Faire des maths

Chapitre 2 — Intervalles et fonctions · coursII Intervalles ouverts, inégalités

Sommaire du chapitre
  1. I — Droite numérique, intervalles fermés
  2. II — Intervalles ouverts, inégalités
  3. III — Intersection, réunion, complémentaire
  4. IV — Image et antécédent
  5. V — Ensemble de définition
  6. VI — Tableau de valeurs
  7. VII — Courbe représentative
  8. VIII — Calculatrice NumWorks
  9. IX — Résolution graphique
  10. X — Comparer deux fonctions

Définition 4 — Bornes exclues, infini

  • Un crochet tourné vers l'extérieur indique que la borne n'appartient pas à l'intervalle.
  • Un intervalle sans aucune de ses bornes est ouvert ; avec une seule de ses bornes, il est semi-ouvert.
  • Quand l'intervalle n'est pas limité d'un côté, on écrit («  plus l'infini ») ou («  moins l'infini ») ; de ce côté, le crochet est toujours tourné vers l'extérieur. L'infini n'est pas un nombre : on ne peut jamais l'atteindre.

Propriété 1 — À retenir

Réels tels queNotationReprésentation

ou  : crochet fermé ;   , , ou  : crochet ouvert.

Méthode 3 — Passer d'une inégalité à un intervalle, et inversement

Exemples corrigés

  1. a)
    Écrire avec un intervalle, puis représenter :        
  2. b)
    Écrire avec une inégalité :     
Correction

a)

 :
 :
 :
Les crochets suivent les symboles : fermé pour et , ouvert pour , et du côté de l'infini.
on écrit toujours la plus petite borne à gauche

b)

s'écrit .
inclus, exclu
s'écrit .
exclu

À vous de jouer

  1. 1°)
    Écrire avec un intervalle, puis représenter :           
  2. 2°)
    Écrire avec une inégalité :        
Correction

1°)

 :
 :
 :
 :
Crochet fermé pour et  ; ouvert pour , et du côté de l'infini.
la plus petite borne à gauche

2°)

s'écrit .
exclu
s'écrit .
exclu, inclus
s'écrit .
inclus
À faire : exercices 4 à 8

Exercice 4 — D'un intervalle à une inégalité

Écrire avec une inégalité le fait que appartient à chaque intervalle. Dire si l'intervalle est ouvert, fermé ou semi-ouvert.

  1. a)
  2. b)
  3. c)
  4. d)
  5. e)
  6. f)
Corrigé

a) , fermé   b) , ouvert

c) , semi-ouvert   d) , ouvert

e) , semi-ouvert   f) , ouvert

Exercice 5 — D'une phrase à un intervalle

Chaque phrase décrit des nombres . Écrire l'inégalité qui les décrit, puis l'intervalle, et le représenter sur une droite graduée.

  1. 1)
    Les nombres supérieurs ou égaux à .
  2. 2)
    Les nombres strictement compris entre et .
  3. 3)
    Les nombres strictement inférieurs à .
  4. 4)
    Les nombres positifs ou nuls et strictement inférieurs à .
Corrigé

1)  :

2)  :

3)  :

4)  :

«  Positifs ou nuls » : est inclus ; «  strictement » : la borne est exclue.

Exercice 6 — D'une inégalité à un intervalle

Écrire avec un intervalle, puis représenter sur une droite graduée :

  1. a)
  2. b)
  3. c)
  4. d)
  5. e)
  6. f)
Corrigé
a) b)
c) d)
e) f)

Les représentations se font comme à l'exercice 1 : crochet tourné vers l'extérieur pour une borne exclue et du côté de l'infini.

Exercice 7 — Tableau à compléter

  1. 1)

    Écrire avec un intervalle :

    a) b) c)
  2. 2)
    Compléter le tableau (représentation sur une droite graduée à main levée).
Inégalité(s)IntervalleReprésentation
Corrigé

1)  ;  ;

2)

Inégalité(s)Intervalle

Exercice 8 — Bornes incluses ou exclues ?

Compléter par ou , en s'aidant des crochets.

  1. a)
  2. b)
  3. c)
  4. d)
  5. e)
  6. f)
  7. g)
  8. h)
Corrigé
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)