Chapitre 2 — Intervalles et fonctions · coursIX Résolution graphique

Sommaire du chapitre

I — Droite numérique, intervalles fermés
- Méthode 1 — Représenter un intervalle fermé
- Méthode 2 — Dire si un nombre appartient à un intervalle
II — Intervalles ouverts, inégalités
- Méthode 3 — Passer d'une inégalité à un intervalle, et inversement
III — Intersection, réunion, complémentaire
- Méthode 4 — Trouver l'intersection et la réunion
- Méthode 5 — Trouver le complémentaire d'un intervalle
IV — Image et antécédent
- Méthode 6 — Calculer une image
- Méthode 7 — Chercher ou vérifier un antécédent
V — Ensemble de définition
- Méthode 8 — Trouver la valeur interdite d'un quotient
- Méthode 9 — Déterminer un ensemble de définition
VI — Tableau de valeurs
- Méthode 10 — Dresser et lire un tableau de valeurs
VII — Courbe représentative
- Méthode 11 — Tracer une courbe, lire images et antécédents
- Méthode 12 — Savoir si un point est sur une courbe
VIII — Calculatrice NumWorks
- Méthode 13 — Étudier une fonction à la calculatrice
IX — Résolution graphique
- Méthode 14 — Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation
X — Comparer deux fonctions
- Méthode 15 — Comparer graphiquement deux fonctions

Propriété 3 — Résoudre graphiquement

Les solutions de $f (x) = k$ sont les abscisses des points de $C_{f}$ situés sur la droite horizontale $y = k$ : ce sont les antécédents de $k$ .
Les solutions de $f (x) > k$ sont les abscisses des points de $C_{f}$ situés strictement au-dessus de cette droite ; pour $f (x) < k$ , strictement au-dessous.
Pour $f (x) ⩾ k$ ou $f (x) ⩽ k$ , on garde aussi les points sur la droite : crochets fermés.

Une équation se conclut par des accolades, une inéquation par des intervalles.

Méthode 14 — Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation

Exemples corrigés

Un rectangle a un périmètre de $12$ cm ; un de ses côtés mesure $x$ cm, avec $0 ⩽ x ⩽ 6$ . Son aire est $f (x) = 6 x - x^{2}$ .

a)
Dresser le tableau de valeurs de $f$ de $0$ à $6$ avec un pas de $1$ , puis tracer la courbe de $f$ .
b)
Résoudre graphiquement $f (x) = 5$ , puis $f (x) = 10$ .
c)
Résoudre graphiquement $f (x) ⩾ 5$ , puis $f (x) < 5$ .

Correction

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$f (x)$	$0$	$5$	$8$	$9$	$8$	$5$	$0$

La droite $y = 5$ coupe $C_{f}$ aux points d'abscisses $1$ et $5$ : $S = {1; 5}$ . La droite $y = 10$ ne coupe pas $C_{f}$ : $S = \emptyset$ .

$C_{f}$ est sur la droite $y = 5$ ou au-dessus entre $1$ et $5$ : $S = [1; 5]$ (en rouge sur l'axe). $C_{f}$ est strictement au-dessous au début et à la fin : $S = [0; 1 [\cup] 5; 6]$ .

Le rectangle a une aire d'au moins

5

^{2}

quand son côté mesure entre

1

5

cm.

on revient au problème

À vous de jouer

Ci-contre, la courbe d'une fonction $f$ définie sur $[- 4; 4]$ .

1°)
Résoudre graphiquement : $f (x) = 1$ $f (x) = 2$ $f (x) = - 2$ $f (x) = 3$
2°)
Résoudre graphiquement : $f (x) ⩾ 1$ $f (x) < 2$ $f (x) > - 2$

Correction

1°)

La droite

y = 1

coupe

C_{f}

aux abscisses

- 3

- 1

3

S = {- 3; - 1; 3}

on trace la droite horizontale, puis on lit les abscisses

La droite

y = 2

touche

C_{f}

- 2

et en

4

S = {- 2; 4}

La droite

y = - 2

touche

C_{f}

1

seulement :

S = {1}

La droite

y = 3

ne coupe pas

C_{f}

S = \emptyset

la courbe ne dépasse pas

2

2°)

C_{f}

est sur la droite

y = 1

ou au-dessus de

- 3

- 1

et de

3

4

S = [- 3; - 1] \cup [3; 4]

inégalité large : bornes comprises

C_{f}

est strictement sous la droite

y = 2

partout, sauf en

- 2

et en

4

S = [- 4; - 2 [\cup] - 2; 4 [

on retire les abscisses où

f (x) = 2

C_{f}

est strictement au-dessus de la droite

y = - 2

partout, sauf en

1

S = [- 4; 1 [\cup] 1; 4]

on retire l'abscisse où

f (x) = - 2

À faire : exercices 33 à 36

Exercice 33 — Équations

Ci-dessous, la courbe d'une fonction $f$ définie sur $[0; 10]$ .

1)
Résoudre graphiquement :

a) $f (x) = 2$ b) $f (x) = 1$ c) $f (x) = 0$

d) $f (x) = - 2$ e) $f (x) = 3$
2)
Combien de solutions l'équation $f (x) = - 1$ a-t-elle ?

Corrigé

1) a) $S = {5}$ b) $S = {4; 6}$ c) $S = {0; 3; 8}$

d) $S = {1}$ e) $S = \emptyset$

2) La droite $y = - 1$ coupe la courbe en $3$ points (entre $0$ et $1$ , en $2$ et en $10$ ) : trois solutions.

Exercice 34 — Inéquations

La courbe de $f$ est celle de l'exercice précédent. Résoudre graphiquement :

a)
$f (x) > - 2$
b)
$f (x) < 1$
c)
$f (x) ⩽ 2$
d)
$f (x) ⩾ 1$

Corrigé

a) $S = [0; 1 [\cup] 1; 10]$

b) $S = [0; 4 [\cup] 6; 10]$

c) $S = [0; 10]$

d) $S = [4; 6]$

a) $f (1) = - 2$ : $1$ est exclu, car l'inégalité est stricte. c) La courbe ne monte jamais au-dessus de $y = 2$ .

Exercice 35 — Équation et inéquations

$C$ est la courbe d'une fonction $f$ définie sur $[- 4; 5]$ .

a)
Résoudre graphiquement $f (x) = 1$ .
b)
Résoudre graphiquement $f (x) ⩽ 1$ .
c)
Résoudre graphiquement $f (x) < - 1$ .

Corrigé

a) $S = {- 4; 0; 4}$

b) $S = [- 4; 0] \cup [4; 5]$

c) $S =] - 3; - 1 [$

Exercice 36 — Avec la formule

Soit $f$ la fonction définie sur $[- 3; 3]$ par $f (x) = \frac{x ^{3} - 7 x + 6}{2}$ , représentée ci-dessous.

1)
Dresser à la calculatrice le tableau de valeurs de $f$ de $- 3$ à $3$ avec un pas de $1$ .
2)
Lire l'image de $0$ , puis résoudre graphiquement $f (x) = 6$ .
3)
Vérifier que $x^{3} - 7 x - 6 = (x + 1) (x + 2) (x - 3)$ et en déduire les solutions exactes de $f (x) = 6$ .
4)
Résoudre graphiquement $f (x) ⩾ 6$ , puis $f (x) < 0$ .
5)
Combien de solutions ont les équations $f (x) = 0$ ; $f (x) = 4$ ; $f (x) = - 1$ ?

Corrigé

1) $0$ ; $6$ ; $6$ ; $3$ ; $0$ ; $0$ ; $6$ .

2) $f (0) = 3$ ; $f (x) = 6$ : $S = {- 2; - 1; 3}$ .

(x + 1) (x + 2)

= x^{2} + 3 x + 2

(x^{2} + 3 x + 2) (x - 3)

= x^{3} - 7 x - 6

$f (x) = 6$ revient à $x^{3} - 7 x + 6 = 12$ , soit $x^{3} - 7 x - 6 = 0$ , c'est-à-dire $(x + 1) (x + 2) (x - 3) = 0$ : les solutions exactes sont $- 1$ , $- 2$ et $3$ .

4) $f (x) ⩾ 6$ : $S = [- 2; - 1] \cup {3}$ ; $f (x) < 0$ : $S =] 1; 2 [$ .

5) $f (x) = 0$ : $3$ solutions ( $- 3$ , $1$ , $2$ ) ; $f (x) = 4$ : $3$ ; $f (x) = - 1$ : $0$ .