Chapitre 2 — Intervalles et fonctions · coursIV Image et antécédent

Sommaire du chapitre

I — Droite numérique, intervalles fermés
- Méthode 1 — Représenter un intervalle fermé
- Méthode 2 — Dire si un nombre appartient à un intervalle
II — Intervalles ouverts, inégalités
- Méthode 3 — Passer d'une inégalité à un intervalle, et inversement
III — Intersection, réunion, complémentaire
- Méthode 4 — Trouver l'intersection et la réunion
- Méthode 5 — Trouver le complémentaire d'un intervalle
IV — Image et antécédent
- Méthode 6 — Calculer une image
- Méthode 7 — Chercher ou vérifier un antécédent
V — Ensemble de définition
- Méthode 8 — Trouver la valeur interdite d'un quotient
- Méthode 9 — Déterminer un ensemble de définition
VI — Tableau de valeurs
- Méthode 10 — Dresser et lire un tableau de valeurs
VII — Courbe représentative
- Méthode 11 — Tracer une courbe, lire images et antécédents
- Méthode 12 — Savoir si un point est sur une courbe
VIII — Calculatrice NumWorks
- Méthode 13 — Étudier une fonction à la calculatrice
IX — Résolution graphique
- Méthode 14 — Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation
X — Comparer deux fonctions
- Méthode 15 — Comparer graphiquement deux fonctions

Définition 8 — Fonction, image, antécédent

Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ de départ un seul nombre, noté $f (x)$ (on lit « $f$ de $x$ »).

$f (x)$ est l'image de $x$ par $f$ ;
$x$ est un antécédent de $f (x)$ par $f$ .

Exemple : avec $f (x) = 3 x - 2$ , on a $f (4) = 3 \times 4 - 2 = 10$ ; $10$ est l'image de $4$ , et $4$ est un antécédent de $10$ . On écrit aussi $f : 4 ⟼ 10$ .

Méthode 6 — Calculer une image

On remplace $x$ par le nombre, entre parenthèses s'il est négatif, puis on calcule en respectant les priorités.

Exemples corrigés

a)
Soit $f (x) = 4 x - 3$ . Calculer $f (3)$ et $f (- 2)$ .
b)
Soit $h (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ . Calculer $h (3)$ , $h (- 2)$ et $h (\frac{1}{2})$ .

Correction

f (3)

= 4 \times 3 - 3

on remplace

x

par

3

f (3)

= 9

f (- 2)

= 4 \times (- 2) - 3

- 2

entre parenthèses

f (- 2)

= - 11

h (3)

= 2 \times 3^{2} - 3 \times 3 + 1

on remplace

x

par

3

h (3)

= 18 - 9 + 1

la puissance d'abord :

3^{2} = 9

h (3)

= 10

h (- 2)

= 2 \times (- 2)^{2} - 3 \times (- 2) + 1

(- 2)^{2} = 4

, et non

- 4

h (- 2)

= 8 + 6 + 1

h (- 2)

= 15

h (\frac{1}{2})

= 2 \times (\frac{1}{2})^{2} - 3 \times \frac{1}{2} + 1

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

h (\frac{1}{2})

= \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1

h (\frac{1}{2})

= 0

\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = - 1

À vous de jouer

1°)
Soit $g (x) = \frac{2}{3} x + 1$ . Calculer $g (6)$ , $g (0)$ et $g (\frac{3}{4})$ .
2°)
Soit $k (x) = - x^{2} + 3 x + 2$ . Calculer $k (2)$ , $k (- 1)$ et $k (\frac{1}{2})$ .

Correction

1°)

g (6)

= \frac{2}{3} \times 6 + 1

on remplace

x

par

6

g (6)

= 4 + 1

\frac{2}{3} \times 6 = \frac{12}{3} = 4

g (6)

= 5

g (0)

= \frac{2}{3} \times 0 + 1

g (0)

= 1

g (\frac{3}{4})

= \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} + 1

on remplace

x

par

\frac{3}{4}

g (\frac{3}{4})

= \frac{2 \times 3}{3 \times 4} + 1

on simplifie par

3

g (\frac{3}{4})

= \frac{1}{2} + \frac{1 \times 2}{1 \times 2}

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

; même dénominateur

g (\frac{3}{4})

= \frac{3}{2}

2°)

k (2)

= - 2^{2} + 3 \times 2 + 2

- 2^{2} = - 4

: le carré porte sur

2

seulement

k (2)

= - 4 + 6 + 2

k (2)

= 4

k (- 1)

= - (- 1)^{2} + 3 \times (- 1) + 2

- 1

entre parenthèses ;

(- 1)^{2} = 1

k (- 1)

= - 1 - 3 + 2

k (- 1)

= - 2

k (\frac{1}{2})

= - (\frac{1}{2})^{2} + 3 \times \frac{1}{2} + 2

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

k (\frac{1}{2})

= - \frac{1}{4} + \frac{3 \times 2}{2 \times 2} + \frac{2 \times 4}{1 \times 4}

même dénominateur

4

k (\frac{1}{2})

= \frac{- 1 + 6 + 8}{4}

k (\frac{1}{2})

= \frac{13}{4}

Méthode 7 — Chercher ou vérifier un antécédent

Chercher les antécédents de $b$ , c'est résoudre l'équation $f (x) = b$ . Vérifier que $a$ est un antécédent de $b$ , c'est calculer $f (a)$ et regarder si l'on trouve $b$ .

Exemples corrigés

a)
Soit $f (x) = 3 x + 2$ . Déterminer l'antécédent de $- 10$ par $f$ .
b)
Soit $p (x) = x^{2} + 2 x$ . Le nombre $- 3$ est-il un antécédent de $3$ par $p$ ? Et le nombre $2$ ?

Correction

3 x + 2

= - 10

on résout

f (x) = - 10

3 x

= - 12

on retranche

2

x

= - 4

on divise par

3

L'antécédent de

- 10

par

f

est

- 4

vérification :

3 \times (- 4) + 2 = - 10

p (- 3)

= (- 3)^{2} + 2 \times (- 3)

on calcule l'image de

- 3

p (- 3)

= 9 - 6 = 3

p (2)

= 2^{2} + 2 \times 2 = 8

p (- 3) = 3

- 3

est un antécédent de

3

;

p (2) = 8 \neq = 3

2

n'en est pas un.

on compare au nombre

3

À vous de jouer

1°)
Soit $u (x) = 4 x - 7$ . Déterminer l'antécédent de $9$ par $u$ .
2°)
Soit $k (x) = - x^{2} + 3 x + 2$ . Le nombre $- 1$ est-il un antécédent de $- 2$ par $k$ ? Et le nombre $3$ ?

Correction

1°)

4 x - 7

= 9

on résout

u (x) = 9

4 x

= 16

on ajoute

7

x

= 4

on divise par

4

L'antécédent de

9

par

u

est

4

vérification :

4 \times 4 - 7 = 9

2°)

k (- 1)

= - (- 1)^{2} + 3 \times (- 1) + 2

on calcule l'image de

- 1

k (- 1)

= - 1 - 3 + 2 = - 2

k (3)

= - 3^{2} + 3 \times 3 + 2

puis celle de

3

k (3)

= - 9 + 9 + 2 = 2

k (- 1) = - 2

- 1

est un antécédent de

- 2

;

k (3) = 2 \neq = - 2

3

n'en est pas un.

on compare au nombre

- 2

À faire : exercices 14 à 17

Exercice 14 — Calculer des images

On considère la fonction $f : x ⟼ 2 x - 3 x^{2}$ .

1)
Calculer l'image par $f$ de :

a) $1$ b) $- 2$ c) $\frac{1}{2}$
2)
Le nombre $2$ est-il un antécédent de $- 8$ par $f$ ? Justifier.

Corrigé

f (1)

= 2 - 3 = - 1

f (- 2)

= - 4 - 3 \times 4 = - 16

f (\frac{1}{2})

= 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

2) $f (2) = 4 - 12 = - 8$ : $oui$ , $2$ est un antécédent de $- 8$ .

$- 3 x^{2}$ pour $x = - 2$ : $- 3 \times (- 2)^{2} = - 12$ , le carré d'abord.

Exercice 15 — Image et antécédent

On considère la fonction $g$ définie par $g (x) = 4 x - 5$ .

1)
Calculer l'image par $g$ de :

a) $- 3$ b) $5$ c) $\frac{3}{4}$
2)
Le nombre $\frac{1}{2}$ est-il un antécédent de $3$ par $g$ ? Justifier.
3)
Déterminer l'antécédent de $3$ par $g$ .

Corrigé

g (- 3)

= - 12 - 5 = - 17

g (5)

= 20 - 5 = 15

g (\frac{3}{4})

= 3 - 5 = - 2

2) $g (\frac{1}{2}) = 2 - 5 = - 3 \neq = 3$ : $non$ .

4 x - 5

= 3

4 x

= 8

x

= 2

Exercice 16 — Calculer des antécédents

Pour chaque fonction $f$ , calculer le ou les antécédents du nombre $y$ .

a)
$f (x) = x - 4$ , $y = - 2$
b)
$f (x) = x^{2}$ , $y = 36$
c)
$f (x) = \frac{1}{x}$ , $y = 4$
d)
$f (x) = x (x - 3)$ , $y = 0$

Corrigé

a) $x - 4 = - 2$ , donc $x = 2$ .

b) $x^{2} = 36$ : deux antécédents, $- 6$ et $6$ .

c) $\frac{1}{x} = 4$ , donc $x = \frac{1}{4}$ .

d) $x (x - 3) = 0$ : un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul : $0$ et $3$ .

b) $(- 6)^{2} = 36$ aussi : ne pas oublier l'antécédent négatif.

Exercice 17 — Deux fonctions égales

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $R$ par

f (x) = (x + 4) (3 - x) + x^{2} - 10

et

g (x) = 2 - x .

1)
Calculer l'image de $2$ par $f$ , puis par $g$ .
2)
Choisir un nombre et calculer son image par $f$ , puis par $g$ .
3)
Démontrer que tout nombre a la même image par $f$ et par $g$ .

Corrigé

1) $f (2) = 6 \times 1 + 4 - 10 = 0$ et $g (2) = 0$ .

2) Par exemple $f (0) = 12 - 10 = 2$ et $g (0) = 2$ .

f (x)

= 3 x - x^{2} + 12 - 4 x + x^{2} - 10

f (x)

= 2 - x

Donc $f (x) = g (x)$ pour tout nombre $x$ .