Chapitre 1 — Calcul littéral · coursIII Les trois identités remarquables

Sommaire du chapitre

Propriété 2 — Identités remarquables

Pour tous nombres $a$ et $b$ :

1^re identité remarquable : $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ ;
2^e identité remarquable : $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ ;
3^e identité remarquable : $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

Méthode 3 — Développer avec une identité remarquable

Exemples corrigés

Développer et réduire les expressions suivantes.

a)
$A = (x + 6)^{2}$
b)
$B = (2 x - 5)^{2}$
c)
$C = (3 x + 4) (3 x - 4)$
d)
$D = (x - 2)^{2} - (x + 3) (3 - x)$

Correction

A

= (x + 6)^{2}

(a + b)^{2}

, avec

a = x

b = 6

A

= x^{2} + 2 \times x \times 6 + 6^{2}

a^{2} + 2 ab + b^{2}

A

= x^{2} + 12 x + 36

B

= (2 x - 5)^{2}

(a - b)^{2}

, avec

a = 2 x

b = 5

B

= (2 x)^{2} - 2 \times 2 x \times 5 + 5^{2}

a^{2} - 2 ab + b^{2}

;

(2 x)^{2} = 4 x^{2}

B

= 4 x^{2} - 20 x + 25

C

= (3 x + 4) (3 x - 4)

(a + b) (a - b)

, avec

a = 3 x

b = 4

C

= (3 x)^{2} - 4^{2}

a^{2} - b^{2}

C

= 9 x^{2} - 16

D

= (x - 2)^{2} - (x + 3) (3 - x)

(x + 3) (3 - x) = (3 + x) (3 - x)

: on réordonne

D

= x^{2} - 4 x + 4 - (9 - x^{2})

deux identités ; parenthèse gardée

D

= x^{2} - 4 x + 4 - 9 + x^{2}

-

change les signes

D

= 2 x^{2} - 4 x - 5

on réduit

À vous de jouer

Développer et réduire :

E = (x + 7)^{2}

F = (3 x - 2)^{2}

G = (5 x + 1) (5 x - 1)

H = (x + 4) (x - 4) - (2 x - 3)^{2}

Correction

E

= x^{2} + 2 \times x \times 7 + 7^{2}

(a + b)^{2}

, avec

a = x

b = 7

E

= x^{2} + 14 x + 49

F

= (3 x)^{2} - 2 \times 3 x \times 2 + 2^{2}

(a - b)^{2}

, avec

a = 3 x

b = 2

F

= 9 x^{2} - 12 x + 4

G

= (5 x)^{2} - 1^{2}

(a + b) (a - b)

, avec

a = 5 x

b = 1

G

= 25 x^{2} - 1

H

= x^{2} - 16 - (4 x^{2} - 12 x + 9)

deux identités ; parenthèse gardée

H

= x^{2} - 16 - 4 x^{2} + 12 x - 9

-

change les signes

H

= - 3 x^{2} + 12 x - 25

À faire : exercices 7 à 10

Exercice 7 — Identité $(a + b)^{2}$

Développer.

A $=$
$(3 x + 2)^{2}$
B $=$
$(4 + 3 x)^{2}$
C $=$
$(2 a + 7)^{2}$
D $=$
$(5 + 4 b)^{2}$
E $=$
$(x + 9)^{2}$
F $=$
$(6 x + 1)^{2}$
G $=$
$(2 m + 5)^{2}$
H $=$
$(3 + 7 r)^{2}$

Corrigé

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ : ne pas oublier le double produit $2 ab$ .

A

= (3 x)^{2} + 2 \times 3 x \times 2 + 2^{2}

A

= 9 x^{2} + 12 x + 4

B = 9 x^{2} + 24 x + 16

C = 4 a^{2} + 28 a + 49

D = 16 b^{2} + 40 b + 25

E = x^{2} + 18 x + 81

F = 36 x^{2} + 12 x + 1

G = 4 m^{2} + 20 m + 25

H = 49 r^{2} + 42 r + 9

$(3 x)^{2} = 9 x^{2}$ et non $3 x^{2}$ : le carré porte sur le nombre et sur la lettre.

Exercice 8 — Identité $(a - b)^{2}$

Développer.

A $=$
$(2 x - 3)^{2}$
B $=$
$(5 x - 4)^{2}$
C $=$
$(4 - 3 x)^{2}$
D $=$
$(1 - 6 x)^{2}$
E $=$
$(3 a - 5)^{2}$
F $=$
$(2 - 7 b)^{2}$
G $=$
$(4 m - 1)^{2}$
H $=$
$(n - 8)^{2}$

Corrigé

A

= (2 x)^{2} - 2 \times 2 x \times 3 + 3^{2}

A

= 4 x^{2} - 12 x + 9

B = 25 x^{2} - 40 x + 16

C = 16 - 24 x + 9 x^{2}

D = 1 - 12 x + 36 x^{2}

E = 9 a^{2} - 30 a + 25

F = 4 - 28 b + 49 b^{2}

G = 16 m^{2} - 8 m + 1

H = n^{2} - 16 n + 64

Le dernier terme $b^{2}$ est toujours positif : seul le double produit porte le signe $-$ .

Exercice 9 — Identité $(a + b) (a - b)$

Développer. Une de ces expressions n'est pas une identité remarquable : laquelle ?

A $=$
$(3 x + 7) (3 x - 7)$
B $=$
$(2 x + 3) (2 x - 5)$
C $=$
$(5 + 2 x) (5 - 2 x)$
D $=$
$(4 a + 1) (4 a - 1)$
E $=$
$(b - 6) (b + 6)$
F $=$
$(9 + c) (9 - c)$

Corrigé

A

= (3 x)^{2} - 7^{2}

A

= 9 x^{2} - 49

B

= 4 x^{2} - 10 x + 6 x - 15

B

= 4 x^{2} - 4 x - 15

C = 25 - 4 x^{2}

D = 16 a^{2} - 1

E = b^{2} - 36

F = 81 - c^{2}

$B$ n'est pas une identité remarquable : $+ 3$ et $- 5$ ne sont pas opposés ; on utilise la double distributivité.

Exercice 10 — Choisir la bonne méthode

a) Développer et réduire, en choisissant à chaque fois la méthode la plus rapide.

A $=$
$3 (2 x + 7)$
B $=$
$(2 x + 7)^{2}$
C $=$
$(5 x - 3)^{2}$
D $=$
$(7 x - 1) (7 x + 1)$
E $=$
$(6 x + 5) (2 x - 3)$

b) Développer, réduire et ordonner.

F $=$
$(3 x + 2) (x + 4) - (2 x - 5) (x + 1)$
G $=$
$(x - 3)^{2} + (2 x + 1) (2 x - 1)$
H $=$
$(2 x + 5)^{2} - (x - 4) (3 x + 2)$

Corrigé

A = 6 x + 21

B = 4 x^{2} + 28 x + 49

C = 25 x^{2} - 30 x + 9

D = 49 x^{2} - 1

E

= 12 x^{2} - 18 x + 10 x - 15

E

= 12 x^{2} - 8 x - 15

F

= 3 x^{2} + 12 x + 2 x + 8 - (2 x^{2} + 2 x - 5 x - 5)

F

= 3 x^{2} + 14 x + 8 - (2 x^{2} - 3 x - 5)

F

= 3 x^{2} + 14 x + 8 - 2 x^{2} + 3 x + 5

F

= x^{2} + 17 x + 13

G

= x^{2} - 6 x + 9 + 4 x^{2} - 1

G

= 5 x^{2} - 6 x + 8

H

= 4 x^{2} + 20 x + 25 - (3 x^{2} + 2 x - 12 x - 8)

H

= 4 x^{2} + 20 x + 25 - (3 x^{2} - 10 x - 8)

H

= 4 x^{2} + 20 x + 25 - 3 x^{2} + 10 x + 8

H

= x^{2} + 30 x + 33

Le signe $-$ devant un produit change tous les signes : on garde la parenthèse tant que le produit n'est pas réduit. C'est l'erreur n°1 du chapitre.

Chapitre 1 — Calcul littéral · coursIII Les trois identités remarquables

Propriété 2 — Identités remarquables

Méthode 3 — Développer avec une identité remarquable

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 7 — Identité (a+b)2

Exercice 8 — Identité (a−b)2

Exercice 9 — Identité (a+b)(a−b)

Exercice 10 — Choisir la bonne méthode

Exercice 7 — Identité $(a + b)^{2}$

Exercice 8 — Identité $(a - b)^{2}$

Exercice 9 — Identité $(a + b) (a - b)$