Chapitre 3 — Calcul littéral et second degré · coursIX Tableaux de variations

Sommaire du chapitre

I — Développer
- Méthode 1 — Développer et réduire
II — Identités remarquables
- Méthode 2 — Développer avec une identité remarquable
III — Équations du premier degré
- Méthode 3 — Résoudre une équation du premier degré
IV — Équations $x^{2} = a$
- Méthode 4 — Résoudre une équation $x^{2} = a$
V — Équations produit
- Méthode 5 — Résoudre une équation produit
VI — Fonction polynôme du second degré
- Méthode 6 — Reconnaître une fonction du second degré, calculer une image
VII — Forme factorisée et racines
- Méthode 7 — Utiliser une forme factorisée
VIII — Représentation graphique
- Méthode 8 — Tracer une parabole
- Méthode 9 — Associer une fonction à sa parabole
IX — Tableaux de variations
- Méthode 10 — Dresser le tableau de variations
X — Problèmes type épreuve anticipée
- Méthode 11 — Étudier un modèle du second degré

Propriété 8 — Sommet et variations

Si $f$ a deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$ , le sommet $S$ de la parabole est au milieu : son abscisse est

x_{S} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}

et son ordonnée est $f (x_{S})$ .

$a > 0$ : $f (x_{S})$ est le minimum

$a < 0$ : $f (x_{S})$ est le maximum

Méthode 10 — Dresser le tableau de variations

Exemples corrigés

Donner le sommet de la parabole, puis le tableau de variations de :

a)
$f (x) = 2 (x - 1) (x + 3)$
b)
$g (x) = - (x - 2) (x - 6)$
c)
$h (x) = 3 x^{2} - 12 x$

Correction

Racines :

1

- 3

on annule chaque parenthèse

x_{S}

= \frac{1 + ( - 3 )}{2}

le milieu des racines

x_{S}

= - 1

f (- 1) = 2 \times (- 2) \times 2 = - 8

: sommet

S (- 1; - 8)

on remplace

x

par

- 1

dans la forme factorisée

a = 2 > 0

f

diminue, puis augmente ; son minimum est

- 8

tournée vers le haut

Racines :

2

6

;

x_{S} = \frac{2 + 6}{2} = 4

le milieu des racines

g (4) = - (2) \times (- 2) = 4

: sommet

S (4; 4)

4 - 2 = 2

4 - 6 = - 2

a = - 1 < 0

g

augmente, puis diminue ; son maximum est

4

tournée vers le bas

3 x^{2} - 12 x

= 0

les racines : on résout

h (x) = 0

x (3 x - 12)

= 0

on factorise par

x

x

= 0 ou x = 4

3 x = 12

x_{S} = \frac{0 + 4}{2} = 2

h (2) = 12 - 24 = - 12

: sommet

S (2; - 12)

3 \times 2^{2} = 12

a = 3 > 0

h

diminue, puis augmente ; son minimum est

- 12

À vous de jouer

Donner le sommet de la parabole, puis le tableau de variations de :

f (x) = 3 (x - 2) (x + 4)

g (x) = - 2 (x - 1) (x - 5)

h (x) = - x^{2} + 8 x

Correction

$f$

Racines :

2

- 4

;

x_{S} = \frac{2 + ( - 4 )}{2} = - 1

le milieu des racines

f (- 1) = 3 \times (- 3) \times 3 = - 27

: sommet

S (- 1; - 27)

;

a = 3 > 0

: minimum.

$g$

Racines :

1

5

;

x_{S} = \frac{1 + 5}{2} = 3

g (3) = - 2 \times 2 \times (- 2) = 8

: sommet

S (3; 8)

;

a = - 2 < 0

: maximum.

$h$

- x^{2} + 8 x

= 0

les racines

x (- x + 8)

= 0

on factorise par

x

x

= 0 ou x = 8

x_{S} = \frac{0 + 8}{2} = 4

h (4) = - 16 + 32 = 16

: sommet

S (4; 16)

;

a = - 1 < 0

: maximum.

À faire : exercices 29 à 31

Exercice 29 — Sommet et tableau de variations

Pour chaque fonction, donner le sommet de la parabole, puis le tableau de variations.

f (x) = (x - 2) (x - 6)

g (x) = - 2 (x + 1) (x - 3)

h (x) = 3 (x + 4) (x + 2)

k (x) = - (x - 5) (x + 1)

Corrigé

a) Racines $2$ et $6$ ; $x_{S} = \frac{2 + 6}{2} = 4$ ; $f (4) = 2 \times (- 2) = - 4$ : $S (4; - 4)$ , minimum ( $a = 1 > 0$ ).

b) Racines $- 1$ et $3$ ; $x_{S} = 1$ ; $g (1) = - 2 \times 2 \times (- 2) = 8$ : $S (1; 8)$ , maximum ( $a = - 2 < 0$ ).

c) Racines $- 4$ et $- 2$ ; $x_{S} = - 3$ ; $h (- 3) = 3 \times 1 \times (- 1) = - 3$ : $S (- 3; - 3)$ , minimum.

d) Racines $5$ et $- 1$ ; $x_{S} = 2$ ; $k (2) = - (- 3) \times 3 = 9$ : $S (2; 9)$ , maximum.

$a$ est le nombre devant les parenthèses : dans $- (x - 5) (x + 1)$ , $a = - 1$ .

Exercice 30 — Factoriser d'abord

Pour chaque fonction, trouver les racines, puis le sommet et le tableau de variations.

f (x) = x^{2} - 6 x

g (x) = - x^{2} + 10 x

h (x) = 2 x^{2} + 8 x

k (x) = x^{2} - 9

Corrigé

a) $x (x - 6) = 0$ : racines $0$ et $6$ ; $x_{S} = 3$ ; $f (3) = 9 - 18 = - 9$ : $S (3; - 9)$ , minimum.

b) $x (- x + 10) = 0$ : racines $0$ et $10$ ; $x_{S} = 5$ ; $g (5) = - 25 + 50 = 25$ : $S (5; 25)$ , maximum.

c) $x (2 x + 8) = 0$ : racines $0$ et $- 4$ ; $x_{S} = - 2$ ; $h (- 2) = 8 - 16 = - 8$ : $S (- 2; - 8)$ , minimum.

d) $x^{2} = 9$ : racines $- 3$ et $3$ ; $x_{S} = 0$ ; $k (0) = - 9$ : $S (0; - 9)$ , minimum.

Exercice 31 — Maximum ou minimum ?

1.
Pour chaque fonction $f$ , $g$ et $h$ , dire si elle admet un maximum ou un minimum, et le donner :

$f (x) = 4 (x - 1) (x - 3)$ $g (x) = - (x + 3) (x - 1)$ $h (x) = - 5 x (x - 2)$ .
2.
Calculer $f (0)$ et $f (4)$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ entre $0$ et $4$ .

Corrigé

1°)
$f$ : $a = 4 > 0$ , $x_{S} = 2$ , $f (2) = 4 \times 1 \times (- 1)$ : minimum $- 4$ en $2$ .

$g$ : $a = - 1 < 0$ , $x_{S} = - 1$ , $g (- 1) = - 2 \times (- 2)$ : maximum $4$ en $- 1$ .

$h$ : $a = - 5 < 0$ , $x_{S} = 1$ , $h (1) = - 5 \times 1 \times (- 1)$ : maximum $5$ en $1$ .
2°)
$f (0) = 4 \times (- 1) \times (- 3) = 12$ ; $f (4) = 4 \times 3 \times 1 = 12$ .