Chapitre 3 — Calcul littéral et second degré · coursVII Forme factorisée et racines

Sommaire du chapitre

I — Développer
- Méthode 1 — Développer et réduire
II — Identités remarquables
- Méthode 2 — Développer avec une identité remarquable
III — Équations du premier degré
- Méthode 3 — Résoudre une équation du premier degré
IV — Équations $x^{2} = a$
- Méthode 4 — Résoudre une équation $x^{2} = a$
V — Équations produit
- Méthode 5 — Résoudre une équation produit
VI — Fonction polynôme du second degré
- Méthode 6 — Reconnaître une fonction du second degré, calculer une image
VII — Forme factorisée et racines
- Méthode 7 — Utiliser une forme factorisée
VIII — Représentation graphique
- Méthode 8 — Tracer une parabole
- Méthode 9 — Associer une fonction à sa parabole
IX — Tableaux de variations
- Méthode 10 — Dresser le tableau de variations
X — Problèmes type épreuve anticipée
- Méthode 11 — Étudier un modèle du second degré

Définition 4 — Forme factorisée, racines

Une fonction du second degré est écrite sous forme factorisée quand elle s'écrit $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Les racines de $f$ sont les solutions de $f (x) = 0$ . Ce sont les abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses.

Propriété 6 — Racines d'une forme factorisée

Les racines de $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ sont $x_{1}$ et $x_{2}$ : chacune annule une parenthèse. Dans $(x - 4)$ , la racine est $4$ ; dans $(x + 2)$ , elle est $- 2$ .

Méthode 7 — Utiliser une forme factorisée

Exemples corrigés

Soit $f (x) = 2 x^{2} + 4 x - 6$ .

a)
Vérifier que $f (x) = 2 (x - 1) (x + 3)$ .
b)
En déduire les racines de $f$ .
c)
Donner les points où la courbe de $f$ coupe l'axe des abscisses.

Correction

2 (x - 1) (x + 3)

= 2 (x^{2} + 3 x - x - 3)

on développe la forme factorisée : d'abord les parenthèses

2 (x - 1) (x + 3)

= 2 (x^{2} + 2 x - 3)

2 (x - 1) (x + 3)

= 2 x^{2} + 4 x - 6

puis on multiplie par

2

On retrouve

f (x)

: donc

f (x) = 2 (x - 1) (x + 3)

« vérifier » : on part de l'expression la plus compliquée

2 (x - 1) (x + 3)

= 0

on résout

f (x) = 0

avec la forme factorisée

x - 1

= 0 ou x + 3 = 0

produit nul ; le

2

n'est jamais nul

x

= 1 ou x = - 3

Les racines de

f

sont

- 3

1

La courbe coupe l'axe des abscisses aux points

(- 3; 0)

(1; 0)

ordonnée nulle sur l'axe des abscisses

À vous de jouer

Mêmes questions pour :

a)
$g (x) = - x^{2} + 2 x + 8$ , avec $g (x) = - (x - 4) (x + 2)$ ;
b)
$h (x) = 3 x^{2} - 12$ , avec $h (x) = 3 (x - 2) (x + 2)$ .

Correction

- (x - 4) (x + 2)

= - (x^{2} + 2 x - 4 x - 8)

on développe les parenthèses

- (x - 4) (x + 2)

= - (x^{2} - 2 x - 8)

- (x - 4) (x + 2)

= - x^{2} + 2 x + 8

-

change tous les signes

On retrouve

g (x)

. Racines :

x - 4 = 0

x + 2 = 0

, soit

4

- 2

produit nul

La courbe coupe l'axe des abscisses en

(- 2; 0)

(4; 0)

3 (x - 2) (x + 2)

= 3 (x^{2} - 4)

identité

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

3 (x - 2) (x + 2)

= 3 x^{2} - 12

On retrouve

h (x)

. Racines :

x - 2 = 0

x + 2 = 0

, soit

2

- 2

produit nul

La courbe coupe l'axe des abscisses en

(- 2; 0)

(2; 0)

À faire : exercices 23 à 25

Exercice 23 — Vérifier une forme factorisée

Pour chaque fonction, vérifier l'égalité en développant la forme factorisée.

a)
$f (x) = x^{2} + 2 x - 8 = (x - 2) (x + 4)$
b)
$g (x) = 3 x^{2} - 3 x - 18 = 3 (x + 2) (x - 3)$
c)
$h (x) = - x^{2} + 6 x - 5 = - (x - 1) (x - 5)$
d)
$k (x) = 2 x^{2} - 8 = 2 (x - 2) (x + 2)$

Corrigé

(x - 2) (x + 4)

= x^{2} + 4 x - 2 x - 8

(x - 2) (x + 4)

= x^{2} + 2 x - 8

on retrouve

f (x)

3 (x + 2) (x - 3)

= 3 (x^{2} - 3 x + 2 x - 6)

3 (x + 2) (x - 3)

= 3 x^{2} - 3 x - 18

- (x - 1) (x - 5)

= - (x^{2} - 6 x + 5)

- (x - 1) (x - 5)

= - x^{2} + 6 x - 5

2 (x - 2) (x + 2)

= 2 (x^{2} - 4)

2 (x - 2) (x + 2)

= 2 x^{2} - 8

On part de la forme factorisée, la plus compliquée, et on retrouve l'autre.

Exercice 24 — Lire les racines

Donner les racines de chaque fonction.

f (x) = (x - 3) (x + 1)

g (x) = 2 (x + 5) (x - 2)

h (x) = - (x - 4) (x - 6)

k (x) = 5 x (x - 7)

m (x) = - 3 (x + 2) (x + 8)

Corrigé

f

3

- 1

g

- 5

2

h

4

6

k

0

7

m

- 2

- 8

Dans $(x + 5)$ , la racine est $- 5$ : on change le signe.

Exercice 25 — Points sur les axes

Soit $f (x) = x^{2} - x - 6$ .

1.
Vérifier que $f (x) = (x + 2) (x - 3)$ .
2.
En déduire les racines de $f$ .
3.
Donner les points où la courbe de $f$ coupe l'axe des abscisses.
4.
Calculer $f (0)$ . Où la courbe coupe-t-elle l'axe des ordonnées ?

Corrigé

1°)
$(x + 2) (x - 3) = x^{2} - 3 x + 2 x - 6 = x^{2} - x - 6$ .
2°)
$x + 2 = 0$ ou $x - 3 = 0$ : racines $- 2$ et $3$ .
3°)
$(- 2; 0)$ et $(3; 0)$ .
4°)
$f (0) = - 6$ : la courbe coupe l'axe des ordonnées en $(0; - 6)$ .