Chapitre 2 — Intervalles et fonctions · coursIII Intersection, réunion, complémentaire

Sommaire du chapitre

I — Droite numérique, intervalles fermés
- Méthode 1 — Représenter un intervalle fermé
- Méthode 2 — Dire si un nombre appartient à un intervalle
II — Intervalles ouverts, inégalités
- Méthode 3 — Passer d'une inégalité à un intervalle, et inversement
III — Intersection, réunion, complémentaire
- Méthode 4 — Trouver l'intersection et la réunion
- Méthode 5 — Trouver le complémentaire d'un intervalle
IV — Image et antécédent
- Méthode 6 — Calculer une image
- Méthode 7 — Chercher ou vérifier un antécédent
V — Ensemble de définition
- Méthode 8 — Trouver la valeur interdite d'un quotient
- Méthode 9 — Déterminer un ensemble de définition
VI — Tableau de valeurs
- Méthode 10 — Dresser et lire un tableau de valeurs
VII — Courbe représentative
- Méthode 11 — Tracer une courbe, lire images et antécédents
- Méthode 12 — Savoir si un point est sur une courbe
VIII — Calculatrice NumWorks
- Méthode 13 — Étudier une fonction à la calculatrice
IX — Résolution graphique
- Méthode 14 — Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation
X — Comparer deux fonctions
- Méthode 15 — Comparer graphiquement deux fonctions

Définition 5 — Intersection

L'intersection de deux intervalles $I$ et $J$ , notée $I \cap J$ (« $I$ inter $J$ »), est l'ensemble des nombres qui appartiennent à la fois à $I$ et à $J$ . S'il n'y en a aucun, l'intersection est l'ensemble vide, noté $\emptyset$ .

Définition 6 — Réunion

La réunion de deux intervalles $I$ et $J$ , notée $I \cup J$ (« $I$ union $J$ »), est l'ensemble des nombres qui appartiennent à $I$ ou à $J$ : à $I$ seulement, à $J$ seulement, ou aux deux.

Méthode 4 — Trouver l'intersection et la réunion

Exemples corrigés

Déterminer $I \cap J$ et $I \cup J$ :

a)
$I = [- 2; 2]$ et $J =] 0; 5 [$
b)
$I =] - \infty; - 2]$ et $J = [1; 3]$

Correction

Les intervalles se superposent de

0

2

;

0 \in / J

2 \in I \cap J

I \cap J =] 0; 2]

on représente

I

J

sur le même axe

Ils couvrent de

- 2

(

- 2 \in I

) à

5

(

5

n'est ni dans

I

ni dans

J

) :

I \cup J = [- 2; 5 [

une borne de

I \cup J

est dans

I

ou dans

J

Aucune zone commune :

I \cap J = \emptyset

La réunion ne s'écrit pas avec un seul intervalle :

I \cup J =] - \infty; - 2] \cup [1; 3]

il y a un trou entre

- 2

1

À vous de jouer

Déterminer $I \cap J$ et $I \cup J$ :

a)
$I = [- 3; 2 [$ et $J = [- 1; + \infty [$
b)
$I =] - \infty; 1]$ et $J =] 1; 4]$
c)
$I = [0; 5]$ et $J =] 1; 3 [$

Correction

Zone commune de

- 1

2

;

- 1

est dans

I

et dans

J

2

n'est pas dans

I

I \cap J = [- 1; 2 [

on représente

I

J

sur le même axe

Ensemble couvert : de

- 3

(

- 3 \in I

) jusqu'à l'infini :

I \cup J = [- 3; + \infty [

Le seul nombre qui pourrait être commun est

1

, mais

1 \in / J

I \cap J = \emptyset

crochet ouvert en

1

pour

J

Pas de trou entre les deux, car

1 \in I

I \cup J =] - \infty; 4]

J

est contenu dans

I

I \cap J =] 1; 3 [

I \cup J = [0; 5]

l'intersection est le plus petit, la réunion le plus grand

Définition 7 — Complémentaire

Le complémentaire dans $R$ d'un intervalle $I$ , noté $∁_{R} I$ , est l'ensemble des réels qui n'appartiennent pas à $I$ .

Méthode 5 — Trouver le complémentaire d'un intervalle

Exemples corrigés

Déterminer le complémentaire dans $R$ de :

a)
$I = [1; 3]$
b)
$K =] - \infty; 2 [$

Correction

1

3

sont dans

I

, donc pas dans son complémentaire :

∁_{R} I =] - \infty; 1 [\cup] 3; + \infty [

chaque crochet se retourne

2 \in / K

, donc

2

est dans le complémentaire :

∁_{R} K = [2; + \infty [

le crochet en

2

se retourne

À vous de jouer

Déterminer le complémentaire dans $R$ de : $L =] - 2; + \infty [$ $M = [1; 4 [$ $N =] - \infty; 3]$

Correction

Résolution

- 2 \in / L

, donc

- 2

est dans le complémentaire :

∁_{R} L =] - \infty; - 2]

le crochet en

- 2

se retourne

1 \in M

4 \in / M

∁_{R} M =] - \infty; 1 [\cup [4; + \infty [

chaque crochet se retourne

3 \in N

, donc

3

n'est pas dans le complémentaire :

∁_{R} N =] 3; + \infty [

À faire : exercices 9 à 13

Exercice 9 — Premières intersections et réunions

Pour chaque couple d'intervalles $I$ et $J$ , déterminer $I \cap J$ et $I \cup J$ (on peut représenter $I$ et $J$ sur une même droite graduée).

a)
$I = [- 1, 5; 3 [$ et $J =] 0; 6]$
b)
$I =] - \infty; 3 [$ et $J = [1; + \infty [$

Corrigé

a) $I \cap J =] 0; 3 [$ ; $I \cup J = [- 1, 5; 6]$

b) $I \cap J = [1; 3 [$ ; $I \cup J = R$

En a), $0 \in / J$ et $3 \in / I$ : les deux bornes de $I \cap J$ sont exclues.

Exercice 10 — Attention aux bornes

Même consigne.

a)
$I = [- 2; + \infty [$ et $J =] - 3; 1]$
b)
$I = [3; 6, 5 [$ et $J =] 1; 3 [$
c)
$I =] - \infty; 2]$ et $J =] - \infty; 4 [$
d)
$I =] - \infty; 5]$ et $J = [5; + \infty [$
e)
$I = [- 1; + \infty [$ et $J =] - \infty; - 1 [$

Corrigé

a) $I \cap J = [- 2; 1]$ ; $I \cup J =] - 3; + \infty [$

b) $I \cap J = \emptyset$ ; $I \cup J =] 1; 6, 5 [$

c) $I \cap J =] - \infty; 2]$ ; $I \cup J =] - \infty; 4 [$

d) $I \cap J = {5}$ ; $I \cup J = R$

e) $I \cap J = \emptyset$ ; $I \cup J = R$

b) $3 \in I$ mais $3 \in / J$ : pas de nombre commun, et la réunion n'a pas de trou. d) Seul $5$ est dans les deux intervalles.

Exercice 11 — Plusieurs intervalles

1)
Écrire avec un intervalle l'ensemble des nombres $x$ tels que :

$I$ : $- 2 ⩽ x ⩽ 6$ $L$ : $x ⩽ 6$
$J$ : $- 4 ⩽ x < - 1$ $M$ : $2 < x$
2)
On pose aussi $K =] 1; 10]$ . Déterminer :
$I \cap J$ ; $I \cup J$ ; $J \cap K$ ; $K \cup L$ ; $I \cap L$ ; $K \cup M$ .

Corrigé

1) $I = [- 2; 6]$ ; $J = [- 4; - 1 [$ ; $L =] - \infty; 6]$ ; $M =] 2; + \infty [$ .

I \cap J = [- 2; - 1 [

I \cup J = [- 4; 6]

J \cap K = \emptyset

K \cup L =] - \infty; 10]

I \cap L = [- 2; 6]

K \cup M =] 1; + \infty [

$I$ est contenu dans $L$ : $I \cap L = I$ .

Exercice 12 — Complémentaire

Pour chaque ensemble, déterminer son complémentaire dans $R$ .

a)
$A =] 3; + \infty [$
b)
$B =] - \infty; 4]$
c)
$C = [- 2; + \infty [$
d)
$D =] - \infty; 6 [$
e)
$E = [1; 2]$
f)
$F =] - 5; 8 [$

Corrigé

] - \infty; 3]

] 4; + \infty [

] - \infty; - 2 [

[6; + \infty [

e) $] - \infty; 1 [\cup] 2; + \infty [$

f) $] - \infty; - 5] \cup [8; + \infty [$

Chaque crochet se retourne : une borne incluse devient exclue, et inversement.

Exercice 13 — Inégalités et intervalles : « et », « ou »

Compléter le tableau : sur chaque ligne, un même ensemble de nombres $x$ est décrit par des inégalités, puis par des intervalles. Deux conditions reliées par « et » donnent une intersection ( $\cap$ ), reliées par « ou » une réunion ( $\cup$ ). Écrire ensuite le résultat le plus simplement possible quand on le peut.

	Inégalités	Intervalles
a)	$- 3 < x ⩽ - 1$ ou $2 ⩽ x < 5$
b)		$[- 2; 0] \cup [3; + \infty [$
c)	$x < - 1$ ou $x > 4$
d)		$] - \infty; - 3] \cup] 2; + \infty [$
e)	$x > - 2$ et $x ⩽ 3$
f)		$[1; + \infty [\cap] - \infty; 5 [$
g)	$x ⩾ - 4$ et $x ⩾ 1$
h)	$x < 0$ ou $x ⩽ 2$
i)	$x < - 1$ et $x > 3$

Corrigé

a) $] - 3; - 1] \cup [2; 5 [$

b) $- 2 ⩽ x ⩽ 0 ou x ⩾ 3$

c) $] - \infty; - 1 [\cup] 4; + \infty [$

d) $x ⩽ - 3 ou x > 2$

e) $] - 2; + \infty [\cap] - \infty; 3] =] - 2; 3]$

f) $x ⩾ 1 et x < 5$ , soit $1 ⩽ x < 5$ : $[1; 5 [$

g) $[- 4; + \infty [\cap [1; + \infty [= [1; + \infty [$

h) $] - \infty; 0 [\cup] - \infty; 2] =] - \infty; 2]$

i) $] - \infty; - 1 [\cap] 3; + \infty [= \emptyset$

« et » : les deux conditions à la fois (intersection) ; « ou » : au moins l'une des deux (réunion). En g) et h), un intervalle contient l'autre ; en i), aucun nombre n'est à la fois inférieur à $- 1$ et supérieur à $3$ .

$I$ : $- 2 ⩽ x ⩽ 6$	$L$ : $x ⩽ 6$
$J$ : $- 4 ⩽ x < - 1$	$M$ : $2 < x$