Chapitre 3 — Calcul littéral et second degré · coursVIII Représentation graphique

Sommaire du chapitre

I — Développer
- Méthode 1 — Développer et réduire
II — Identités remarquables
- Méthode 2 — Développer avec une identité remarquable
III — Équations du premier degré
- Méthode 3 — Résoudre une équation du premier degré
IV — Équations $x^{2} = a$
- Méthode 4 — Résoudre une équation $x^{2} = a$
V — Équations produit
- Méthode 5 — Résoudre une équation produit
VI — Fonction polynôme du second degré
- Méthode 6 — Reconnaître une fonction du second degré, calculer une image
VII — Forme factorisée et racines
- Méthode 7 — Utiliser une forme factorisée
VIII — Représentation graphique
- Méthode 8 — Tracer une parabole
- Méthode 9 — Associer une fonction à sa parabole
IX — Tableaux de variations
- Méthode 10 — Dresser le tableau de variations
X — Problèmes type épreuve anticipée
- Méthode 11 — Étudier un modèle du second degré

Propriété 7 — Allure de la parabole

La parabole de $f (x) = a x^{2} + b x + c$ :

est tournée vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$ ;
a un axe de symétrie vertical, qui passe par son point le plus bas (ou le plus haut) : le sommet $S$ ;
coupe l'axe des ordonnées au point $(0; c)$ , car $f (0) = c$ .

$a > 0$ : $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$

$a < 0$ : $g (x) = - x^{2} + 2 x + 2$

Méthode 8 — Tracer une parabole

Exemples corrigés

Soit $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

a)
Compléter le tableau de valeurs de $f$ pour les entiers de $- 2$ à $4$ .
b)
Tracer la courbe de $f$ .
c)
Lire le sommet et l'axe de symétrie.

Correction

f (- 2) = 4 + 4 - 3 = 5

;

f (- 1) = 1 + 2 - 3 = 0

; …

on remplace

x

par chaque valeur

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

On place les points, puis on les relie par une courbe arrondie, sans règle.

a = 1 > 0

: tournée vers le haut

Sommet

S (1; - 4)

; axe de symétrie : la droite verticale qui passe par

x = 1

les valeurs se répètent de part et d'autre de

1

À vous de jouer

Mêmes questions pour $g (x) = - x^{2} + 4 x$ , avec les entiers de $- 1$ à $5$ .

Correction

g (- 1) = - 1 - 4 = - 5

;

g (1) = - 1 + 4 = 3

; …

- (- 1)^{2} = - 1

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$g (x)$	$- 5$	$0$	$3$	$4$	$3$	$0$	$- 5$

On place les points et on les relie par une courbe arrondie.

a = - 1 < 0

: tournée vers le bas

Sommet

S (2; 4)

; axe : la droite verticale qui passe par

x = 2

Méthode 9 — Associer une fonction à sa parabole

Exemples corrigés

Associer chaque fonction à sa courbe :

f (x) = x^{2} + 1

g (x) = - x^{2} + 3

h (x) = x^{2} - 2

Correction

g

est la seule avec

a < 0

: sa courbe est tournée vers le bas, c'est

C_{2}

le signe de

a

f (0) = 1

h (0) = - 2

f

correspond à

C_{3}

, qui passe par

(0; 1)

, et

h

C_{1}

, qui passe par

(0; - 2)

le point

(0; c)

sur l'axe des ordonnées

À vous de jouer

Associer chaque fonction à sa courbe :

p (x) = - x^{2} - 1

q (x) = x^{2} - 3

r (x) = - x^{2} + 2

Correction

q

est la seule avec

a > 0

: sa courbe est tournée vers le haut, c'est

C_{2}

le signe de

a

p (0) = - 1

r (0) = 2

p

correspond à

C_{3}

, qui passe par

(0; - 1)

, et

r

C_{1}

, qui passe par

(0; 2)

le point

(0; c)

À faire : exercices 26 à 28

Exercice 26 — Tableau de valeurs et tracé

Pour chaque fonction, compléter le tableau de valeurs, tracer la courbe dans un repère, puis lire son sommet et son axe de symétrie.

a)
$f (x) = x^{2} - 4 x + 3$

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f (x)$

b)
$g (x) = - x^{2} + 2 x + 3$

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$g (x)$

Corrigé

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f (x)$	$8$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$3$	$8$

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$g (x)$	$- 5$	$0$	$3$	$4$	$3$	$0$	$- 5$

a) $S (2; - 1)$ , axe $x = 2$

b) $S (1; 4)$ , axe $x = 1$

Les valeurs se répètent de part et d'autre du sommet : c'est un contrôle.

Exercice 27 — Associer une fonction à sa courbe

Associer chaque fonction à sa courbe, en justifiant.

f (x) = x^{2} - 3

g (x) = - x^{2} + 4

h (x) = 2 x^{2}

k (x) = - x^{2} - 1

Corrigé

$g$ et $k$ ont $a < 0$ (courbes tournées vers le bas) : $g (0) = 4$ , donc $g \to C_{1}$ ; $k (0) = - 1$ , donc $k \to C_{4}$ .

$f$ et $h$ ont $a > 0$ : $f (0) = - 3$ , donc $f \to C_{3}$ ; $h (0) = 0$ , donc $h \to C_{2}$ .

Deux indices suffisent : le signe de $a$ et le point $(0; c)$ .

Exercice 28 — Lire une parabole

La courbe de $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ est tracée ci-dessous.

1.
La parabole est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ? Est-ce cohérent avec l'expression de $f$ ?
2.
Lire les coordonnées du sommet et l'axe de symétrie.
3.
Lire les racines de $f$ .
4.
Résoudre graphiquement $f (x) = - 3$ .
5.
Calculer $f (0)$ et retrouver ce point sur la courbe.

Corrigé

1°)
Vers le $haut$ ; cohérent : $a = 1 > 0$ .
2°)
Sommet $S (- 1; - 4)$ ; axe : la droite verticale qui passe par $x = - 1$ .
3°)
Racines $- 3$ et $1$ .
4°)
Points d'ordonnée $- 3$ : $S = {- 2; 0}$ .
5°)
$f (0) = - 3$ : le point $(0; - 3)$ , sur l'axe des ordonnées.