Chapitre 2 — Intervalles et fonctions · coursI Droite numérique, intervalles fermés

Sommaire du chapitre

I — Droite numérique, intervalles fermés
- Méthode 1 — Représenter un intervalle fermé
- Méthode 2 — Dire si un nombre appartient à un intervalle
II — Intervalles ouverts, inégalités
- Méthode 3 — Passer d'une inégalité à un intervalle, et inversement
III — Intersection, réunion, complémentaire
- Méthode 4 — Trouver l'intersection et la réunion
- Méthode 5 — Trouver le complémentaire d'un intervalle
IV — Image et antécédent
- Méthode 6 — Calculer une image
- Méthode 7 — Chercher ou vérifier un antécédent
V — Ensemble de définition
- Méthode 8 — Trouver la valeur interdite d'un quotient
- Méthode 9 — Déterminer un ensemble de définition
VI — Tableau de valeurs
- Méthode 10 — Dresser et lire un tableau de valeurs
VII — Courbe représentative
- Méthode 11 — Tracer une courbe, lire images et antécédents
- Méthode 12 — Savoir si un point est sur une courbe
VIII — Calculatrice NumWorks
- Méthode 13 — Étudier une fonction à la calculatrice
IX — Résolution graphique
- Méthode 14 — Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation
X — Comparer deux fonctions
- Méthode 15 — Comparer graphiquement deux fonctions

Définition 1 — Droite numérique

Sur une droite graduée, chaque point a une abscisse, et chaque nombre est l'abscisse d'un seul point. Les nombres ainsi repérés sont les nombres réels ; leur ensemble est noté $R$ , et la droite graduée s'appelle la droite numérique.

Définition 2 — Symboles de comparaison

On écrit	On lit	Cela veut dire
$a < b$	$a$ est strictement inférieur à $b$	$a$ est plus petit que $b$ , sans lui être égal
$a ⩽ b$	$a$ est inférieur ou égal à $b$	$a < b$ ou $a = b$
$a > b$	$a$ est strictement supérieur à $b$	$a$ est plus grand que $b$ , sans lui être égal
$a ⩾ b$	$a$ est supérieur ou égal à $b$	$a > b$ ou $a = b$

Le petit trait sous $⩽$ et $⩾$ dit que l'égalité est permise : $4 ⩽ 4$ est vrai, $4 < 4$ est faux ; $- 1 ⩾ - 6$ est vrai.

Définition 3 — Intervalle fermé

Pour deux réels $a < b$ , l'intervalle $[a; b]$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $a ⩽ x ⩽ b$ . Ses deux bornes lui appartiennent : les crochets sont tournés vers l'intervalle. On dit que l'intervalle est fermé.

Méthode 1 — Représenter un intervalle fermé

Exemples corrigés

Représenter sur une droite graduée :

a)
$I = [- 2; 3]$
b)
$J = [- \frac{3}{2}; \frac{1}{2}]$

Correction

On place les bornes

- 2

3

, on trace les crochets tournés vers l'intérieur, puis on épaissit le trait entre les deux.

les bornes sont dans

I

- \frac{3}{2} = - 1, 5

est au milieu de

- 2

- 1

;

\frac{1}{2} = 0, 5

au milieu de

0

1

une fraction se place par son écriture décimale

À vous de jouer

Représenter sur une droite graduée : $[1; 6]$ $[- 5; - 2]$ $[- \frac{1}{2}; \frac{5}{2}]$

Correction

$[1; 6]$

On place

1

6

, crochets tournés vers l'intérieur, trait épais entre les deux.

les deux bornes sont dans l'intervalle

$[- 5; - 2]$

- 5

est à gauche de

- 2

: on écrit toujours la plus petite borne à gauche.

$[- \frac{1}{2}; \frac{5}{2}]$

- \frac{1}{2} = - 0, 5

est au milieu de

- 1

0

;

\frac{5}{2} = 2, 5

au milieu de

2

3

une fraction se place par son écriture décimale

Méthode 2 — Dire si un nombre appartient à un intervalle

Exemples corrigés

Pour chaque nombre $1$ ; $\frac{2}{3}$ ; $\frac{1}{2}$ ; $π$ ; $4, 01$ , dire s'il appartient à $I = [\frac{2}{3}; 4]$ .

Correction

Résolution

1 \in I

, car

\frac{2}{3} ⩽ 1 ⩽ 4

on compare aux deux bornes

\frac{2}{3} \in I

: c'est une borne, et le crochet est fermé.

crochet tourné vers l'intervalle

\frac{1}{2} \in / I

, car

\frac{1}{2} = 0, 5

\frac{2}{3} ≃ 0, 67

on passe aux écritures décimales

π \in I

, car

π ≃ 3, 14

4, 01 \in / I

, car

4, 01 > 4

À vous de jouer

1°)
Avec $J = [- 3; \frac{5}{2}]$ , compléter par $\in$ ou $\in /$ : $- 3 \dots J$ $\frac{5}{2} \dots J$ $2, 6 \dots J$ $π \dots J$ $- 3, 1 \dots J$
2°)
Même question avec $K = [- 1; π]$ : $- 1 \dots K$ $3 \dots K$ $3, 2 \dots K$ $- 1, 5 \dots K$

Correction

1°)

- 3 \in J

: c'est une borne, et le crochet est fermé.

crochet tourné vers l'intervalle

\frac{5}{2} \in J

: c'est l'autre borne, crochet fermé.

2, 6 \in / J

, car

\frac{5}{2} = 2, 5

2, 6 > 2, 5

on passe à l'écriture décimale

π \in / J

, car

π ≃ 3, 14

3, 14 > 2, 5

- 3, 1 \in / J

, car

- 3, 1 < - 3

- 3, 1

est à gauche de

- 3

2°)

- 1 \in K

: c'est une borne, crochet fermé.

3 \in K

, car

- 1 ⩽ 3 ⩽ π

π ≃ 3, 14

3, 2 \in / K

, car

3, 2 > 3, 14

- 1, 5 \in / K

, car

- 1, 5 < - 1

À faire : exercices 1 à 3

Exercice 1 — Représenter des intervalles fermés

1)
Représenter sur une droite graduée :
$I = [1; 4]$ ; $J = [- 6; - 3]$ ; $K = [- 2; 3]$ ; $L = [- \frac{1}{2}; \frac{5}{2}]$ .
2)
Écrire l'intervalle représenté ci-dessous.
3)
Pour chaque nombre, dire s'il appartient à l'intervalle écrit à côté :
a) $4$ et $[0; 4]$ ; b) $9$ et $[3; 8, 9]$ ; c) $- 3$ et $[- 4; - 2]$ ; d) $- 50$ et $[- 49; - 5]$ .

Corrigé

Une droite par intervalle, ou deux couleurs sur une même droite.

2) $[- 2; 5]$

3) a) $4 \in [0; 4]$ (borne incluse) ; b) $9 \in / [3; 8, 9]$ ; c) $- 3 \in [- 4; - 2]$ ; d) $- 50 \in / [- 49; - 5]$ ( $- 50 < - 49$ ).

Exercice 2 — Appartenance

Compléter par $\in$ ou $\in /$ :

a)
$2 \dots [- 3; 7]$
b)
$- 4 \dots [- 3; 5]$
c)
$1 0^{- 2} \dots [0; 1]$
d)
$π \dots [3, 1; 3, 2]$
e)
$- 3 \dots [- 6; - 3]$
f)
$1, 5 \dots [1, 6; 2]$

Corrigé

2 \in [- 3; 7]

- 4 \in / [- 3; 5]

1 0^{- 2} \in [0; 1]

π \in [3, 1; 3, 2]

- 3 \in [- 6; - 3]

1, 5 \in / [1, 6; 2]

c) $1 0^{- 2} = 0, 01$ ; d) $π ≃ 3, 14$ .

Exercice 3 — Nombres dans un intervalle

1)
Donner tous les entiers positifs ou nuls de l'intervalle $[- 2; \frac{7}{2}]$ .
2)
Donner deux nombres décimaux de $[3, 7; 3, 8]$ , autres que les bornes.
3)
Donner un intervalle fermé qui contient $π$ et dont les bornes sont deux entiers qui se suivent.

Corrigé

1) $\frac{7}{2} = 3, 5$ : les entiers positifs ou nuls de l'intervalle sont $0; 1; 2; 3$ .

2) Par exemple $3, 72$ et $3, 75$ .

3) $3 < π < 4$ : $[3; 4]$ .