Chapitre 2 — Fonctions affines et pourcentages · coursVI Trouver une fonction affine

Sommaire du chapitre

I — Appliquer un pourcentage
- Méthode 1 — Calculer $t %$ d'une quantité
- Méthode 2 — Augmenter ou diminuer une quantité de $t %$
II — Calculer un pourcentage
- Méthode 3 — Calculer une proportion en pourcentage
- Méthode 4 — Calculer un taux d'évolution
III — Coefficient multiplicateur
- Méthode 5 — Appliquer une évolution avec le coefficient multiplicateur
IV — Évolutions successives, évolution réciproque
- Méthode 6 — Calculer un taux d'évolution global
- Méthode 7 — Vérifier qu'une évolution en compense une autre
V — Fonctions affines : image, antécédent
- Méthode 8 — Calculer une image
- Méthode 9 — Calculer un antécédent
VI — Trouver une fonction affine
- Méthode 10 — Déterminer une fonction affine
VII — Tracer une fonction affine
- Méthode 11 — Tracer la droite d'une fonction affine
- Méthode 12 — Utiliser une fonction linéaire (proportionnalité)
VIII — Lire l'équation d'une droite
- Méthode 13 — Lire l'équation réduite d'une droite
IX — Signe d'une fonction affine
- Méthode 14 — Dresser le tableau de signes d'une fonction affine
X — Comparer deux fonctions affines
- Méthode 15 — Comparer deux offres

Propriété 3 — Coefficient directeur à partir de deux points

Si la droite qui représente $f (x) = a x + b$ passe par $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ , alors :

a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}

(diff \overset{e}{ˊ} rence des ordonn \overset{e}{ˊ} es sur diff \overset{e}{ˊ} rence des abscisses)

Quand $x$ augmente de $1$ , $f (x)$ augmente de $a$ (diminue si $a < 0$ ) ; et $b = f (0)$ est la valeur de départ.

Méthode 10 — Déterminer une fonction affine

Exemples corrigés

a)
Un abonnement de vidéo coûte $9$ € par mois, plus $3$ € par film loué. Exprimer le prix mensuel $p (x)$ pour $x$ films loués.
b)
La droite qui représente $f$ passe par $A (1; 4)$ et $B (4; 13)$ . Déterminer $f (x)$ .
c)
La droite qui représente $g$ passe par $A (- 2; 5)$ et $B (- 4; 9)$ . Déterminer $g (x)$ .
d)
Une facture d'électricité vaut $70$ € pour $200$ kWh et $100$ € pour $300$ kWh. On la modélise par une fonction affine $F$ de la consommation $x$ . Déterminer $F (x)$ , puis interpréter $a$ et $b$ .

Correction

b = 9

a = 3

p (x) = 3 x + 9

b

: la partie fixe ;

a

: le prix d'un film

a

= \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}

a

= \frac{13 - 4}{4 - 1}

a

= 3

\frac{9}{3}

3 \times 1 + b

= 4

le point

A

est sur la droite

b

= 1

on retire

3

f (x) = 3 x + 1

. Contrôle avec

B

f (4) = 12 + 1 = 13

a

= \frac{9 - 5}{- 4 - ( - 2 )}

- 4 - (- 2) = - 4 + 2 = - 2

a

= \frac{4}{- 2}

a

= - 2

- 2 \times (- 2) + b

= 5

avec le point

A

4 + b

= 5

b

= 1

g (x) = - 2 x + 1

. Contrôle avec

B

g (- 4) = 8 + 1 = 9

a

= \frac{100 - 70}{300 - 200}

points

(200; 70)

(300; 100)

a

= 0, 3

\frac{30}{100}

0, 3 \times 200 + b

= 70

b

= 10

60 + b = 70

F (x) = 0, 3 x + 10

: le kWh coûte

0, 30

€ et l'abonnement

10

€.

À vous de jouer

1°)
Un club de danse coûte $40$ € d'inscription, puis $20$ € par mois. Exprimer le coût $C (x)$ pour $x$ mois.
2°)
La droite qui représente $g$ passe par $A (2; 9)$ et $B (5; 3)$ . Déterminer $g (x)$ .
3°)
La droite qui représente $h$ passe par $A (- 1; - 4)$ et $B (3; 8)$ . Déterminer $h (x)$ .

Correction

1°)

b = 40

a = 20

C (x) = 20 x + 40

b

: la partie fixe ;

a

: le prix d'un mois

2°)

a

= \frac{3 - 9}{5 - 2}

\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}

a

= - 2

\frac{- 6}{3}

- 2 \times 2 + b

= 9

le point

A

est sur la droite

b

= 13

on ajoute

4

g (x) = - 2 x + 13

. Contrôle avec

B

g (5) = - 10 + 13 = 3

3°)

a

= \frac{8 - ( - 4 )}{3 - ( - 1 )}

a

= \frac{12}{4} = 3

3 \times (- 1) + b

= - 4

avec le point

A

- 3 + b

= - 4

b

= - 1

h (x) = 3 x - 1

. Contrôle avec

B

h (3) = 9 - 1 = 8

À faire : exercices 28 à 31

Exercice 28 — Mettre en équation

Exprimer chaque grandeur par une fonction affine de $x$ .

a)
Une location de kayak coûte $8$ €, plus $6$ € par heure. $L (x)$ est le prix pour $x$ heures.
b)
Un réservoir de $60$ L consomme $5$ L tous les $100$ km. $R (x)$ est la quantité restante après $x$ km.
c)
Une vendeuse touche $1400$ € par mois, plus $4 %$ de ses ventes. $S (x)$ est son salaire pour $x$ € de ventes.

Corrigé

a)
$L (x) = 6 x + 8$
b)
$5$ L pour $100$ km, soit $0, 05$ L par km : $R (x) = 60 - 0, 05 x$
c)
$4 %$ des ventes : $0, 04 x$ ; $S (x) = 0, 04 x + 1400$

$b$ est la valeur fixe ; $a$ ce que coûte ou rapporte une unité de $x$ .

Exercice 29 — Coefficient directeur

Calculer le coefficient directeur de la droite $(A B)$ .

A (1; 2)

B (4; 11)

A (0; 6)

B (2; 2)

A (- 2; 3)

B (- 4; 7)

A (- 3; - 2)

B (1; 6)

Corrigé

a)
$a = \frac{11 - 2}{4 - 1} = \frac{9}{3}$ , soit $a = 3$
b)
$a = \frac{2 - 6}{2 - 0} = \frac{- 4}{2}$ , soit $a = - 2$
c)
$a = \frac{7 - 3}{- 4 - ( - 2 )} = \frac{4}{- 2}$ , soit $a = - 2$
d)
$a = \frac{6 - ( - 2 )}{1 - ( - 3 )} = \frac{8}{4}$ , soit $a = 2$

Parenthèses autour des coordonnées négatives : $- 4 - (- 2) = - 4 + 2 = - 2$ .

Exercice 30 — Déterminer une fonction affine

Pour chaque cas, déterminer la fonction affine $f$ dont la droite passe par $A$ et $B$ .

A (1; 5)

B (3; 11)

A (0; - 4)

B (2; 2)

A (- 2; 3)

B (2; 3)

A (- 4; - 5)

B (2; 4)

Corrigé

a) $a = \frac{11 - 5}{3 - 1} = 3$ . Avec $A$ :

3 \times 1 + b

= 5

b

= 2

$f (x) = 3 x + 2$ .

b) $a = \frac{2 - ( - 4 )}{2 - 0} = 3$ et $b = - 4$ (ordonnée de $A$ ) : $f (x) = 3 x - 4$ .

c) $a = \frac{3 - 3}{2 - ( - 2 )} = 0$ : $f (x) = 3$ (fonction constante).

d) $a = \frac{4 - ( - 5 )}{2 - ( - 4 )} = \frac{9}{6}$ , soit $a = 1, 5$ . Avec $B$ :

1, 5 \times 2 + b

= 4

3 + b

= 4

b

= 1

$f (x) = 1, 5 x + 1$ .

Contrôle avec l'autre point : $f (- 4) = - 6 + 1 = - 5$ .

Exercice 31 — Le dioxyde de carbone dans l'air

La concentration de dioxyde de carbone dans l'air était d'environ $370$ ppm en 2000 et $390$ ppm en 2010. On la modélise par une fonction affine $f$ du nombre $x$ d'années écoulées depuis 2000.

a)
Donner $f (0)$ et $f (10)$ , puis déterminer $f (x)$ .
b)
Interpréter le coefficient directeur.
c)
Selon ce modèle, quelle sera la concentration en 2030 ?
d)
En quelle année atteindra-t-elle $450$ ppm ?

Corrigé

a)
$f (0) = 370$ et $f (10) = 390$ ; $a = \frac{390 - 370}{10 - 0} = 2$ et $b = 370$ : $f (x) = 2 x + 370$ .
b)
La concentration augmente de $2 ppm par an$ .
c)
2030 : $x = 30$ ; $f (30) = 60 + 370 = 430 ppm$ .
d)
$2 x + 370 = 450$ , donc $2 x = 80$ et $x = 40$ : en $2040$ .