Chapitre 2 — Intervalles et fonctions · coursV Ensemble de définition

Sommaire du chapitre

I — Droite numérique, intervalles fermés
- Méthode 1 — Représenter un intervalle fermé
- Méthode 2 — Dire si un nombre appartient à un intervalle
II — Intervalles ouverts, inégalités
- Méthode 3 — Passer d'une inégalité à un intervalle, et inversement
III — Intersection, réunion, complémentaire
- Méthode 4 — Trouver l'intersection et la réunion
- Méthode 5 — Trouver le complémentaire d'un intervalle
IV — Image et antécédent
- Méthode 6 — Calculer une image
- Méthode 7 — Chercher ou vérifier un antécédent
V — Ensemble de définition
- Méthode 8 — Trouver la valeur interdite d'un quotient
- Méthode 9 — Déterminer un ensemble de définition
VI — Tableau de valeurs
- Méthode 10 — Dresser et lire un tableau de valeurs
VII — Courbe représentative
- Méthode 11 — Tracer une courbe, lire images et antécédents
- Méthode 12 — Savoir si un point est sur une courbe
VIII — Calculatrice NumWorks
- Méthode 13 — Étudier une fonction à la calculatrice
IX — Résolution graphique
- Méthode 14 — Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation
X — Comparer deux fonctions
- Méthode 15 — Comparer graphiquement deux fonctions

Définition 9 — Ensemble de définition

L'ensemble de définition d'une fonction $f$ , noté $D_{f}$ , est l'ensemble des nombres qui ont une image par $f$ . On note $f : D_{f} ⟶ R$ , $x ⟼ f (x)$ .

Exemples : $D_{f} =] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ pour $f (x) = \frac{1}{x}$ ; $D_{g} = [0; + \infty [$ pour $g (x) = x$ .

Propriété 2 — À retenir

Une fonction affine $f (x) = a x + b$ est définie sur $R$ , comme toute expression sans quotient ni racine carrée (par exemple $x^{2} + 5 x - 3$ ).
Un dénominateur ne doit pas être nul : les nombres qui l'annulent sont des valeurs interdites.
Sous une racine carrée, le nombre doit être positif ou nul.

Méthode 8 — Trouver la valeur interdite d'un quotient

On résout l'équation « dénominateur $= 0$ ».

Exemples corrigés

Trouver la valeur interdite de $h (x) = \frac{1}{3 x - 2}$ et de $u (x) = \frac{x + 1}{x - 4}$ .

Correction

Résolution

3 x - 2

= 0

le dénominateur de

h

s'annule

3 x

= 2

x

= \frac{2}{3}

x - 4

= 0

le dénominateur de

u

s'annule

x

= 4

La valeur interdite de

h

est

\frac{2}{3}

, celle de

u

est

4

h (\frac{2}{3})

u (4)

n'existent pas

À vous de jouer

Trouver la valeur interdite de $p (x) = \frac{x - 2}{2 x + 8}$ et de $v (x) = \frac{3}{x + 5}$ .

Correction

Résolution

2 x + 8

= 0

le dénominateur de

p

s'annule

2 x

= - 8

x

= - 4

x + 5

= 0

le dénominateur de

v

s'annule

x

= - 5

La valeur interdite de

p

est

- 4

, celle de

v

est

- 5

p (- 4)

v (- 5)

n'existent pas

Méthode 9 — Déterminer un ensemble de définition

Sans quotient ni racine : $D_{f} = R$ . Avec un quotient : on retire de $R$ la valeur interdite. Avec une racine : on résout « nombre sous la racine $⩾ 0$ » comme une équation (on ajoute ou on retranche un même nombre, on divise par un même nombre positif).

Exemples corrigés

Déterminer l'ensemble de définition de :

f (x) = 2 x + 7

h (x) = \frac{1}{3 x - 2}

i (x) = x - 4

j (x) = 3 x + 6

Correction

Résolution

f

est affine :

D_{f} = R

ni quotient ni racine

La valeur interdite de

h

est

\frac{2}{3}

(méthode 8) :

D_{h} =] - \infty; \frac{2}{3} [\cup] \frac{2}{3}; + \infty [

on retire

\frac{2}{3}

x - 4

⩾ 0

le nombre sous la racine de

i

est positif ou nul

x

⩾ 4

on ajoute

4

3 x + 6

⩾ 0

même travail pour

j

3 x

⩾ - 6

on retranche

6

x

⩾ - 2

on divise par

3

, qui est positif

D_{i} = [4; + \infty [

D_{j} = [- 2; + \infty [

on conclut avec des intervalles

À vous de jouer

Déterminer l'ensemble de définition de :

g (x) = - 2 x + 9

p (x) = \frac{x - 2}{2 x + 8}

q (x) = x + 3

r (x) = 2 x - 10

s (x) = 4 x - 1

Correction

Résolution

g

s

sont affines :

D_{g} = R

D_{s} = R

ni quotient ni racine

La valeur interdite de

p

est

- 4

(méthode 8) :

D_{p} =] - \infty; - 4 [\cup] - 4; + \infty [

on retire

- 4

x + 3

⩾ 0

le nombre sous la racine de

q

est positif ou nul

x

⩾ - 3

on retranche

3

2 x - 10

⩾ 0

même travail pour

r

2 x

⩾ 10

on ajoute

10

x

⩾ 5

on divise par

2

, qui est positif

D_{q} = [- 3; + \infty [

D_{r} = [5; + \infty [

on conclut avec des intervalles

À faire : exercices 18 à 21

Exercice 18 — Un nombre sans image

Pour chaque fonction ci-dessous, un des nombres $- 5$ ; $2$ ; $0$ ; $9$ n'a pas d'image. Lequel ?

f_{1} (x) = \frac{1}{x}

f_{2} (x) = \frac{x + 5}{x - 2}

f_{3} (x) = x

Corrigé

$f_{1}$ : $0$ (division par zéro) ; $f_{2}$ : $2$ ( $2 - 2 = 0$ ) ; $f_{3}$ : $- 5$ (racine carrée d'un nombre négatif).

Exercice 19 — Valeurs interdites

Pour chaque fonction $f$ , déterminer la valeur interdite.

a)
$f (x) = \frac{1}{x - 6}$
b)
$f (x) = \frac{2}{x + 5}$
c)
$f (x) = \frac{5}{3 x}$
d)
$f (x) = \frac{x + 2}{2 x - 8}$
e)
$f (x) = \frac{3}{2 x + 6}$
f)
$f (x) = \frac{x - 1}{4 x - 12}$

Corrigé

x - 6 = 0

6

x + 5 = 0

- 5

3 x = 0

0

2 x - 8 = 0

4

2 x + 6 = 0

- 3

4 x - 12 = 0

3

Seul le dénominateur compte : le numérateur peut être nul.

Exercice 20 — Racines carrées

Pour chaque fonction $f$ , déterminer l'ensemble de définition, écrit avec un intervalle.

a)
$f (x) = x$
b)
$f (x) = x - 2$
c)
$f (x) = x + 4$
d)
$f (x) = x - 5$
e)
$f (x) = 3 x - 9$
f)
$f (x) = 2 x + 8$

Corrigé

[0; + \infty [

x ⩾ 2

[2; + \infty [

x ⩾ - 4

[- 4; + \infty [

x ⩾ 5

[5; + \infty [

e) $3 x - 9 ⩾ 0$ donne $3 x ⩾ 9$ puis $x ⩾ 3$ : $[3; + \infty [$

f) $2 x + 8 ⩾ 0$ donne $2 x ⩾ - 8$ puis $x ⩾ - 4$ : $[- 4; + \infty [$

Exercice 21 — Pour s'entraîner

Pour chaque fonction $f$ , donner l'ensemble de définition, écrit avec des intervalles.

a)
$f (x) = 3 x^{2} - 2$
b)
$f (x) = 5 - 2 x$
c)
$f (x) = \frac{3}{x - 1} + x$
d)
$f (x) = \frac{2 x + 3}{5 x + 15}$
e)
$f (x) = 4 x - 8 + 1$

Corrigé

R

R

(affine)

c) valeur interdite $1$ : $] - \infty; 1 [\cup] 1; + \infty [$

d) $5 x + 15 = 0$ pour $x = - 3$ : $] - \infty; - 3 [\cup] - 3; + \infty [$

e) $4 x - 8 ⩾ 0$ donne $x ⩾ 2$ : $[2; + \infty [$