Faire des maths

Chapitre 1 — Calcul littéral · coursVII Résoudre des inéquations

Sommaire du chapitre
  1. I — Réduire une expression littérale
  2. II — Développer
  3. III — Les trois identités remarquables
  4. IV — Factoriser
  5. V — Résoudre des équations
  6. VI — Mise en équation
  7. VII — Résoudre des inéquations
  8. VIII — Tableaux de signes
  9. IX — Inéquations produit
  10. X — Inéquations quotient
  11. XI — Problèmes avec des inéquations

Définition 4 — Inéquation

Une inéquation est une inégalité (, , ou ) qui contient une inconnue . La résoudre, c'est trouver toutes les valeurs de qui la vérifient ; ces solutions forment en général un intervalle.

Propriété 5 — Changer le sens

On résout une inéquation comme une équation, avec une règle de plus :

multiplier ou diviser les deux membres par un nombre strictement négatif change le sens de l'inégalité.

Par exemple, en divisant par  : .

Méthode 7 — Résoudre une inéquation du premier degré

Exemples corrigés

Résoudre dans les inéquations suivantes, puis représenter les solutions sur une droite graduée.

  1. a)
  2. b)
Correction

a)

on recopie
comme pour une équation
on divise par  : le sens ne change pas
.
est exclu : inégalité stricte

b)

on recopie
on développe
on divise par  : le sens change
.
est compris : inégalité large

À vous de jouer

Résoudre dans et donner les solutions sous forme d'intervalle :

Correction

on recopie
on divise par  : le sens ne change pas
.
est exclu : inégalité stricte

on recopie
on divise par  : le sens change
.
est compris : inégalité large

on recopie
comme pour une équation
on divise par  : le sens change
.
À faire : exercices 22 à 24

Exercice 22 — Inéquations immédiates

Résoudre dans et donner les solutions sous forme d'intervalle :

  1. a)
  2. b)
  3. c)
  4. d)
  5. e)
  6. f)
  7. g)
  8. h)
Corrigé
  1. a)
     :
  2. b)
     :
  3. c)
     :
  4. d)
    ,  :
  5. e)
    (division par  : le sens change) :
  6. f)
    ,  :
  7. g)
    ,  :
  8. h)
    , ,  :

Crochet fermé pour ou , ouvert pour ou  ; toujours ouvert du côté de l'infini.

Exercice 23 — L'inconnue des deux côtés

Résoudre dans  :

  1. a)
  2. b)
  3. c)
  4. d)
  5. e)
  6. f)

Que remarque-t-on pour e) et f) ?

Corrigé
  1. a)
    ,  :
  2. b)
    ,  :
  3. c)
    ,  :
  4. d)
    , ,  :
  5. e)
    , soit , toujours vrai :
  6. f)
    , soit , toujours faux :

En e) et f), les disparaissent : une inégalité vraie donne , une inégalité fausse .

Exercice 24 — Inéquations avec des fractions

Résoudre dans  :

  1. a)
  2. b)
  3. c)
  4. d)
Corrigé
  1. a)
    ,  :
  2. b)
    ,  :
  3. c)
    On multiplie par  : , soit  :
  4. d)
    On multiplie par  : , soit  :

On multiplie par un nombre positif : le sens ne change pas. Un numérateur précédé d'un se met entre parenthèses.