

seul produit égal à

1

À vous de jouer

1°)
Une baisse de $50 %$ est-elle compensée par une hausse de $100 %$ ?
2°)
Une hausse de $10 %$ est-elle compensée par une baisse de $10 %$ ?
3°)
Un prix est multiplié par $4$ . Pour revenir au prix de départ, il faut une baisse de : $75 %$ ; $300 %$ ; $25 %$ ?

Correction

1°)

C_{M 1} \times C_{M 2}

= 0, 5 \times 2

- 50 %

, puis

+ 100 %

C_{M 1} \times C_{M 2}

= 1

Oui : la hausse de

100 %

compense la baisse de

50 %

le produit vaut

1

2°)

C_{M 1} \times C_{M 2}

= 1, 1 \times 0, 9

C_{M 1} \times C_{M 2}

= 0, 99

différent de

1

Non : on n'est pas revenu à la valeur de départ.

il manque

1 %

3°)

Baisse de

75 %

4 \times 0, 25 = 1

; baisse de

25 %

4 \times 0, 75 = 3

; une baisse de

300 %

est impossible.

on teste chaque réponse ; on ne peut pas perdre plus de

100 %

Il faut une baisse de

75 %

seul produit égal à

1

À faire : exercices 16 à 23

Exercice 16 — Taux global

Calculer le taux d'évolution global.

a)
Une hausse de $50 %$ , puis une hausse de $20 %$ .
b)
Une baisse de $30 %$ , puis une hausse de $30 %$ .
c)
Une hausse de $100 %$ , puis une baisse de $50 %$ .
d)
Deux baisses successives de $20 %$ .
e)
Une hausse de $60 %$ , puis une baisse de $25 %$ .

Corrigé

a)
$1, 5 \times 1, 2 = 1, 8$ : $+ 80 %$
b)
$0, 7 \times 1, 3 = 0, 91$ : $- 9 %$
c)
$2 \times 0, 5 = 1$ : $0 %$ (retour au départ)
d)
$0, 8 \times 0, 8 = 0, 64$ : $- 36 %$
e)
$1, 6 \times 0, 75 = 1, 2$ : $+ 20 %$

Les taux ne s'ajoutent pas : on multiplie les coefficients.

Exercice 17 — Le prix de l'électricité

Un journaliste annonce : « Une hausse de $10 %$ en février, puis une autre de $10 %$ en août, augmenteront le prix de l'électricité de $20 %$ sur l'année. » A-t-il raison ?

Corrigé

C_{M}

= 1, 1 \times 1, 1

C_{M}

= 1, 21

La hausse est de $21 %$ et non de $20 %$ : le journaliste $a tort$ .

Exercice 18 — Vrai ou faux ?

Justifier chaque réponse.

a)
Une hausse de $50 %$ suivie d'une baisse de $50 %$ ne change rien.
b)
Deux remises successives de $20 %$ et de $30 %$ donnent le même prix, quel que soit leur ordre.
c)
Deux baisses successives de $10 %$ font une baisse de $19 %$ .

Corrigé

a)
$Faux$ : $1, 5 \times 0, 5 = 0, 75$ , baisse de $25 %$ .
b)
$Vrai$ : $0, 8 \times 0, 7 = 0, 7 \times 0, 8 = 0, 56$ .
c)
$Vrai$ : $0, 9 \times 0, 9 = 0, 81$ .

Exercice 19 — La valeur d'un scooter

Un scooter électrique neuf coûte $4000$ €. Il perd $25 %$ de sa valeur la première année, puis $20 %$ la deuxième année.

a)
Calculer sa valeur au bout d'un an, puis de deux ans.
b)
Calculer le taux d'évolution global sur les deux ans.

Corrigé

a)
$4000 \times 0, 75 = 3000 €$ ; $3000 \times 0, 8 = 2400 €$ .
b)
$C_{M} = 0, 75 \times 0, 8 = 0, 6$ : $- 40 %$ .

Et non $- 45 %$ : la seconde baisse porte sur $3000$ €.

Exercice 20 — Une même évolution répétée

Donner chaque fois le taux d'évolution global.

a)
Une entreprise augmente sa production de $3 %$ par an. Par quel nombre la production est-elle multipliée en $3$ ans ? On donne $1, 0 3^{3} ≃ 1, 09$ .
b)
Les prix augmentent de $1 %$ par mois pendant un an. On donne $1, 0 1^{12} ≃ 1, 13$ . Quel est le taux d'évolution annuel ?

Corrigé

a)
Multipliée par $1, 0 3^{3} ≃ 1, 09$ : hausse d'environ $9 %$ .
b)
$C_{M} = 1, 0 1^{12} ≃ 1, 13$ : hausse d'environ $13 %$ (et non $12 %$ ).

Exercice 21 — Se compensent-elles ?

Pour chaque cas, dire si la seconde évolution ramène à la valeur de départ, en calculant le produit des coefficients multiplicateurs.

- 20 %

, puis

+ 25 %

+ 50 %

, puis

- 50 %

- 50 %

, puis

+ 100 %

+ 300 %

, puis

- 75 %

- 20 %

, puis

+ 20 %

+ 10 %

, puis

- 10 %

Corrigé

0, 8 \times 1, 25 = 1

oui

1, 5 \times 0, 5 = 0, 75

non

0, 5 \times 2 = 1

oui

4 \times 0, 25 = 1

oui

0, 8 \times 1, 2 = 0, 96

non

1, 1 \times 0, 9 = 0, 99

non

Une hausse de $t %$ n'est jamais compensée par une baisse de $t %$ .

Exercice 22 — Quelle évolution compense ?

Pour chaque question, une seule réponse est exacte : tester chaque réponse.

1.
Un prix est multiplié par $4$ . Pour revenir au prix de départ, il faut une baisse de :

a) $400 %$ b) $75 %$ c) $25 %$ d) $300 %$
2.
Un prix augmente de $25 %$ . Pour revenir au prix de départ, il faut une baisse de :

a) $25 %$ b) $75 %$ c) $20 %$ d) $80 %$
3.
Une population baisse de $50 %$ . Pour revenir à son niveau, il faut une hausse de :

a) $100 %$ b) $50 %$ c) $200 %$ d) $150 %$

Corrigé

1°)
$b$ : $4 \times 0, 25 = 1$ .
2°)
$c$ : $1, 25 \times 0, 8 = 1$ (avec $25 %$ : $0, 9375$ ).
3°)
$a$ : $0, 5 \times 2 = 1$ (avec $50 %$ : $0, 75$ ).

Exercice 23 — Un verger

Un verger compte $2000$ arbres. Une maladie en fait disparaître $20 %$ en un an.

a)
Combien d'arbres reste-t-il ?
b)
Le propriétaire replante l'année suivante $20 %$ du nombre d'arbres restants. Retrouve-t-il $2000$ arbres ?
c)
Montrer qu'il suffirait de replanter $25 %$ du nombre d'arbres restants.

Corrigé

a)
$2000 \times 0, 8 = 1600$ arbres.
b)
$1600 \times 1, 2 = 1920$ : $non$ .
c)
$1600 \times 1, 25 = 2000$ ; ou $0, 8 \times 1, 25 = 1$ .

Évolution	$+ 25 %$	$+ 100 %$ (doubler)	$+ 300 %$ (quadrupler)
Compensée par	$- 20 %$	$- 50 %$ (moitié)	$- 75 %$ (quart)
Vérification	$1, 25 \times 0, 8 = 1$	$2 \times 0, 5 = 1$	$4 \times 0, 25 = 1$