Chapitre 2 — Intervalles et fonctions · coursVII Courbe représentative

Sommaire du chapitre

I — Droite numérique, intervalles fermés
- Méthode 1 — Représenter un intervalle fermé
- Méthode 2 — Dire si un nombre appartient à un intervalle
II — Intervalles ouverts, inégalités
- Méthode 3 — Passer d'une inégalité à un intervalle, et inversement
III — Intersection, réunion, complémentaire
- Méthode 4 — Trouver l'intersection et la réunion
- Méthode 5 — Trouver le complémentaire d'un intervalle
IV — Image et antécédent
- Méthode 6 — Calculer une image
- Méthode 7 — Chercher ou vérifier un antécédent
V — Ensemble de définition
- Méthode 8 — Trouver la valeur interdite d'un quotient
- Méthode 9 — Déterminer un ensemble de définition
VI — Tableau de valeurs
- Méthode 10 — Dresser et lire un tableau de valeurs
VII — Courbe représentative
- Méthode 11 — Tracer une courbe, lire images et antécédents
- Méthode 12 — Savoir si un point est sur une courbe
VIII — Calculatrice NumWorks
- Méthode 13 — Étudier une fonction à la calculatrice
IX — Résolution graphique
- Méthode 14 — Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation
X — Comparer deux fonctions
- Méthode 15 — Comparer graphiquement deux fonctions

Définition 11 — Courbe d'une fonction

Dans un repère, la courbe représentative $C_{f}$ d'une fonction $f$ est formée des points de coordonnées $(x; f (x))$ : antécédents en abscisse, images en ordonnée. Un point $M (x; y)$ est sur $C_{f}$ lorsque $y = f (x)$ .

Méthode 11 — Tracer une courbe, lire images et antécédents

On place les points d'un tableau de valeurs et on les relie à main levée par une courbe sans angle. L'image de $a$ se lit en ordonnée, au-dessus (ou au-dessous) de $a$ ; les antécédents de $b$ sont les abscisses des points de la courbe situés sur la droite horizontale $y = b$ .

Exemples corrigés

Soit $f (x) = x^{2} - 4$ , de $- 3$ à $3$ .

a)
Dresser le tableau de valeurs de $f$ de $- 3$ à $3$ avec un pas de $1$ , puis tracer la courbe de $f$ .
b)
Lire les antécédents de $5$ , puis ceux de $- 5$ .

Correction

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

On place les sept points, puis on les relie : la courbe obtenue est une parabole.

La droite $y = 5$ coupe la courbe aux points d'abscisses $- 3$ et $3$ : les antécédents de $5$ sont $- 3$ et $3$ . La droite $y = - 5$ ne coupe pas la courbe : $- 5$ n'a pas d'antécédent.

Méthode 12 — Savoir si un point est sur une courbe

On calcule l'image de l'abscisse du point et on la compare à son ordonnée : $M (x_{M}; y_{M})$ est sur $C_{f}$ lorsque $f (x_{M}) = y_{M}$ .

Exemples corrigés

Avec $f (x) = x^{2} - 4$ : les points $A (2, 5; 2, 25)$ et $B (- 1; 3)$ sont-ils sur $C_{f}$ ?

Correction

Point $A$

f (2, 5)

= 2, 5^{2} - 4

l'image de l'abscisse de

A

f (2, 5)

= 6, 25 - 4

f (2, 5)

= 2, 25

f (2, 5) = 2, 25

, l'ordonnée de

A

A \in C_{f}

on compare à l'ordonnée

Point $B$

f (- 1)

= (- 1)^{2} - 4

l'image de l'abscisse de

B

f (- 1)

= 1 - 4

f (- 1)

= - 3

f (- 1) = - 3

, alors que l'ordonnée de

B

est

3

B \in / C_{f}

- 3 \neq = 3

À vous de jouer

1°)
Ci-contre, la courbe d'une fonction $f$ . Lire :
1. a)
  l'ensemble de définition de $f$ ;
2. b)
  l'image de $- 3$ , de $0$ et de $4$ ;
3. c)
  les antécédents de $1$ , de $- 1$ , de $2$ et de $4$ .
2°)
Soit $u (x) = 2 x^{2} - 5$ . Les points $A (- 2; 3)$ , $B (1, 5; - 0, 5)$ et $C (0; 5)$ sont-ils sur la courbe de $u$ ?

Correction

1°)

a) La courbe va de l'abscisse

- 5

à l'abscisse

4

D_{f} = [- 5; 4]

on lit les abscisses des extrémités

f (- 3) = 2

f (0) = - 2

f (4) = 3

de l'axe des abscisses vers la courbe, puis vers l'axe des ordonnées

c) La droite horizontale

y = 1

coupe la courbe en

- 4

- 2

2

: ce sont les antécédents de

1

de l'axe des ordonnées vers la courbe

Antécédents de

- 1

- 5

- 1

1

; de

2

- 3

3

La courbe ne monte pas jusqu'à

4

4

n'a pas d'antécédent.

elle culmine à

3

2°)

u (- 2)

= 2 \times (- 2)^{2} - 5

l'image de l'abscisse de

A

u (- 2)

= 8 - 5 = 3

u (1, 5)

= 2 \times 1, 5^{2} - 5

1, 5^{2} = 2, 25

u (1, 5)

= 4, 5 - 5 = - 0, 5

u (0)

= 2 \times 0^{2} - 5 = - 5

u (- 2) = 3

A

est sur la courbe ;

u (1, 5) = - 0, 5

B

aussi ;

u (0) = - 5

, alors que l'ordonnée de

C

est

5

C

n'y est pas.

on compare chaque image à l'ordonnée du point

À faire : exercices 25 à 28

Exercice 25 — Lecture graphique

La courbe ci-dessus représente une fonction $f$ . Lire :

a)
l'ensemble de définition de $f$ ;
b)
l'image de $3$ et l'image de $- 1$ ;
c)
$f (- 2)$ et $f (- 4)$ ;
d)
les antécédents de $2$ , de $0$ , de $- 2$ et de $- 3$ ;
e)
les nombres $x$ tels que $f (x) = 3$ .

Corrigé

a) $D_{f} = [- 4; 5]$

b) $f (3) = 0$ et $f (- 1) = 0$

c) $f (- 2) = 2$ et $f (- 4) = 2$

d) Antécédents de $2$ : $- 4; - 2; 4$ ; de $0$ : $- 1; 3$ ; de $- 2$ : $1$ ; $- 3$ n'a $aucun ant \overset{e}{ˊ} c \overset{e}{ˊ} dent$ .

e) $- 3$ et $5$ .

Pour les antécédents de $2$ , on trace la droite $y = 2$ et on lit toutes les abscisses des points de la courbe sur cette droite.

Exercice 26 — Points et courbes

1)
$C_{f}$ est la courbe d'une fonction $f$ . Traduire chaque égalité par une phrase « le point … appartient à $C_{f}$ » :

a) $f (0) = - 3$ b) $f (- 4) = 0$ c) $f (2) = f (6) = 1$
2)
Traduire par des égalités : a) $C_{f}$ passe par le point $(3; - 2)$ ; b) $C_{f}$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $4$ ; c) $C_{f}$ coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $- 1$ et $5$ .
3)
Pour chaque fonction $f$ , dire si les points $A$ , $B$ et $C$ sont sur sa courbe, puis donner les coordonnées de deux autres points de cette courbe.
1. a)
  $f (x) = x^{2} - 3$ : $A (- 2; 1)$ , $B (3; 5)$ , $C (1, 5; - 0, 75)$ .
2. b)
  $f (x) = 3 x + 1$ : $A (- 2; - 5)$ , $B (2; 6)$ , $C (\frac{1}{3}; 2)$ .

Corrigé

1) Les points $(0; - 3)$ ; $(- 4; 0)$ ; $(2; 1)$ et $(6; 1)$ appartiennent à $C_{f}$ .

2) a) $f (3) = - 2$ ; b) $f (0) = 4$ ; c) $f (- 1) = 0$ et $f (5) = 0$ .

3) a) $f (- 2) = 1$ : $A \in C_{f}$ ; $f (3) = 6 \neq = 5$ : $B \in / C_{f}$ ; $f (1, 5) = 2, 25 - 3 = - 0, 75$ : $C \in C_{f}$ . Autres points : $(0; - 3)$ , $(1; - 2)$ .

b) $f (- 2) = - 5$ : $A \in C_{f}$ ; $f (2) = 7 \neq = 6$ : $B \in / C_{f}$ ; $f (\frac{1}{3}) = 2$ : $C \in C_{f}$ . Autres points : $(0; 1)$ , $(1; 4)$ .

Exercice 27 — Trois antécédents

À l'aide de la courbe de la fonction $f$ ci-contre, déterminer :

a)
l'ensemble des nombres qui ont une image ;
b)
l'image de $2$ ;
c)
les antécédents de $- 3$ ;
d)
un nombre qui a trois antécédents ;
e)
un nombre qui n'a aucun antécédent.

Corrigé

a) $[- 3; 3]$ b) $f (2) = 0$ c) $- 3$

d) $0$ (antécédents $- 2$ , $0$ et $2$ ) ; tout nombre strictement compris entre $- 1$ et $2$ convient aussi.

e) Par exemple $5$ : aucun point de la courbe n'a une ordonnée supérieure à $4$ .

Exercice 28 — Quelle courbe passe par ce point ?

On considère les fonctions définies sur $] 0; + \infty [$ par :

f (x) = 10 - x;

g (x) = \frac{24}{x};

h (x) = - 2 x + 14;

k (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x - 4.

1)
Parmi ces fonctions, lesquelles ont une courbe qui passe par le point $A (4; 6)$ ?
2)
Même question avec $B (6; 4)$ , puis avec $C (8; 4)$ .

Corrigé

	$f$	$g$	$h$	$k$
$x = 4$	$6$	$6$	$6$	$8$
$x = 6$	$4$	$4$	$2$	$8$
$x = 8$	$2$	$3$	$- 2$	$4$

1) $A (4; 6)$ : courbes de $f$ , $g$ et $h$ .

2) $B (6; 4)$ : courbes de $f$ et $g$ ; $C (8; 4)$ : courbe de $k$ .