Chapitre 3 — Calcul littéral et second degré · coursI Développer

Sommaire du chapitre

I — Développer
- Méthode 1 — Développer et réduire
II — Identités remarquables
- Méthode 2 — Développer avec une identité remarquable
III — Équations du premier degré
- Méthode 3 — Résoudre une équation du premier degré
IV — Équations $x^{2} = a$
- Méthode 4 — Résoudre une équation $x^{2} = a$
V — Équations produit
- Méthode 5 — Résoudre une équation produit
VI — Fonction polynôme du second degré
- Méthode 6 — Reconnaître une fonction du second degré, calculer une image
VII — Forme factorisée et racines
- Méthode 7 — Utiliser une forme factorisée
VIII — Représentation graphique
- Méthode 8 — Tracer une parabole
- Méthode 9 — Associer une fonction à sa parabole
IX — Tableaux de variations
- Méthode 10 — Dresser le tableau de variations
X — Problèmes type épreuve anticipée
- Méthode 11 — Étudier un modèle du second degré

Définition 1 — Développer

Développer, c'est transformer un produit en une somme.

Le chemin inverse s'appelle factoriser.

Propriété 1 — Distributivité

Pour tous nombres $k$ , $a$ , $b$ , $c$ et $d$ :

k (a + b) = ka + kb

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

Dans $(a + b) (c + d)$ , chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : quatre produits.

Méthode 1 — Développer et réduire

Exemples corrigés

Développer et réduire :

a)
$A = 3 (2 x - 5)$
b)
$B = - 2 x (x + 4)$
c)
$C = (x + 3) (2 x - 1)$

Correction

A

= 3 (2 x - 5)

on recopie

A

= 3 \times 2 x - 3 \times 5

3

multiplie chaque terme

A

= 6 x - 15

B

= - 2 x (x + 4)

on recopie

B

= (- 2 x) \times x + (- 2 x) \times 4

- 2 x

multiplie chaque terme

B

= - 2 x^{2} - 8 x

x \times x = x^{2}

C

= (x + 3) (2 x - 1)

on recopie

C

= x \times 2 x + x \times (- 1) + 3 \times 2 x + 3 \times (- 1)

quatre produits

C

= 2 x^{2} - x + 6 x - 3

C

= 2 x^{2} + 5 x - 3

on réduit :

- x + 6 x = 5 x

À vous de jouer

Développer et réduire :

D = 4 (3 x + 2)

E = - 5 (x - 3)

F = - 3 x (x + 2)

G = x (5 - x)

H = (x + 4) (x - 2)

I = (2 x - 3) (x + 5)

Correction

D

= 4 \times 3 x + 4 \times 2

4

multiplie chaque terme

D

= 12 x + 8

E

= (- 5) \times x + (- 5) \times (- 3)

E

= - 5 x + 15

(- 5) \times (- 3) = 15

F

= (- 3 x) \times x + (- 3 x) \times 2

- 3 x

multiplie chaque terme

F

= - 3 x^{2} - 6 x

G

= x \times 5 + x \times (- x)

G

= 5 x - x^{2}

H

= x \times x + x \times (- 2) + 4 \times x + 4 \times (- 2)

quatre produits

H

= x^{2} - 2 x + 4 x - 8

H

= x^{2} + 2 x - 8

I

= 2 x \times x + 2 x \times 5 - 3 \times x - 3 \times 5

quatre produits

I

= 2 x^{2} + 10 x - 3 x - 15

I

= 2 x^{2} + 7 x - 15

À faire : exercices 1 à 4

Exercice 1 — Distributivité simple

Développer et réduire.

A = 5 (x + 3)

B = 4 (2 x - 7)

C = - 3 (x + 6)

D = - 2 (4 - 5 x)

E = 7 (3 - x)

F = - (x - 9)

Corrigé

A = 5 x + 15

B = 8 x - 28

C = - 3 x - 18

D = - 8 + 10 x = 10 x - 8

E = 21 - 7 x

F = - x + 9

Le facteur multiplie chaque terme : $- 2 \times (- 5 x) = + 10 x$ .

Exercice 2 — Un facteur en $x$

Développer et réduire.

A = x (x + 8)

B = 2 x (3 x - 1)

C = - x (x - 4)

D = - 4 x (2 x + 5)

E = 3 x (5 - 2 x)

Corrigé

A = x^{2} + 8 x

B = 6 x^{2} - 2 x

C = - x^{2} + 4 x

D = - 8 x^{2} - 20 x

E = 15 x - 6 x^{2}

$x \times x = x^{2}$ et $2 x \times 3 x = 6 x^{2}$ .

Exercice 3 — Double distributivité

Développer et réduire.

A = (x + 2) (x + 5)

B = (x - 3) (x + 4)

C = (x - 6) (x - 1)

D = (2 x + 1) (x + 3)

E = (3 x - 2) (x + 2)

F = (x + 5) (4 - x)

Corrigé

A

= x^{2} + 5 x + 2 x + 10

quatre produits

A

= x^{2} + 7 x + 10

B = x^{2} + x - 12

C = x^{2} - 7 x + 6

D = 2 x^{2} + 7 x + 3

E = 3 x^{2} + 4 x - 4

F

= 4 x - x^{2} + 20 - 5 x

5 \times (- x) = - 5 x

F

= - x^{2} - x + 20

Exercice 4 — Vrai ou faux ?

Pour chaque égalité, dire si elle est vraie pour tout nombre $x$ ; corriger celles qui sont fausses.

a)
$3 (x + 4) = 3 x + 4$
b)
$- 2 (x - 5) = - 2 x + 10$
c)
$x (x + 1) = x^{2} + x$
d)
$(x + 1) (x + 2) = x^{2} + 2$
e)
$- (3 - x) = - 3 - x$

Corrigé

a)
Faux : $3 (x + 4) = 3 x + 12$ .
b)
$Vrai$ .
c)
$Vrai$ .
d)
Faux : $(x + 1) (x + 2) = x^{2} + 3 x + 2$ .
e)
Faux : $- (3 - x) = - 3 + x$ .

d) On oublie souvent les deux produits « croisés » $x \times 2$ et $1 \times x$ .

Chapitre 3 — Calcul littéral et second degré · coursI Développer

Définition 1 — Développer

Propriété 1 — Distributivité

Méthode 1 — Développer et réduire

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 1 — Distributivité simple

Exercice 2 — Un facteur en x

Exercice 3 — Double distributivité

Exercice 4 — Vrai ou faux ?

Exercice 2 — Un facteur en $x$