Chapitre 2 — Intervalles et fonctions · coursVIII Calculatrice NumWorks

Sommaire du chapitre

I — Droite numérique, intervalles fermés
- Méthode 1 — Représenter un intervalle fermé
- Méthode 2 — Dire si un nombre appartient à un intervalle
II — Intervalles ouverts, inégalités
- Méthode 3 — Passer d'une inégalité à un intervalle, et inversement
III — Intersection, réunion, complémentaire
- Méthode 4 — Trouver l'intersection et la réunion
- Méthode 5 — Trouver le complémentaire d'un intervalle
IV — Image et antécédent
- Méthode 6 — Calculer une image
- Méthode 7 — Chercher ou vérifier un antécédent
V — Ensemble de définition
- Méthode 8 — Trouver la valeur interdite d'un quotient
- Méthode 9 — Déterminer un ensemble de définition
VI — Tableau de valeurs
- Méthode 10 — Dresser et lire un tableau de valeurs
VII — Courbe représentative
- Méthode 11 — Tracer une courbe, lire images et antécédents
- Méthode 12 — Savoir si un point est sur une courbe
VIII — Calculatrice NumWorks
- Méthode 13 — Étudier une fonction à la calculatrice
IX — Résolution graphique
- Méthode 14 — Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation
X — Comparer deux fonctions
- Méthode 15 — Comparer graphiquement deux fonctions

Application `Calculs`

Pour	On tape	On obtient
une puissance	$3$ $x^{y}$ $4$	$3^{4} = 81$
une fraction	la touche $\div$ crée une fraction	$\frac{3}{4} + \frac{2}{5} = \frac{23}{20}$
reprendre un calcul	flèche $↑$ , puis OK	le calcul revient dans la ligne de saisie
effacer l'historique	shift puis $\leftarrow$ (`clear`)	écran vide
une puissance de 10	touche $\times 1 0^{x}$ : $3 \times 1 0^{2} + 1, 5 \times 1 0^{3}$	$1800$
décomposer un entier	toolbox, `Arithmétique`, `factor(360)`	$2^{3} \times 3^{2} \times 5$
le nombre $π$	shift $\times 1 0^{x}$ : $2 \times π \times 3$	$≃ 18, 85$

Un nombre négatif se tape entre parenthèses : $2 \times (- 3)^{2}$ vaut $18$ , mais $2 \times - 3^{2}$ est compris comme $2 \times (- 9) = - 18$ . Les intitulés peuvent varier selon la version du logiciel.

Application `Grapheur`

Pour	On fait
entrer une fonction	Onglet `Expressions`, `Ajouter un élément`, puis par exemple $f (x) = x^{2} - 2$ ( $x$ avec la touche $x, n, t$ ) et OK.
afficher un tableau	Onglet `Tableau`, `Régler l'intervalle` : `X début`, `X fin`, `Pas`.
tracer la courbe	Onglet `Graphique`, menu `Axes` pour régler $X_{m i n}$ , $X_{m a x}$ , $Y_{m i n}$ , $Y_{m a x}$ .
lire une image	Sur la courbe : OK, `Aller à`, puis la valeur de $x$ .
chercher des antécédents	Sur la courbe : OK, `Calculer`, `Antécédent`, puis la valeur ; les flèches passent d'un antécédent à l'autre.
couper deux courbes	Sur l'une des courbes : OK, `Calculer`, `Intersection`.

Méthode 13 — Étudier une fonction à la calculatrice

On entre la fonction, on règle le tableau (début, fin, pas), puis les axes d'après le tableau ; on lit enfin images et antécédents.

Exemples corrigés

Soit $f (x) = x^{2} - 2$ .

a)
Afficher le tableau de valeurs de $f$ de $- 4$ à $4$ avec un pas de $1$ .
b)
Tracer la courbe de $f$ avec des axes adaptés.
c)
Lire $f (3)$ et $f (1, 5)$ , puis les antécédents de $3$ arrondis à $0, 01$ .

Correction

Régler l'intervalle : X début

- 4

, X fin

4

, Pas

1

début, fin et pas

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$14$	$7$	$2$	$- 1$	$- 2$	$- 1$	$2$	$7$	$14$

Axes :

X_{m i n} = - 4

X_{m a x} = 4

Y_{m i n} = - 3

Y_{m a x} = 15

un peu au-delà de la plus petite et de la plus grande image

Aller à :

f (3) = 7

f (1, 5) = 0, 25

lecture d'une image

Calculer, Antécédent, valeur

3

x ≃ - 2, 24

x ≃ 2, 24

deux antécédents, donnés arrondis

À vous de jouer

Soit $g (x) = (x + 1)^{2}$ .

1°)
Afficher le tableau de valeurs de $g$ de $- 3$ à $3$ avec un pas de $0, 5$ , et le recopier.
2°)
Tracer la courbe de $g$ avec des axes adaptés.
3°)
Lire $g (0, 25)$ , puis les antécédents de $3$ arrondis à $0, 01$ .

Correction

1°)

Régler l'intervalle : X début

- 3

, X fin

3

, Pas

0, 5

début, fin et pas

$x$	$- 3$	$- 2, 5$	$- 2$	$- 1, 5$	$- 1$	$- 0, 5$	$0$
$g (x)$	$4$	$2, 25$	$1$	$0, 25$	$0$	$0, 25$	$1$

$x$	$0, 5$	$1$	$1, 5$	$2$	$2, 5$	$3$
$g (x)$	$2, 25$	$4$	$6, 25$	$9$	$12, 25$	$16$

2°)

Axes :

X_{m i n} = - 3

X_{m a x} = 3

Y_{m i n} = - 1

Y_{m a x} = 17

un peu au-delà de la plus petite et de la plus grande image

3°)

Aller à :

g (0, 25) = 1, 5625

lecture d'une image

Calculer, Antécédent, valeur

3

x ≃ - 2, 73

x ≃ 0, 73

deux antécédents, donnés arrondis

À faire : exercices 29 à 32

Exercice 29 — Antécédents à la calculatrice

1)
Afficher le tableau de valeurs de la fonction $f$ définie sur $[- 2; 6]$ par $f (x) = 0, 5 x^{2} - 2 x + 1$ , de $- 2$ à $6$ avec un pas de $1$ , puis tracer sa courbe à l'écran avec des axes adaptés.
2)
Avec Calculer, Antécédent, donner les antécédents de $2$ par $f$ arrondis à $0, 1$ .
3)
Le nombre $0$ a-t-il un antécédent ? plusieurs ?

Corrigé

1) Tableau : $7$ ; $3, 5$ ; $1$ ; $- 0, 5$ ; $- 1$ ; $- 0, 5$ ; $1$ ; $3, 5$ ; $7$ . Axes : $x$ de $- 2$ à $6$ , $y$ de $- 2$ à $8$ .

2) Antécédents de $2$ : $x ≃ - 0, 4$ et $x ≃ 4, 4$ .

3) Oui, deux : $x ≃ 0, 6$ et $x ≃ 3, 4$ .

Exercice 30 — Tableau avec un pas de 0,5

Soit $g$ la fonction définie sur $[- 1; 2]$ par $g (x) = - 2 x^{2} + x + 3$ .

1)
Afficher le tableau de valeurs de $g$ de $- 1$ à $2$ avec un pas de $0, 5$ , et le recopier.
2)
Tracer la courbe de $g$ à l'écran, puis sur la copie.
3)
Donner $g (0, 25)$ et les antécédents de $2$ et de $0$ .

Corrigé

$x$	$- 1$	$- 0, 5$	$0$	$0, 5$	$1$	$1, 5$	$2$
$g (x)$	$0$	$2$	$3$	$3$	$2$	$0$	$- 3$

2) Ci-contre.

3) $g (0, 25) = 3, 125$ ; antécédents de $2$ : $- 0, 5$ et $1$ ; de $0$ : $- 1$ et $1, 5$ .

Exercice 31 — Une fonction quotient

On considère la fonction $f$ définie sur $[0; 5]$ par

f (x) = \frac{2 x - 1}{( x + 1 ) ^{2}} .

1)
Dresser le tableau de valeurs de $f$ de $0$ à $5$ avec un pas de $0, 5$ (valeurs arrondies à $0, 01$ ).
2)
Tracer la courbe de $f$ à la calculatrice.
3)
Quels sont les antécédents de $0, 25$ ?
4)
Résoudre graphiquement $f (x) = 0$ , puis $f (x) ⩾ 0, 25$ .
5)
Tracer aussi la droite d'équation $y = x - 1$ , puis résoudre graphiquement $\frac{2 x - 1}{( x + 1 ) ^{2}} = x - 1$ (valeurs arrondies à $0, 01$ ).

Corrigé

1) $- 1$ ; $0$ ; $0, 25$ ; $0, 32$ ; $0, 33$ ; $0, 33$ ; $0, 31$ ; $0, 30$ ; $0, 28$ ; $0, 26$ ; $0, 25$ .

3) Antécédents de $0, 25$ : $1$ et $5$ .

4) $f (x) = 0$ : $S = {0, 5}$ ; $f (x) ⩾ 0, 25$ : $S = [1; 5]$ .

5) Les deux courbes se coupent en deux points : $S ≃ {0; 1, 30}$ .

$f (0) = - 1$ et $0 - 1 = - 1$ : $0$ est une solution exacte.

Exercice 32 — Intersections de courbes

1)
Tracer à l'écran les courbes des fonctions $f$ et $g$ définies sur $[- 2; 3]$ par $f (x) = x^{3} - 2 x^{2}$ et $g (x) = x - 2$ , puis résoudre graphiquement $x^{3} - 2 x^{2} ⩽ x - 2$ .
2)
Trouver les coordonnées du ou des points communs aux courbes d'équations $y = 3 x^{2} + x + 5$ et $y = 3 x^{2} - 2 x + 8$ . Confirmer par le calcul.
3)
Même question avec $y = \frac{1}{x}$ et $y = \frac{1 + 2 x}{x}$ .

Corrigé

1) Les courbes se coupent en $x = - 1$ , $x = 1$ et $x = 2$ ; $C_{f}$ est sur $C_{g}$ ou au-dessous pour $S = [- 2; - 1] \cup [1; 2]$ .

2) Un seul point commun, $(1; 9)$ . Par le calcul :

3 x^{2} + x + 5

= 3 x^{2} - 2 x + 8

3 x

= 3

x

= 1

et $3 + 1 + 5 = 9$ .

3) $\frac{1}{x} = \frac{1 + 2 x}{x}$ donne $1 = 1 + 2 x$ , soit $x = 0$ , valeur interdite : $aucun point commun$ .

Chapitre 2 — Intervalles et fonctions · coursVIII Calculatrice NumWorks

Application Calculs

Application Grapheur

Méthode 13 — Étudier une fonction à la calculatrice

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 29 — Antécédents à la calculatrice

Exercice 30 — Tableau avec un pas de 0,5

Exercice 31 — Une fonction quotient

Exercice 32 — Intersections de courbes

Application `Calculs`

Application `Grapheur`