Chapitre 3 — Calcul littéral et second degré · coursII Identités remarquables

Sommaire du chapitre

Pour tous nombres $a$ et $b$ :

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Attention : $(x + 5)^{2}$ n'est pas égal à $x^{2} + 25$ ; il manque le double produit $2 ab$ .

Développer et réduire :

Correction

A

= (x + 5)^{2}

(a + b)^{2}

, avec

a = x

b = 5

A

= x^{2} + 2 \times x \times 5 + 5^{2}

a^{2} + 2 ab + b^{2}

A

= x^{2} + 10 x + 25

B

= (3 x - 2)^{2}

(a - b)^{2}

, avec

a = 3 x

b = 2

B

= (3 x)^{2} - 2 \times 3 x \times 2 + 2^{2}

a^{2} - 2 ab + b^{2}

B

= 9 x^{2} - 12 x + 4

(3 x)^{2} = 3 x \times 3 x = 9 x^{2}

C

= (x + 7) (x - 7)

(a + b) (a - b)

, avec

a = x

b = 7

C

= x^{2} - 7^{2}

a^{2} - b^{2}

C

= x^{2} - 49

Développer et réduire :

D = (x + 3)^{2}

E = (2 x + 5)^{2}

F = (x - 8)^{2}

G = (4 x - 1)^{2}

H = (x + 10) (x - 10)

I = (2 x - 9) (2 x + 9)

Correction

D

= x^{2} + 2 \times x \times 3 + 3^{2}

(a + b)^{2}

, avec

a = x

b = 3

D

= x^{2} + 6 x + 9

E

= (2 x)^{2} + 2 \times 2 x \times 5 + 5^{2}

a = 2 x

b = 5

E

= 4 x^{2} + 20 x + 25

F

= x^{2} - 2 \times x \times 8 + 8^{2}

(a - b)^{2}

, avec

a = x

b = 8

F

= x^{2} - 16 x + 64

G

= (4 x)^{2} - 2 \times 4 x \times 1 + 1^{2}

a = 4 x

b = 1

G

= 16 x^{2} - 8 x + 1

H

= x^{2} - 1 0^{2}

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

H

= x^{2} - 100

I

= (2 x)^{2} - 9^{2}

a = 2 x

b = 9

; l'ordre des parenthèses ne compte pas

I

= 4 x^{2} - 81

À faire : exercices 5 à 8

Développer et réduire.

A = (x + 4)^{2}

B = (x + 1)^{2}

C = (2 x + 3)^{2}

D = (3 x + 5)^{2}

Corrigé

A

= x^{2} + 2 \times x \times 4 + 4^{2}

a = x

b = 4

A

= x^{2} + 8 x + 16

B = x^{2} + 2 x + 1

C = 4 x^{2} + 12 x + 9

D = 9 x^{2} + 30 x + 25

Le double produit ne s'oublie pas : $(x + 4)^{2} \neq = x^{2} + 16$ .

Développer et réduire.

A = (x - 3)^{2}

B = (x - 10)^{2}

C = (2 x - 1)^{2}

D = (5 x - 2)^{2}

Corrigé

A

= x^{2} - 2 \times x \times 3 + 3^{2}

a = x

b = 3

A

= x^{2} - 6 x + 9

B = x^{2} - 20 x + 100

C = 4 x^{2} - 4 x + 1

D = 25 x^{2} - 20 x + 4

Développer et réduire.

A = (x + 6) (x - 6)

B = (x - 1) (x + 1)

C = (3 x + 2) (3 x - 2)

D = (4 x - 5) (4 x + 5)

Corrigé

A = x^{2} - 6^{2} = x^{2} - 36

B = x^{2} - 1

C = (3 x)^{2} - 2^{2} = 9 x^{2} - 4

D = 16 x^{2} - 25

$(3 x)^{2} = 9 x^{2}$ : le $3$ est aussi élevé au carré.

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

Corrigé

b

(

x^{2} - 14 x + 49

)2.

c

(

9 x^{2} + 6 x + 1

)

b

(

(x - 4) (x + 4)

)4.

a

(

4 x^{2} - 25

)