Chapitre 1 — Calcul littéral · coursI Réduire une expression littérale

Sommaire du chapitre

Définition 1 — Réduire

Des termes semblables ont la même partie littérale : $4 x^{2}$ et $- x^{2}$ sont semblables, $4 x^{2}$ et $4 x$ ne le sont pas.

Réduire une somme, c'est regrouper les termes semblables en additionnant leurs coefficients. Réduire un produit, c'est multiplier les nombres entre eux et les lettres entre elles.

Méthode 1 — Réduire une somme ou un produit

Exemples corrigés

Réduire les expressions suivantes.

a)
$A = 4 x - 7 y + 3 x^{2} - 9 x + 2 y$
b)
$B = 3 x \times 5 x^{2} \times 2 y$

Correction

A

= 4 x - 7 y + 3 x^{2} - 9 x + 2 y

on recopie

A

= 3 x^{2} + 4 x - 9 x - 7 y + 2 y

on rapproche les termes semblables

A

= 3 x^{2} - 5 x - 5 y

on additionne les coefficients

B

= 3 x \times 5 x^{2} \times 2 y

on recopie

B

= 3 \times 5 \times 2 \times x \times x^{2} \times y

les nombres d'abord, puis les lettres

B

= 30 x^{3} y

x \times x^{2} = x^{3}

; on n'écrit plus les

\times

À vous de jouer

Réduire, si possible :

C = 8 n - 3 n^{2} + 5 - 2 n + 6 n^{2} - 9

D = - 4 x \times 3 x \times 5

E = - 5 a \times (- 2 a^{2})

F = 9 + 4 t

Correction

C

= 8 n - 3 n^{2} + 5 - 2 n + 6 n^{2} - 9

on recopie

C

= - 3 n^{2} + 6 n^{2} + 8 n - 2 n + 5 - 9

on rapproche les termes semblables

C

= 3 n^{2} + 6 n - 4

on additionne les coefficients

D

= - 4 \times 3 \times 5 \times x \times x

les nombres d'abord, puis les lettres

D

= - 60 x^{2}

E

= - 5 \times (- 2) \times a \times a^{2}

E

= 10 a^{3}

deux signes

-

: positif ;

a \times a^{2} = a^{3}

F = 9 + 4 t

ne se réduit pas.

9

4 t

ne sont pas semblables

À faire : exercices 1 à 3

Exercice 1 — Réduire une somme

Réduire, si c'est possible, chaque expression.

A $=$
$4 a + 3 + 7 a$
B $=$
$9 a + 2 a + 5 a$
C $=$
$6 + 2 a + 8 a$
D $=$
$3 a^{2} + 7 a^{2} + 5 a^{2}$
E $=$
$2 a^{2} + 9 + 4 a^{2}$
F $=$
$3 a + 6 a^{2} + 2 a^{2}$

G $=$
$7 m - 12 m + 3 m$
H $=$
$6 m - 9 m + 4 m$
I $=$
$- 5 m - 4 m - 6 m$
J $=$
$9 m^{2} + 2 m^{2} - 7 m^{2}$
K $=$
$5 m - 8 m^{2} + 3 m^{2}$
L $=$
$- 4 m^{2} + 6 m^{2} - 9 m^{2}$

c) Réduire, puis ranger les termes suivant les puissances décroissantes de $n$ .

M $=$
$3 n^{2} + 4 n - 6 + 5 n^{2} + 1 + 8$
N $=$
$- 7 n^{2} + 9 - 5 n + 3 n^{2} - n - 4$
O $=$
$- 6 n^{2} - 3 + 8 - 2 n^{2} + 5 n - 9 n$
P $=$
$4 + 6 n - 3 n^{2} + 7 n^{2} + 2 n - 4$

Corrigé

On ne regroupe que des termes semblables : les $a$ entre eux, les $a^{2}$ entre eux, les nombres entre eux.

A = 11 a + 3

B = 16 a

C = 10 a + 6

D = 15 a^{2}

E = 6 a^{2} + 9

F = 8 a^{2} + 3 a

G = - 2 m

H = m

I = - 15 m

J = 4 m^{2}

K = - 5 m^{2} + 5 m

L = - 7 m^{2}

M

= (3 n^{2} + 5 n^{2}) + 4 n + (- 6 + 1 + 8)

M

= 8 n^{2} + 4 n + 3

N

= (- 7 n^{2} + 3 n^{2}) + (- 5 n - n) + (9 - 4)

N

= - 4 n^{2} - 6 n + 5

O

= (- 6 n^{2} - 2 n^{2}) + (5 n - 9 n) + (- 3 + 8)

O

= - 8 n^{2} - 4 n + 5

P

= (- 3 n^{2} + 7 n^{2}) + (6 n + 2 n) + (4 - 4)

P

= 4 n^{2} + 8 n

Dans $C = 6 + 2 a + 8 a$ , le $6$ reste seul : on n'écrit pas $16 a$ .

Exercice 2 — Réduire un produit

Réduire chaque produit.

A $=$
$8 \times 2 x$
B $=$
$3 x \times 4 x$
C $=$
$5 \times 2 x^{2}$
D $=$
$7 x \times 3$
E $=$
$3 x^{2} \times 6$
F $=$
$4 x \times 5 x$

b) Attention à la règle des signes.

G $=$
$- 2 x \times 6 x$
H $=$
$- 9 \times 3 x$
I $=$
$5 x \times (- 2 x)$
J $=$
$- 3 x \times (- 7 x)$
K $=$
$4 \times (- 3 x^{2})$
L $=$
$- 5 x^{2} \times 3$
M $=$
$- 6 \times (- 2 x^{2})$
N $=$
$3 x^{2} \times (- 4)$
O $=$
$- 7 x \times 2 x$

Corrigé

On multiplie les nombres entre eux (règle des signes), puis les lettres entre elles : $x \times x = x^{2}$ .

A = 16 x

B = 12 x^{2}

C = 10 x^{2}

D = 21 x

E = 18 x^{2}

F = 20 x^{2}

G = - 12 x^{2}

H = - 27 x

I = - 10 x^{2}

J = 21 x^{2}

K = - 12 x^{2}

L = - 15 x^{2}

M = 12 x^{2}

N = - 12 x^{2}

O = - 14 x^{2}

Exercice 3 — Somme ou produit ?

Réduire, si c'est possible, chaque expression. Laquelle ne se réduit pas ? Pourquoi ?

A $=$
$5 + 4 x$
B $=$
$5 \times 4 x$
C $=$
$5 x \times 4 x$
D $=$
$5 x + 4 x$

Corrigé

A = 5 + 4 x

ne se r \overset{e}{ˊ} duit pas

B = 20 x

C = 20 x^{2}

D = 9 x

$A$ est une somme d'un nombre et d'un terme en $x$ , qui ne sont pas semblables. $B$ et $C$ sont des produits : ils se réduisent toujours. $D$ est une somme de deux termes semblables : $5 x + 4 x = 9 x$ , et non $20 x^{2}$ .