Chapitre 2 — Intervalles et fonctions · coursX Comparer deux fonctions

Sommaire du chapitre

I — Droite numérique, intervalles fermés
- Méthode 1 — Représenter un intervalle fermé
- Méthode 2 — Dire si un nombre appartient à un intervalle
II — Intervalles ouverts, inégalités
- Méthode 3 — Passer d'une inégalité à un intervalle, et inversement
III — Intersection, réunion, complémentaire
- Méthode 4 — Trouver l'intersection et la réunion
- Méthode 5 — Trouver le complémentaire d'un intervalle
IV — Image et antécédent
- Méthode 6 — Calculer une image
- Méthode 7 — Chercher ou vérifier un antécédent
V — Ensemble de définition
- Méthode 8 — Trouver la valeur interdite d'un quotient
- Méthode 9 — Déterminer un ensemble de définition
VI — Tableau de valeurs
- Méthode 10 — Dresser et lire un tableau de valeurs
VII — Courbe représentative
- Méthode 11 — Tracer une courbe, lire images et antécédents
- Méthode 12 — Savoir si un point est sur une courbe
VIII — Calculatrice NumWorks
- Méthode 13 — Étudier une fonction à la calculatrice
IX — Résolution graphique
- Méthode 14 — Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation
X — Comparer deux fonctions
- Méthode 15 — Comparer graphiquement deux fonctions

Propriété 4 — Deux courbes

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un même intervalle.

Les solutions de $f (x) = g (x)$ sont les abscisses des points d'intersection de $C_{f}$ et $C_{g}$ .
Les solutions de $f (x) < g (x)$ sont les abscisses des points où $C_{f}$ est strictement au-dessous de $C_{g}$ ; pour $f (x) > g (x)$ , strictement au-dessus.

Pour $f (x) ⩽ g (x)$ ou $f (x) ⩾ g (x)$ , on ajoute les abscisses des points d'intersection.

Méthode 15 — Comparer graphiquement deux fonctions

Exemples corrigés

Sur $[- 1; 4]$ , on considère $f (x) = x^{2} - 2 x$ et $g (x) = x$ , tracées ci-contre. Résoudre graphiquement :

a)
$f (x) = g (x)$
b)
$f (x) < g (x)$
c)
$f (x) ⩾ g (x)$

Correction

Les courbes se coupent aux points d'abscisses $0$ et $3$ : $S = {0; 3}$ .

$C_{f}$ est strictement au-dessous de $C_{g}$ entre $0$ et $3$ , bornes exclues : $S =] 0; 3 [$ (en rouge sur l'axe).

$C_{f}$ est au-dessus de $C_{g}$ , ou la coupe, sur le reste de l'intervalle : $S = [- 1; 0] \cup [3; 4]$ .

Vérification : $f (0) = 0$ et $g (0) = 0$ ; $f (3) = 9 - 6 = 3$ et $g (3) = 3$ .

À vous de jouer

Sur $[- 3; 2]$ , on considère $f (x) = 4 - x^{2}$ et $g (x) = x + 2$ , tracées ci-contre. Résoudre graphiquement :

1°)
$f (x) = g (x)$
2°)
$f (x) ⩽ g (x)$
3°)
$f (x) > g (x)$

Correction

1°)

Les courbes se coupent aux points d'abscisses

- 2

1

S = {- 2; 1}

vérification :

f (- 2) = 0 = g (- 2)

f (1) = 3 = g (1)

2°)

C_{f}

est au-dessous de

C_{g}

, ou la coupe, de

- 3

- 2

et de

1

2

S = [- 3; - 2] \cup [1; 2]

inégalité large : abscisses des points communs comprises

3°)

C_{f}

est strictement au-dessus de

C_{g}

entre

- 2

1

S =] - 2; 1 [

inégalité stricte : bornes exclues

À faire : exercices 37 à 39

Exercice 37 — Deux courbes

Les courbes ci-dessous représentent deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $[- 3; 7]$ .

Résoudre graphiquement :

a)
l'équation $f (x) = g (x)$ ;
b)
l'inéquation $f (x) > g (x)$ ;
c)
l'inéquation $f (x) ⩽ g (x)$ .

Corrigé

a) $S = {- 2; 2; 6}$

b) $S =] - 2; 2 [\cup] 6; 7]$

c) $S = [- 3; - 2] \cup [2; 6]$

On regarde quelle courbe est au-dessus entre deux points d'intersection qui se suivent.

Exercice 38 — Une droite et une courbe

$C_{f}$ (droite) et $C_{g}$ représentent deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $[- 6; 6]$ .

Résoudre graphiquement :

a)
$f (x) ⩽ 2$
b)
$g (x) < 0$
c)
$g (x) ⩾ 4$
d)
$f (x) = g (x)$
e)
$f (x) < g (x)$

Corrigé

a) La droite est sur $y = 2$ ou au-dessous à partir de $x = 0$ : $S = [0; 6]$

b) $S =] 3; 6]$ c) $S = [- 4; - 2]$

d) $S = {- 4; 2; 6}$ e) $S =] - 4; 2 [$

Exercice 39 — Graphique et calcul

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[- 2; 3]$ par $f (x) = x^{2} - 2$ et $g (x) = x$ .

1)
Dresser les tableaux de valeurs de $f$ et de $g$ de $- 2$ à $3$ avec un pas de $1$ .
2)
Tracer les deux courbes dans un même repère.
3)
Résoudre graphiquement $f (x) = g (x)$ , puis $f (x) < g (x)$ .
4)
Vérifier que $x^{2} - 2 - x = (x + 1) (x - 2)$ , et retrouver ainsi les solutions de $f (x) = g (x)$ .
5)
Le point $P (1, 5; 0, 25)$ est-il sur la courbe de $f$ ? sur celle de $g$ ?

Corrigé

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$2$	$- 1$	$- 2$	$- 1$	$2$	$7$
$g (x)$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$

3) $S = {- 1; 2}$ ; $f (x) < g (x)$ : $S =] - 1; 2 [$ .

4) $(x + 1) (x - 2) = x^{2} - 2 x + x - 2 = x^{2} - x - 2$ ; $f (x) = g (x)$ revient à $(x + 1) (x - 2) = 0$ : $x = - 1$ ou $x = 2$ .

5) $f (1, 5) = 0, 25$ : $P \in C_{f}$ ; $g (1, 5) = 1, 5 \neq = 0, 25$ : $P \in / C_{g}$ .