Chapitre 3 — Calcul littéral et second degré · coursX Problèmes type épreuve anticipée

Sommaire du chapitre

I — Développer
- Méthode 1 — Développer et réduire
II — Identités remarquables
- Méthode 2 — Développer avec une identité remarquable
III — Équations du premier degré
- Méthode 3 — Résoudre une équation du premier degré
IV — Équations $x^{2} = a$
- Méthode 4 — Résoudre une équation $x^{2} = a$
V — Équations produit
- Méthode 5 — Résoudre une équation produit
VI — Fonction polynôme du second degré
- Méthode 6 — Reconnaître une fonction du second degré, calculer une image
VII — Forme factorisée et racines
- Méthode 7 — Utiliser une forme factorisée
VIII — Représentation graphique
- Méthode 8 — Tracer une parabole
- Méthode 9 — Associer une fonction à sa parabole
IX — Tableaux de variations
- Méthode 10 — Dresser le tableau de variations
X — Problèmes type épreuve anticipée
- Méthode 11 — Étudier un modèle du second degré

À l'épreuve, une fonction du second degré sert de modèle (bénéfice, hauteur, population…) : on calcule des images, on vérifie une forme factorisée donnée, puis on en tire les racines, le sommet et les variations, et on interprète chaque résultat dans le contexte.

Méthode 11 — Étudier un modèle du second degré

Exemples corrigés

Un atelier fabrique et vend entre $0$ et $1200$ trottinettes électriques par an. On note $x$ le nombre de trottinettes, en centaines ( $x$ entre $0$ et $12$ ). Le bénéfice, en milliers d'euros, est modélisé par

B (x) = - 2 x^{2} + 24 x - 40.

Sa courbe est tracée ci-dessous ( $x$ en centaines, $B (x)$ en milliers d'euros).

1°)
Par lecture graphique, déterminer pour quelles quantités le bénéfice est de $30000$ €.
2°)
Calculer $B (1)$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
3°)
Vérifier que $B (x) = - 2 (x - 2) (x - 10)$ .
4°)
Pour quelles quantités le bénéfice est-il nul ?
5°)
Dresser le tableau de variations de $B$ entre $0$ et $12$ .
6°)
Quel est le bénéfice maximal ? Pour combien de trottinettes ?

Correction

1°)

La droite d'ordonnée

30

coupe la courbe en

x = 5

x = 7

30

milliers d'euros : la graduation

30

Le bénéfice est de

30000

€ pour

500

700

trottinettes.

on revient aux unités de l'énoncé

2°)

B (1)

= - 2 \times 1^{2} + 24 \times 1 - 40

on remplace

x

par

1

B (1)

= - 18

Pour

100

trottinettes, l'atelier perd

18000

€.

x = 1

: une centaine ;

B (1) < 0

: une perte

3°)

- 2 (x - 2) (x - 10)

= - 2 (x^{2} - 10 x - 2 x + 20)

on développe la forme donnée

- 2 (x - 2) (x - 10)

= - 2 (x^{2} - 12 x + 20)

- 2 (x - 2) (x - 10)

= - 2 x^{2} + 24 x - 40

on retrouve

B (x)

4°)

B (x) = 0

pour

x = 2

x = 10

: pour

200

1000

trottinettes.

produit nul sur la forme factorisée

5°)

x_{S} = \frac{2 + 10}{2} = 6

B (6) = - 2 \times 4 \times (- 4) = 32

le milieu des racines

B (0) = - 40

B (12) = - 2 \times 10 \times 2 = - 40

les valeurs aux bouts

a = - 2 < 0

B

augmente de

0

6

, puis diminue de

6

12

tournée vers le bas

6°)

Le bénéfice maximal est de

32000

€, pour

600

trottinettes.

on revient aux unités de l'énoncé

À vous de jouer

On lance une fusée à eau depuis le sol. Sa hauteur, en mètres, au bout de $t$ secondes ( $t$ entre $0$ et $4$ ) est

h (t) = - 5 t^{2} + 20 t .

Sa courbe est tracée ci-contre ( $t$ en secondes, $h (t)$ en mètres).

1°)
Par lecture graphique, déterminer à quels instants la fusée est à $15$ m de haut.
2°)
Calculer $h (1)$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
3°)
Vérifier que $h (t) = - 5 t (t - 4)$ .
4°)
À quels instants la fusée est-elle au sol ?
5°)
Dresser le tableau de variations de $h$ entre $0$ et $4$ .
6°)
Quelle est la hauteur maximale ? À quel instant ?

Correction

1°)

La droite horizontale d'ordonnée

15

coupe la courbe aux points d'abscisses

1

3

la graduation

15

La fusée est à

15

m de haut au bout de

1

s (en montant) et de

3

s (en descendant).

2°)

h (1)

= - 5 \times 1^{2} + 20 \times 1

on remplace

t

par

1

h (1)

= 15

Au bout de

1

seconde, la fusée est à

15

m de haut.

3°)

- 5 t (t - 4)

= - 5 t \times t - 5 t \times (- 4)

on développe la forme donnée

- 5 t (t - 4)

= - 5 t^{2} + 20 t

on retrouve

h (t)

4°)

h (t) = 0

pour

t = 0

t = 4

: la fusée part du sol à

0

s et y retombe au bout de

4

produit nul :

- 5 t = 0

t - 4 = 0

5°)

t_{S} = \frac{0 + 4}{2} = 2

h (2) = - 5 \times 2 \times (- 2) = 20

;

h (0) = 0

h (4) = 0

le milieu des racines

6°)

La hauteur maximale est de

20

m, au bout de

2

secondes.

a = - 5 < 0

: un maximum

À faire : exercices 32 à 34

Exercice 32 — Un food truck

Un food truck vend entre $0$ et $120$ repas par jour. On note $x$ le nombre de repas, en dizaines ( $x$ entre $0$ et $12$ ). Le bénéfice de la journée, en dizaines d'euros, est $B (x) = - x^{2} + 12 x - 20$ .

1.
Calculer $B (0)$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
2.
Vérifier que $B (x) = - (x - 2) (x - 10)$ .
3.
Pour combien de repas le bénéfice est-il nul ?
4.
Dresser le tableau de variations de $B$ entre $0$ et $12$ .
5.
Quel est le bénéfice maximal ? Pour combien de repas ?

Corrigé

1°)
$B (0) = - 20$ : sans aucun repas vendu, la journée coûte $200$ €.
2°)
$- (x - 2) (x - 10)$
$= - (x^{2} - 12 x + 20)$
$- (x - 2) (x - 10)$
$= - x^{2} + 12 x - 20$
3°)
$x = 2$ ou $x = 10$ : bénéfice nul pour $20$ ou $100$ repas.
4°)
$x_{S} = 6$ ; $B (6) = - (4) \times (- 4) = 16$ ; $B (12) = - (10) \times 2 = - 20$ .
5°)
Bénéfice maximal $160 €$ pour $60$ repas.

Penser aux unités : $x$ en dizaines de repas, $B (x)$ en dizaines d'euros.

Exercice 33 — Une balle lancée d'une falaise

On lance une balle du haut d'une falaise. Sa hauteur au-dessus de la mer, en mètres, au bout de $t$ secondes est $h (t) = - 5 t^{2} + 10 t + 15$ .

1.
Calculer $h (0)$ . Interpréter.
2.
Vérifier que $h (t) = - 5 (t + 1) (t - 3)$ .
3.
Au bout de combien de temps la balle touche-t-elle l'eau ?
4.
Dresser le tableau de variations de $h$ entre $0$ et $3$ .
5.
Quelle hauteur maximale la balle atteint-elle ? À quel instant ?

Corrigé

1°)
$h (0) = 15$ : la balle part de $15$ m, le haut de la falaise.
2°)
$- 5 (t + 1) (t - 3)$
$= - 5 (t^{2} - 3 t + t - 3)$
$- 5 (t + 1) (t - 3)$
$= - 5 (t^{2} - 2 t - 3)$
$- 5 (t + 1) (t - 3)$
$= - 5 t^{2} + 10 t + 15$
3°)
$t = - 1$ ou $t = 3$ ; un temps est positif : l'eau au bout de $3 s$ .
4°)
$t_{S} = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$ ; $h (1) = - 5 \times 2 \times (- 2) = 20$ .
5°)
$20 m$ au bout de $1 s$ .

Exercice 34 — Le plus grand enclos

Avec $40$ m de grillage, on entoure un enclos rectangulaire. On note $x$ la longueur d'un côté, en mètres ( $x$ entre $0$ et $20$ ).

1.
Si $x = 5$ , quelle est la longueur de l'autre côté ? Quelle est l'aire ?
2.
Justifier que l'autre côté mesure $20 - x$ et que l'aire est $A (x) = x (20 - x)$ .
3.
Développer $A (x)$ , puis donner les racines de $A$ .
4.
Dresser le tableau de variations de $A$ entre $0$ et $20$ .
5.
Quelles dimensions donnent la plus grande aire ? Quelle est-elle ?

Corrigé

1°)
Deux côtés voisins font la moitié du périmètre, $20$ m : l'autre côté mesure $15 m$ , l'aire $75 m^{2}$ .
2°)
De même, l'autre côté mesure $20 - x$ et l'aire est $A (x) = x (20 - x)$ .
3°)
$A (x) = - x^{2} + 20 x$ ; racines $0$ et $20$ .
4°)
$x_{S} = 10$ ; $A (10) = 10 \times 10 = 100$ .
5°)
Un carré de $10 m$ de côté : $100 m^{2}$ .

Exercices type épreuve anticipée

Exercice 35 — Automatismes (QCM)

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

1.
La solution de l'équation $6 x + 1 = 2 x + 9$ est :

a) $1$ b) $2$

c) $4$ d) $10$
2.
$(x + 3)^{2}$ est égal à :

a) $x^{2} + 9$ b) $x^{2} + 6 x + 9$

c) $x^{2} + 3 x + 9$ d) $x^{2} + 6 x + 6$
3.
L'ensemble des solutions de $x^{2} = 7$ est :

a) ${7}$ b) ${- 7; 7}$

c) ${7}$ d) ${- 3, 5; 3, 5}$
4.
L'ensemble des solutions de $(3 x - 6) (x + 4) = 0$ est :

a) ${- 2; 4}$ b) ${- 4; 2}$

c) ${- 4; 3}$ d) ${- 4; 6}$
5.
Le point d'abscisse $2$ de la courbe d'équation $y = x^{2} - 3 x + 1$ est :

a) $(2; - 1)$ b) $(2; 3)$

c) $(2; 11)$ d) $(2; - 3)$
6.
La fonction $f (x) = - 2 (x - 1) (x - 5)$ admet :

a) un minimum en $3$ b) un maximum en $3$

c) un maximum en $1$ d) un minimum en $5$

Corrigé

b

(

4 x = 8

)2.

b

b

b

(

x = 2

x = - 4

)

a

(

4 - 6 + 1 = - 1

)6.

b

(

a < 0

, milieu de

1

5

)

Exercice 36 — Une épidémie de grippe

Dans une ville, le nombre de malades de la grippe, en centaines, $x$ semaines après le début de l'épidémie ( $x$ entre $0$ et $8$ ), est modélisé par $f (x) = - x^{2} + 8 x$ .

1.
Lire $f (2)$ sur le graphique et interpréter.
2.
Déterminer graphiquement la semaine du pic de l'épidémie et le nombre de malades cette semaine-là.
3.
Calculer $f (1)$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
4.
Vérifier que $f (x) = - x (x - 8)$ . Au bout de combien de semaines l'épidémie s'arrête-t-elle ?
5.
Dresser le tableau de variations de $f$ entre $0$ et $8$ et retrouver par le calcul le nombre de malades au pic.

Corrigé

1°)
$f (2) = 12$ : $1200$ malades à la semaine $2$ .
2°)
Pic à la semaine $4$ , avec $1600$ malades.
3°)
$f (1) = - 1 + 8 = 7$ : $700$ malades au bout d'une semaine.
4°)
$- x (x - 8) = - x^{2} + 8 x$ . Racines $0$ et $8$ : l'épidémie s'arrête au bout de $8$ semaines.
5°)
$x_{S} = 4$ ; $f (4) = - 4 \times (- 4) = 16$ , soit $1600$ malades.

Exercice 37 — Le prix d'une place de théâtre

Une troupe de théâtre fixe le prix d'une place à $x$ euros ( $x$ entre $0$ et $20$ ). Elle prévoit alors $200 - 10 x$ spectateurs.

1.
Pour une place à $8$ €, combien de spectateurs la troupe prévoit-elle ? Quelle est la recette ?
2.
Quel prix donne $150$ spectateurs ?
3.
Justifier que la recette est $R (x) = x (200 - 10 x)$ , puis que $R (x) = - 10 x^{2} + 200 x$ .
4.
Donner les racines de $R$ et les interpréter.
5.
Dresser le tableau de variations de $R$ entre $0$ et $20$ .
6.
Quel prix donne la plus grande recette ? Quelle est-elle ?

Corrigé

1°)
$200 - 80 = 120$ spectateurs ; recette $8 \times 120 = 960 €$ .
2°)
$200 - 10 x$
$= 150$
$- 10 x$
$= - 50$
$x$
$= 5$

Une place à $5 €$ .
3°)
Recette = prix $\times$ spectateurs $= x (200 - 10 x)$ , puis $R (x) = 200 x - 10 x^{2} = - 10 x^{2} + 200 x$ .
4°)
$x = 0$ ou $200 - 10 x = 0$ : racines $0$ et $20$ . Places gratuites ou plus aucun spectateur à $20$ € : recette nulle.
5°)
$x_{S} = 10$ ; $R (10) = 10 \times 100 = 1000$ .
6°)
Place à $10 €$ : recette maximale $1000 €$ .