Chapitre 3 — Calcul littéral et second degré · coursVI Fonction polynôme du second degré

Sommaire du chapitre

I — Développer
- Méthode 1 — Développer et réduire
II — Identités remarquables
- Méthode 2 — Développer avec une identité remarquable
III — Équations du premier degré
- Méthode 3 — Résoudre une équation du premier degré
IV — Équations $x^{2} = a$
- Méthode 4 — Résoudre une équation $x^{2} = a$
V — Équations produit
- Méthode 5 — Résoudre une équation produit
VI — Fonction polynôme du second degré
- Méthode 6 — Reconnaître une fonction du second degré, calculer une image
VII — Forme factorisée et racines
- Méthode 7 — Utiliser une forme factorisée
VIII — Représentation graphique
- Méthode 8 — Tracer une parabole
- Méthode 9 — Associer une fonction à sa parabole
IX — Tableaux de variations
- Méthode 10 — Dresser le tableau de variations
X — Problèmes type épreuve anticipée
- Méthode 11 — Étudier un modèle du second degré

Définition 3 — Fonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré est une fonction $f$ de la forme

f (x) = a x^{2} + b x + c

avec a \neq = 0.

Les nombres $a$ , $b$ et $c$ sont ses coefficients. Sa courbe s'appelle une parabole.

Méthode 6 — Reconnaître une fonction du second degré, calculer une image

Exemples corrigés

a)
Pour chaque fonction $f$ , $g$ et $h$ , dire si elle est du second degré et, si oui, donner $a$ , $b$ et $c$ : $f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$ ; $g (x) = 5 - x^{2}$ ; $h (x) = 4 x + 7$ .
b)
Calculer $f (- 2)$ .
c)
Les points $A (1; 2)$ et $B (- 1; 4)$ sont-ils sur la courbe de $f$ ?

Correction

f

a = 3

;

b = - 2

;

c = 1

chaque coefficient avec son signe

g (x) = - x^{2} + 5

a = - 1

;

b = 0

;

c = 5

on range ; pas de terme en

x

b = 0

h

n'est pas du second degré : c'est une fonction affine.

pas de

x^{2}

f (- 2)

= 3 \times (- 2)^{2} - 2 \times (- 2) + 1

on remplace

x

par

(- 2)

f (- 2)

= 3 \times 4 + 4 + 1

(- 2)^{2} = 4

f (- 2)

= 17

f (1) = 3 - 2 + 1 = 2

: c'est l'ordonnée de

A

, donc

A

est sur la courbe.

on calcule l'image de l'abscisse

f (- 1) = 3 + 2 + 1 = 6

6 \neq = 4

B

n'est pas sur la courbe.

À vous de jouer

a)
Pour chaque fonction $u$ , $v$ et $w$ , dire si elle est du second degré et, si oui, donner $a$ , $b$ et $c$ : $u (x) = - 2 x^{2} + x + 4$ ; $v (x) = x^{2} - 3 x$ ; $w (x) = 1 - 6 x$ .
b)
Calculer $u (- 1)$ .
c)
Les points $C (2; - 2)$ et $D (- 2; 0)$ sont-ils sur la courbe de $u$ ?

Correction

u

a = - 2

;

b = 1

;

c = 4

chaque coefficient avec son signe

v

a = 1

;

b = - 3

;

c = 0

pas de nombre seul :

c = 0

w

n'est pas du second degré : c'est une fonction affine.

pas de

x^{2}

u (- 1)

= - 2 \times (- 1)^{2} + (- 1) + 4

on remplace

x

par

(- 1)

u (- 1)

= - 2 - 1 + 4

(- 1)^{2} = 1

u (- 1)

= 1

u (2) = - 8 + 2 + 4 = - 2

C

est sur la courbe.

- 2 \times 2^{2} = - 8

u (- 2) = - 8 - 2 + 4 = - 6

- 6 \neq = 0

D

n'est pas sur la courbe.

À faire : exercices 19 à 22

Exercice 19 — Reconnaître, lire $a$ , $b$ et $c$

Pour chaque fonction, dire si elle est du second degré et, si oui, donner $a$ , $b$ et $c$ .

f (x) = 2 x^{2} + 5 x - 1

g (x) = - x^{2} + 3

h (x) = 7 x - 2

k (x) = 4 x - x^{2}

m (x) = x^{2}

p (x) = 6 - 2 x + 3 x^{2}

Corrigé

f

a = 2; b = 5; c = - 1

g

a = - 1; b = 0; c = 3

h

pas du 2ᵈ degr \overset{e}{ˊ}

k

a = - 1; b = 4; c = 0

m

a = 1; b = 0; c = 0

p

a = 3; b = - 2; c = 6

On lit chaque coefficient avec son signe, même si les termes sont dans le désordre ( $k$ , $p$ ).

Exercice 20 — Calculer des images

1.
Soit $f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ . Calculer $f (0)$ , $f (1)$ , $f (- 1)$ , $f (3)$ et $f (- 2)$ .
2.
Soit $g (x) = - 2 x^{2} + x + 5$ . Calculer $g (0)$ , $g (2)$ et $g (- 1)$ .

Corrigé

f (- 2)

= (- 2)^{2} - 3 \times (- 2) + 2

f (- 2)

= 4 + 6 + 2

f (- 2)

= 12

1°) $f (0) = 2$ ; $f (1) = 0$ ; $f (- 1) = 6$ ; $f (3) = 2$ ; $f (- 2) = 12$ .

2°) $g (0) = 5$ ; $g (2) = - 8 + 2 + 5 = - 1$ ; $g (- 1) = - 2 - 1 + 5 = 2$ .

$(- 1)^{2} = 1$ , donc $- 2 \times (- 1)^{2} = - 2$ .

Exercice 21 — Sur la courbe ou non ?

Soit $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ . Pour chaque point $A (1; 0)$ , $B (- 1; - 2)$ , $C (2; 5)$ , $D (- 3; 0)$ et $E (0; 3)$ , dire s'il est sur la courbe de $f$ .

Corrigé

f (1) = 0

A

oui

f (- 1) = - 4

B

non

f (2) = 5

C

oui

f (- 3) = 0

D

oui

f (0) = - 3

E

non

Exercice 22 — Distance d'arrêt

La distance d'arrêt d'une voiture, en mètres, est modélisée par $d (v) = v^{2} + 3 v$ , où $v$ est la vitesse en dizaines de km/h (pour $50$ km/h, $v = 5$ ).

1.
Expliquer pourquoi $d$ est une fonction du second degré ; donner $a$ , $b$ et $c$ .
2.
Calculer $d (3)$ , $d (5)$ et $d (9)$ . Interpréter $d (5)$ .
3.
Calculer $d (6)$ . Quand la vitesse double de $30$ à $60$ km/h, la distance d'arrêt double-t-elle ?

Corrigé

1°)
$d (v) = v^{2} + 3 v$ a un terme en $v^{2}$ : $a = 1; b = 3; c = 0$ .
2°)
$d (3) = 18$ ; $d (5) = 40$ ; $d (9) = 108$ . À $50$ km/h, la voiture s'arrête en $40$ m.
3°)
$d (6) = 36 + 18 = 54$ : la distance est multipliée par $3$ , elle ne $double pas$ .

Chapitre 3 — Calcul littéral et second degré · coursVI Fonction polynôme du second degré

Définition 3 — Fonction polynôme du second degré

Méthode 6 — Reconnaître une fonction du second degré, calculer une image

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 19 — Reconnaître, lire a, b et c

Exercice 20 — Calculer des images

Exercice 21 — Sur la courbe ou non ?

Exercice 22 — Distance d'arrêt

Exercice 19 — Reconnaître, lire $a$ , $b$ et $c$