Chapitre 2 — Fonctions affines et pourcentages · coursVII Tracer une fonction affine

Sommaire du chapitre

I — Appliquer un pourcentage
- Méthode 1 — Calculer $t %$ d'une quantité
- Méthode 2 — Augmenter ou diminuer une quantité de $t %$
II — Calculer un pourcentage
- Méthode 3 — Calculer une proportion en pourcentage
- Méthode 4 — Calculer un taux d'évolution
III — Coefficient multiplicateur
- Méthode 5 — Appliquer une évolution avec le coefficient multiplicateur
IV — Évolutions successives, évolution réciproque
- Méthode 6 — Calculer un taux d'évolution global
- Méthode 7 — Vérifier qu'une évolution en compense une autre
V — Fonctions affines : image, antécédent
- Méthode 8 — Calculer une image
- Méthode 9 — Calculer un antécédent
VI — Trouver une fonction affine
- Méthode 10 — Déterminer une fonction affine
VII — Tracer une fonction affine
- Méthode 11 — Tracer la droite d'une fonction affine
- Méthode 12 — Utiliser une fonction linéaire (proportionnalité)
VIII — Lire l'équation d'une droite
- Méthode 13 — Lire l'équation réduite d'une droite
IX — Signe d'une fonction affine
- Méthode 14 — Dresser le tableau de signes d'une fonction affine
X — Comparer deux fonctions affines
- Méthode 15 — Comparer deux offres

Propriété 4 — Représentation graphique et variations

La représentation graphique de $f (x) = a x + b$ est une droite, d'équation réduite $y = a x + b$ : le point $M (x; y)$ est sur la droite quand $y = a x + b$ .

elle coupe l'axe des ordonnées au point $(0; b)$ ;
pour un déplacement horizontal de $1$ , le déplacement vertical vaut $a$ (on monte si $a > 0$ , on descend si $a < 0$ ).

Sens de variation : $a > 0$ , $f$ est croissante ; $a < 0$ , $f$ est décroissante ; $a = 0$ , $f$ est constante.

Méthode 11 — Tracer la droite d'une fonction affine

Exemples corrigés

Tracer les droites qui représentent $f (x) = 3 x - 2$ et $g (x) = - 0, 5 x + 3$ .

Correction

Résolution

f (0) = - 2

f (2) = 4

: points

(0; - 2)

(2; 4)

deux images sur le quadrillage

g (0) = 3

g (4) = 1

: points

(0; 3)

(4; 1)

abscisse paire : pas de demi-unité

On place les croix et on trace les droites.

a = 3 > 0

: la droite de

f

monte ;

a = - 0, 5 < 0

: celle de

g

descend.

contrôle

À vous de jouer

Tracer dans un repère les droites qui représentent $h (x) = x - 2$ ; $k (x) = - 2 x + 3$ et $m (x) = \frac{1}{2} x + 1$ .

Correction

h (0) = - 2

h (3) = 1

: points

(0; - 2)

(3; 1)

deux images sur le quadrillage

k (0) = 3

k (2) = - 1

: points

(0; 3)

(2; - 1)

m (0) = 1

m (2) = 2

: points

(0; 1)

(2; 2)

abscisse paire : pas de demi-unité

On place les croix et on trace les droites.

contrôle :

h

m

montent (

a > 0

k

descend

Propriété 5 — Fonctions linéaires et proportionnalité

Une fonction linéaire $f (x) = a x$ (cas $b = 0$ ) traduit une situation de proportionnalité : $a$ est le coefficient de proportionnalité, la quantité pour une unité de $x$ .

Sa droite passe par l'origine du repère.
Appliquer une évolution de $t %$ est une fonction linéaire : $x \mapsto C_{M} \times x$ .

Méthode 12 — Utiliser une fonction linéaire (proportionnalité)

Exemples corrigés

a)
Des céréales contiennent $8$ g de fibres pour $100$ g. Quelle masse de fibres contient un paquet de $350$ g ?
b)
Un mile vaut environ $1, 6$ km. Convertir $50$ miles en kilomètres, puis $24$ km en miles.
c)
Parmi $f (x) = - 3 x$ ; $g (x) = 3 x - 1$ et $h (x) = 0, 4 x$ , lesquelles sont linéaires ?

Correction

a = \frac{8}{100} = 0, 08

: dans

x

grammes, il y a

f (x) = 0, 08 x

grammes de fibres.

la quantité pour

1

f (350) = 0, 08 \times 350 = 28

: le paquet contient

28

g de fibres.

f (x) = 1, 6 x

donne les kilomètres pour

x

miles :

f (50) = 80

km.

1, 6 x

= 24

on cherche l'antécédent de

24

x

= 15

\frac{24}{1 , 6} = \frac{240}{16}

24

km font environ

15

miles.

f

h

sont linéaires : leurs droites passent par l'origine.

b = 0

g

est affine, mais pas linéaire.

b = - 1

À vous de jouer

1°)
Une imprimante imprime $20$ pages par minute. Exprimer le nombre $P (t)$ de pages imprimées en $t$ minutes ; calculer $P (4)$ , puis le temps pour imprimer $300$ pages.
2°)
En soldes, un prix $x$ baisse de $15 %$ . Exprimer le prix soldé $R (x)$ ; calculer $R (60)$ , puis le prix de départ d'un article soldé à $34$ €.
3°)
Tracer la droite qui représente $k (x) = 3 x$ .

Correction

1°)

20

pages par minute :

P (t) = 20 t

proportionnalité : fonction linéaire

P (4) = 20 \times 4 = 80

pages.

20 t

= 300

on cherche l'antécédent de

300

t

= 15

Il faut

15

minutes pour imprimer

300

pages.

2°)

Baisser de

15 %

, c'est multiplier par

0, 85

R (x) = 0, 85 x

une fonction linéaire

R (60) = 0, 85 \times 60 = 51

€.

10 %

60

font

6

5 %

en font

3

60 - 9 = 51

0, 85 x

= 34

on cherche l'antécédent de

34

x

= 40

\frac{34}{0 , 85} = \frac{3 400}{85}

L'article coûtait

40

€ avant les soldes.

contrôle :

0, 85 \times 40 = 34

3°)

k (0) = 0

k (1) = 3

: la droite passe par l'origine et par

(1; 3)

fonction linéaire : la droite passe par l'origine

À faire : exercices 32 à 35

Exercice 32 — Sens de variation

Donner le sens de variation de chaque fonction affine.

f (x) = 4 - x

g (x) = 3 x + 1

k (x) = - 2

p (x) = - 5 x

h (x) = - 0, 2 x + 3

f) $m (x) = 0, 3 x - 1$

Corrigé

a)
$a = - 1 < 0$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$
b)
$a = 3 > 0$ : $croissante$
c)
$a = 0$ : $constante$
d)
$a = - 5 < 0$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$
e)
$a = - 0, 2 < 0$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$
f)
$a = 0, 3 > 0$ : $croissante$

Seul le signe de $a$ compte, pas celui de $b$ .

Exercice 33 — Tracer des droites

Dans un même repère orthonormé, tracer les droites qui représentent :

f (x) = x + 1

g (x) = - 3 x + 2

h (x) = 0, 5 x - 2

Corrigé

$f$ : $(0; 1)$ et $(2; 3)$ .

$g$ : $(0; 2)$ et $(1; - 1)$ .

$h$ : $(0; - 2)$ et $(4; 0)$ .

Pour $h$ , on choisit une abscisse paire : $h (4)$ est entier.

Exercice 34 — Location de paddles

Un paddle se loue $4$ €, plus $4$ € par heure. On note $L (x)$ le prix pour $x$ heures, avec $x$ entre $0$ et $8$ .

a)
Exprimer $L (x)$ en fonction de $x$ .
b)
Calculer $L (0)$ et $L (8)$ .
c)
Tracer la droite qui représente $L$ (en abscisse, $1$ cm pour $1$ heure ; en ordonnée, $1$ cm pour $5$ €).
d)
Lire graphiquement la durée de location pour $24$ €, puis vérifier par le calcul.

Corrigé

a) $L (x) = 4 x + 4$ b) $L (0) = 4$ ; $L (8) = 36$ .

c) Droite passant par $(0; 4)$ et $(8; 36)$ (figure réduite).

d) Pour $24$ €, on lit $5 heures$ . Calcul : $4 x + 4 = 24$ , donc $4 x = 20$ et $x = 5$ .

Repère non orthonormé : les deux grandeurs n'ont pas la même unité.

Exercice 35 — Proportionnalité et fonctions linéaires

Répondre à chaque question par un calcul.

a)
Une boisson contient $10$ g de sucre pour $100$ mL. Exprimer la masse de sucre $f (x)$ dans $x$ mL de boisson, puis calculer $f (330)$ .
b)
Un pouce vaut environ $2, 5$ cm. Convertir $40$ pouces en centimètres, puis $75$ cm en pouces.
c)
Parmi $f (x) = - 2 x$ ; $g (x) = 2 x + 3$ ; $h (x) = \frac{x}{4}$ et $k (x) = - 1$ , lesquelles sont linéaires ?
d)
La droite d'une fonction linéaire $ℓ$ passe par le point $(5; 15)$ . Déterminer $ℓ (x)$ .

Corrigé

a)
$a = \frac{10}{100} = 0, 1$ : $f (x) = 0, 1 x$ ; $f (330) = 33 g$ .
b)
$40$ pouces : $2, 5 \times 40 = 100 cm$ ; $2, 5 x = 75$ donne $x = 30$ pouces.
c)
$f$ et $h$ ( $h (x) = 0, 25 x$ ) ; $g$ est affine non linéaire, $k$ est constante.
d)
$a = \frac{15}{5} = 3$ : $ℓ (x) = 3 x$ .

Linéaire : $b = 0$ , la droite passe par l'origine.