Faire des maths

Chapitre 1 — Calcul littéral · coursV Résoudre des équations

Sommaire du chapitre
  1. I — Réduire une expression littérale
  2. II — Développer
  3. III — Les trois identités remarquables
  4. IV — Factoriser
  5. V — Résoudre des équations
  6. VI — Mise en équation
  7. VII — Résoudre des inéquations
  8. VIII — Tableaux de signes
  9. IX — Inéquations produit
  10. X — Inéquations quotient
  11. XI — Problèmes avec des inéquations

Définition 3 — Solutions d'une équation

Résoudre une équation d'inconnue , c'est trouver toutes les valeurs de qui rendent l'égalité vraie : ce sont les solutions. On note l'ensemble des solutions.

Propriété 3 — Produit nul

Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : si , alors  ou .

Propriété 4 — Équation

  • Si , l'équation a deux solutions : et .
  • Si , elle a une seule solution : .
  • Si , elle n'a pas de solution : un carré n'est jamais négatif.

Méthode 5 — Résoudre une équation

Exemples corrigés

Résoudre dans les équations suivantes.

  1. a)
  2. b)
  3. c)
  4. d)
  5. e)
  6. f)
     ;
Correction

a)

on recopie
les à gauche, les nombres à droite
on divise par
.
on conclut par l'ensemble des solutions

b)

on recopie
on développe d'abord
on garde la fraction : ne tombe pas juste
.

c)

on recopie
produit nul : un des facteurs est nul
, donc
.
solutions rangées dans l'ordre croissant

d)

on recopie
on factorise par
produit nul
.

e)

on recopie
facteur commun
produit nul
.
on ne divise jamais par  : on perdrait la solution

f)

 : .    : .
propriété 4 : , deux solutions ; , aucune

À vous de jouer

Résoudre dans  :

Correction

on recopie
les à gauche, les nombres à droite
on divise par
.

on recopie
on développe d'abord
les du côté où il y en a le plus
.

on recopie
produit nul : un des facteurs est nul
.
solutions rangées dans l'ordre croissant

on recopie
on factorise par
.

on factorise par
.

et  : .
deux nombres opposés ont pour carré
À faire : exercices 15 à 18

Exercice 15 — Équations du premier degré

Résoudre dans  :

  1. a)
  2. b)
  3. c)
  4. d)

Que se passe-t-il pour l'équation d) ?

Corrigé
  1. a)
    , donc  :
  2. b)
    , donc  :
  3. c)
    , donc  :
  4. d)
    , soit , impossible :

En d), les disparaissent et il reste une égalité fausse : aucune solution.

Exercice 16 — Équations avec des parenthèses

Résoudre dans  :

  1. a)
  2. b)
  3. c)
  4. d)
Corrigé
  1. a)
    , soit  :
  2. b)
    , soit  :
  3. c)
    , soit  :
  4. d)
    , soit  :

En c),  : le devant la parenthèse change les deux signes.

Exercice 17 — Équations produit

Résoudre dans  :

  1. a)
  2. b)
  3. c)
  4. d)
  5. e)
  6. f)
  1. g)
  2. h)
Corrigé
  1. a)
    ou  :
  2. b)
    ou  :
  3. c)
    ou  :
  4. d)
     :
  5. e)
     :
  6. f)
     :
  7. g)

     :
  8. h)

     :

En e), diviser par ferait perdre la solution  : on factorise. En d), le carré est nul seulement si  : une seule solution.

Exercice 18 — Un premier problème

Un magasin d'électronique reçoit composants : des résistances, des condensateurs et des diodes. Il y a deux fois plus de résistances que de condensateurs, et condensateurs de plus que de diodes.

Combien le magasin a-t-il reçu de composants de chaque sorte ?

Corrigé

Soit le nombre de condensateurs. Il y a résistances et diodes.

Vérification : .

«  condensateurs de plus que de diodes » : ce sont les diodes qui en ont de moins, et non .