Chapitre 1 — Calcul littéral · coursVIII Tableaux de signes

Sommaire du chapitre

Propriété 6 — Signe de $a x + b$ (avec $a \neq = 0$ )

$a x + b$ s'annule pour $x = - \frac{b}{a}$ ; après cette valeur, il a le signe de $a$ , avant, le signe contraire.

$a > 0$ : on commence par $-$

$a < 0$ : on commence par $+$

Méthode 8 — Signe d'un produit $(a x + b) (c x + d)$

Exemples corrigés

Dresser le tableau de signes de $P (x) = (2 x - 6) (1 - 4 x)$ .

Correction

Résolution

2 x - 6 = 0

pour

x = 3

;

1 - 4 x = 0

pour

x = \frac{1}{4}

valeurs qui annulent chaque facteur, rangées dans l'ordre croissant en tête du tableau

2 x - 6

a = 2 > 0

, donc

-

puis

+

1 - 4 x

a = - 4 < 0

, donc

+

puis

-

une ligne par facteur (propriété 6)

P (x)

est négatif sur

] - \infty; \frac{1}{4} [

et sur

] 3; + \infty [

, positif sur

] \frac{1}{4}; 3 [

dernière ligne : règle des signes, colonne par colonne

À vous de jouer

Dresser le tableau de signes de $Q (x) = (3 x + 9) (2 - x)$ , puis dire où $Q (x)$ est positif.

Correction

Résolution

3 x + 9 = 0

pour

x = - 3

;

2 - x = 0

pour

x = 2

valeurs qui annulent chaque facteur, rangées dans l'ordre croissant

3 x + 9

a = 3 > 0

, donc

-

puis

+

2 - x

a = - 1 < 0

, donc

+

puis

-

une ligne par facteur

Q (x)

est positif sur

] - 3; 2 [

, négatif sur

] - \infty; - 3 [

et sur

] 2; + \infty [

dernière ligne : règle des signes, colonne par colonne

À faire : exercices 25 à 27

Exercice 25 — Signe d'une expression affine

Dresser le tableau de signes de chaque expression.

1)
$3 x - 12$
2)
$- 2 x + 10$
3)
$x + 5$
4)
$7 - x$
5)
$5 x + 2$
6)
$- 4 x - 6$

Corrigé

On résout d'abord $a x + b = 0$ ; après la valeur trouvée, le signe est celui de $a$ .

Exercice 26 — Signe d'un produit de deux facteurs

Dresser le tableau de signes de chaque expression.

1)
$(x - 5) (x - 2)$
2)
$(1 - 3 x) (x + 4)$
3)
$(2 x + 6) (5 - x)$
4)
$x^{2} - 16$

Pour 4), factoriser d'abord.

Corrigé

1) $P (x) = (x - 5) (x - 2)$ ; valeurs $2$ et $5$ . 2) $P (x) = (1 - 3 x) (x + 4)$ ; $1 - 3 x = 0$ pour $x = \frac{1}{3}$ ; $x + 4 = 0$ pour $x = - 4$ . 3) $(2 x + 6) (5 - x)$ ; valeurs $- 3$ et $5$ ; signe $-$ , $+$ , $-$ : positif sur $] - 3; 5 [$ , négatif ailleurs (sauf en $- 3$ et $5$ , où il est nul).

4) $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ ; valeurs $- 4$ et $4$ ; signe $+$ , $-$ , $+$ : négatif sur $] - 4; 4 [$ , positif sur $] - \infty; - 4 [$ et sur $] 4; + \infty [$ .

Les valeurs de la première ligne sont rangées dans l'ordre croissant ; la dernière ligne vient de la règle des signes, colonne par colonne.

Exercice 27 — Signe d'un produit de trois facteurs

Dresser le tableau de signes de chaque expression : une ligne par facteur, puis la ligne du produit.

1)
$x (x - 2) (x + 3)$
2)
$3 x (2 x - 5) (x + 4)$
3)
$(4 - x^{2}) (x - 3)$ (factoriser d'abord $4 - x^{2}$ )

Corrigé

1) $P (x) = x (x - 2) (x + 3)$ ; valeurs $- 3$ , $0$ et $2$ . 2) $3 x (2 x - 5) (x + 4)$ ; valeurs $- 4$ , $0$ et $\frac{5}{2}$ ; tous les coefficients de $x$ sont positifs, comme en 1) : signe $-$ , $+$ , $-$ , $+$ .

3) $4 - x^{2} = (2 - x) (2 + x)$ ; $P (x) = (2 - x) (2 + x) (x - 3)$ ; valeurs $- 2$ , $2$ et $3$ .

En 3), le facteur $2 - x$ est positif avant $2$ : le signe du produit commence par $+$ .

Chapitre 1 — Calcul littéral · coursVIII Tableaux de signes

Propriété 6 — Signe de ax+b (avec a=0)

Méthode 8 — Signe d'un produit (ax+b)(cx+d)

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 25 — Signe d'une expression affine

Exercice 26 — Signe d'un produit de deux facteurs

Exercice 27 — Signe d'un produit de trois facteurs

Propriété 6 — Signe de $a x + b$ (avec $a \neq = 0$ )

Méthode 8 — Signe d'un produit $(a x + b) (c x + d)$