Chapitre 1 — Calcul littéral · coursIV Factoriser

Sommaire du chapitre

Pour factoriser, c'est-à-dire écrire une expression comme un produit, on cherche dans l'ordre :

un facteur commun à tous les termes, nombre, lettre ou parenthèse entière : $ka + kb = k (a + b)$ ;
sinon, une identité remarquable lue de droite à gauche : $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ , $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ , $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

Méthode 4 — Factoriser

Exemples corrigés

Factoriser les expressions suivantes.

a)
$A = 15 x^{2} - 20 x$
b)
$B = (x + 4) (2 x - 3) + (x + 4) (x + 5)$
c)
$C = (2 x + 3)^{2} - (2 x + 3) (x - 1)$
d)
$D = 4 x^{2} + 28 x + 49$
e)
$E = 25 x^{2} - 36$
f)
$F = 16 - (x + 3)^{2}$

Correction

A

= 15 x^{2} - 20 x

on recopie

A

= 5 x \times 3 x - 5 x \times 4

5 x

est dans les deux termes

A

= 5 x (3 x - 4)

B

= (x + 4) (2 x - 3) + (x + 4) (x + 5)

facteur commun : la parenthèse

(x + 4)

B

= (x + 4) [(2 x - 3) + (x + 5)]

on écrit ce qui reste dans un crochet

B

= (x + 4) (3 x + 2)

on réduit le crochet

C

= (2 x + 3)^{2} - (2 x + 3) (x - 1)

(2 x + 3)^{2} = (2 x + 3) (2 x + 3)

C

= (2 x + 3) [(2 x + 3) - (x - 1)]

facteur commun

(2 x + 3)

C

= (2 x + 3) (2 x + 3 - x + 1)

-

change les signes de

x - 1

C

= (2 x + 3) (x + 4)

D

= 4 x^{2} + 28 x + 49

pas de facteur commun : identité remarquable ?

D

= (2 x)^{2} + 2 \times 2 x \times 7 + 7^{2}

a = 2 x

b = 7

; le double produit vaut bien

28 x

D

= (2 x + 7)^{2}

E

= 25 x^{2} - 36

différence de deux carrés

E

= (5 x)^{2} - 6^{2}

a^{2} - b^{2}

, avec

a = 5 x

b = 6

E

= (5 x - 6) (5 x + 6)

F

= 16 - (x + 3)^{2}

a^{2} - b^{2}

, avec

a = 4

b = x + 3

F

= [4 - (x + 3)] [4 + (x + 3)]

crochets :

b

est une parenthèse

F

= (1 - x) (7 + x)

on réduit chaque crochet

À vous de jouer

Factoriser :

G = 14 x^{2} - 21 x

H = (x - 2) (4 x + 1) - (x - 2) (x - 6)

I = x^{2} - 10 x + 25

J = 9 x^{2} + 6 x + 1

K = 49 x^{2} - 4

L = (x - 3)^{2} - 36

Correction

G

= 7 x \times 2 x - 7 x \times 3

7 x

est dans les deux termes

G

= 7 x (2 x - 3)

H

= (x - 2) [(4 x + 1) - (x - 6)]

facteur commun : la parenthèse

(x - 2)

H

= (x - 2) (4 x + 1 - x + 6)

-

change les signes de

x - 6

H

= (x - 2) (3 x + 7)

I

= x^{2} - 2 \times x \times 5 + 5^{2}

a = x

b = 5

; le double produit vaut bien

10 x

I

= (x - 5)^{2}

J

= (3 x)^{2} + 2 \times 3 x \times 1 + 1^{2}

a = 3 x

b = 1

J

= (3 x + 1)^{2}

K

= (7 x)^{2} - 2^{2}

différence de deux carrés

K

= (7 x - 2) (7 x + 2)

L

= (x - 3)^{2} - 6^{2}

a = x - 3

b = 6

L

= [(x - 3) - 6] [(x - 3) + 6]

L

= (x - 9) (x + 3)

À faire : exercices 11 à 14

Exercice 11 — Facteur commun

Factoriser.

A $=$
$6 a + 6 b$
B $=$
$48 a - 36 b$
C $=$
$45 a - 15 b$
D $=$
$120 a - 80 b$
E $=$
$7 x^{2} + 4 x$
F $=$
$18 x^{2} - 11 x$
G $=$
$15 x + 8 x^{2}$
H $=$
$10 x^{2} - 4 x$
I $=$
$4 x^{2} + x$
J $=$
$3 x^{3} - x^{2}$

Corrigé

On met en facteur le plus grand diviseur commun des coefficients, et la plus grande puissance de $x$ présente dans chaque terme.

A = 6 (a + b)

B = 12 (4 a - 3 b)

C = 15 (3 a - b)

D = 40 (3 a - 2 b)

E = x (7 x + 4)

F = x (18 x - 11)

G = x (15 + 8 x)

H = 2 x (5 x - 2)

I = x (4 x + 1)

J = x^{2} (3 x - 1)

Dans $I$ , $x = x \times 1$ : il reste $1$ dans la parenthèse, pas $0$ . On vérifie en redéveloppant.

Exercice 12 — Identité $a^{2} + 2 ab + b^{2}$

Factoriser, si c'est possible. Contrôler le double produit : deux de ces expressions ne sont pas des carrés.

A $=$
$9 x^{2} + 12 x + 4$
B $=$
$25 x^{2} + 40 x + 16$
C $=$
$9 a^{2} + 6 a + 4$
D $=$
$25 + 30 b + 9 b^{2}$
E $=$
$16 c^{2} + 20 c + 25$
F $=$
$28 d + 49 d^{2} + 4$

Corrigé

On repère $a^{2}$ et $b^{2}$ , puis on vérifie que le troisième terme est bien $2 ab$ .

A

= (3 x)^{2} + 2 \times 3 x \times 2 + 2^{2}

A

= (3 x + 2)^{2}

B

= (5 x)^{2} + 2 \times 5 x \times 4 + 4^{2}

B

= (5 x + 4)^{2}

$C$ : $(3 a)^{2}$ et $2^{2}$ , mais $2 \times 3 a \times 2 = 12 a$ , pas $6 a$ : $pas un carr \overset{e}{ˊ}$

D

= 5^{2} + 2 \times 5 \times 3 b + (3 b)^{2}

D

= (5 + 3 b)^{2}

$E$ : $(4 c)^{2}$ et $5^{2}$ , mais $2 \times 4 c \times 5 = 40 c$ , pas $20 c$ : $pas un carr \overset{e}{ˊ}$

F

= (7 d)^{2} + 2 \times 7 d \times 2 + 2^{2}

F

= (7 d + 2)^{2}

Pour $F$ , on range d'abord : $49 d^{2} + 28 d + 4$ .

Exercice 13 — Identités $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ et $a^{2} - b^{2}$

a) Factoriser, si c'est possible. Deux de ces expressions ne sont pas des carrés.

A $=$
$16 x^{2} - 24 x + 9$
B $=$
$9 - 12 x + 4 x^{2}$
C $=$
$4 x^{2} - 6 x + 9$
D $=$
$25 x^{2} + 10 x - 1$
E $=$
$9 a^{2} + 25 - 30 a$
F $=$
$49 b^{2} + 4 - 28 b$

b) Factoriser à l'aide de l'identité $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

G $=$
$49 x^{2} - 25$
H $=$
$64 - 9 x^{2}$
I $=$
$(x + 2)^{2} - 16$
J $=$
$36 - (x - 1)^{2}$

Corrigé

A

= (4 x)^{2} - 2 \times 4 x \times 3 + 3^{2}

A

= (4 x - 3)^{2}

B

= 3^{2} - 2 \times 3 \times 2 x + (2 x)^{2}

B

= (3 - 2 x)^{2}

$C$ : $2 \times 2 x \times 3 = 12 x$ , pas $6 x$ : $pas un carr \overset{e}{ˊ}$

$D$ : le terme $- 1$ est négatif : $pas un carr \overset{e}{ˊ}$

E

= (3 a)^{2} - 2 \times 3 a \times 5 + 5^{2}

E

= (3 a - 5)^{2}

F

= (7 b)^{2} - 2 \times 7 b \times 2 + 2^{2}

F

= (7 b - 2)^{2}

G

= (7 x)^{2} - 5^{2}

G

= (7 x - 5) (7 x + 5)

H

= 8^{2} - (3 x)^{2}

H

= (8 - 3 x) (8 + 3 x)

I

= [(x + 2) - 4] [(x + 2) + 4]

I

= (x - 2) (x + 6)

J

= [6 - (x - 1)] [6 + (x - 1)]

J

= (7 - x) (5 + x)

Un carré est toujours positif : si l'un des deux termes « carrés » est négatif ( $D$ ), ce n'est pas une identité remarquable. Dans $J$ , les crochets évitent l'erreur de signe : $6 - (x - 1) = 7 - x$ .

Exercice 14 — Facteur commun entre parenthèses

Factoriser, puis réduire chaque facteur.

A $=$
$(3 x + 4) (2 x - 5) + (3 x + 4) (5 x + 1)$
B $=$
$(6 x - 1) (2 x + 3) + (6 x - 1) (x - 5)$
C $=$
$(2 x + 9) (4 x - 1) + (4 x - 1) (3 x + 2)$
D $=$
$(4 r - 3) (2 r + 5) + (r + 7) (2 r + 5)$
E $=$
$(5 x + 3) (x - 4) + (5 x + 3)$
F $=$
$(7 r - 2) (3 r + 1) + (7 r - 2)^{2}$
G $=$
$(4 m - 5)^{2} - (4 m - 5) (m + 3)$

Pour E, écrire $(5 x + 3) = (5 x + 3) \times 1$ ; pour F et G, écrire le carré comme un produit de deux facteurs égaux.

Corrigé

On écrit le facteur commun devant, puis entre crochets ce qui reste de chaque terme ; on réduit le crochet.

A

= (3 x + 4) [(2 x - 5) + (5 x + 1)]

A

= (3 x + 4) (7 x - 4)

B

= (6 x - 1) [(2 x + 3) + (x - 5)]

B

= (6 x - 1) (3 x - 2)

C

= (4 x - 1) [(2 x + 9) + (3 x + 2)]

C

= (4 x - 1) (5 x + 11)

D

= (2 r + 5) [(4 r - 3) + (r + 7)]

D

= (2 r + 5) (5 r + 4)

E

= (5 x + 3) (x - 4) + (5 x + 3) \times 1

E

= (5 x + 3) [(x - 4) + 1]

E

= (5 x + 3) (x - 3)

F

= (7 r - 2) (3 r + 1) + (7 r - 2) (7 r - 2)

F

= (7 r - 2) [(3 r + 1) + (7 r - 2)]

F

= (7 r - 2) (10 r - 1)

G

= (4 m - 5) (4 m - 5) - (4 m - 5) (m + 3)

G

= (4 m - 5) [(4 m - 5) - (m + 3)]

G

= (4 m - 5) (4 m - 5 - m - 3)

G

= (4 m - 5) (3 m - 8)

Dans $G$ , le $-$ devant le second produit change les deux signes de $(m + 3)$ . Dans $E$ , sans le $\times 1$ , on oublie le $+ 1$ .

Chapitre 1 — Calcul littéral · coursIV Factoriser

Méthode 4 — Factoriser

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 11 — Facteur commun

Exercice 12 — Identité a2+2ab+b2

Exercice 13 — Identités a2−2ab+b2 et a2−b2

Exercice 14 — Facteur commun entre parenthèses

Exercice 12 — Identité $a^{2} + 2 ab + b^{2}$

Exercice 13 — Identités $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ et $a^{2} - b^{2}$