Chapitre 1 — Calcul littéral · coursII Développer

Sommaire du chapitre

Définition 2 — Développer, factoriser

Développer, c'est transformer un produit en une somme.

Factoriser, c'est transformer une somme en un produit.

Propriété 1 — Distributivité

Pour tous nombres $a$ , $b$ , $c$ , $d$ et $k$ :

k (a + b) = ka + kb

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

Un signe $-$ devant une parenthèse change le signe de chaque terme de la parenthèse : $- (3 - x) = - 3 + x$ .

Méthode 2 — Développer et réduire

Exemples corrigés

Développer et réduire les expressions suivantes.

a)
$A = - 4 (3 x - 5)$
b)
$B = (3 x + 2) (x - 4)$
c)
$C = 3 x (2 - x) - (x + 1) (2 x - 5)$

Correction

A

= - 4 (3 x - 5)

on recopie

A

= (- 4) \times 3 x + (- 4) \times (- 5)

- 4

multiplie chaque terme

A

= - 12 x + 20

règle des signes :

(- 4) \times (- 5) = 20

B

= (3 x + 2) (x - 4)

on recopie

B

= 3 x^{2} - 12 x + 2 x - 8

chaque terme par chaque terme : quatre produits

B

= 3 x^{2} - 10 x - 8

on réduit

C

= 3 x (2 - x) - (x + 1) (2 x - 5)

on recopie

C

= 6 x - 3 x^{2} - (2 x^{2} - 5 x + 2 x - 5)

on garde la parenthèse derrière le

-

C

= 6 x - 3 x^{2} - (2 x^{2} - 3 x - 5)

on réduit dans la parenthèse

C

= 6 x - 3 x^{2} - 2 x^{2} + 3 x + 5

-

change tous les signes

C

= - 5 x^{2} + 9 x + 5

on réduit et on ordonne

À vous de jouer

Développer et réduire :

D = 6 (2 x - 3)

E = - 3 (5 - 2 x)

F = 7 x - 2 (3 x + 5)

G = (2 x + 5) (x + 3)

H = (3 x - 2) (5 - x)

I = (x + 3) (2 x - 1) - x (x + 4)

Correction

D

= 6 \times 2 x - 6 \times 3

6

multiplie chaque terme

D

= 12 x - 18

E

= (- 3) \times 5 + (- 3) \times (- 2 x)

E

= - 15 + 6 x

règle des signes :

(- 3) \times (- 2 x) = 6 x

F

= 7 x - 6 x - 10

- 2

multiplie chaque terme

F

= x - 10

G

= 2 x^{2} + 6 x + 5 x + 15

quatre produits

G

= 2 x^{2} + 11 x + 15

H

= 15 x - 3 x^{2} - 10 + 2 x

- 2 \times (- x) = 2 x

H

= - 3 x^{2} + 17 x - 10

on réduit et on ordonne

I

= 2 x^{2} - x + 6 x - 3 - (x^{2} + 4 x)

on garde la parenthèse derrière le

-

I

= 2 x^{2} + 5 x - 3 - x^{2} - 4 x

I

= x^{2} + x - 3

À faire : exercices 4 à 6

Exercice 4 — Distributivité simple

Développer et réduire.

A $=$
$4 (3 x + 5)$
B $=$
$(6 + 5 x) \times 2$
C $=$
$x (2 x + 9)$
D $=$
$3 x (4 x + 5)$

E $=$
$5 x + 3 (2 x + 4)$
F $=$
$2 (5 x + 6) + 4 (2 x + 3)$
G $=$
$6 (3 + 2 x) + 5 x$
H $=$
$3 (4 x + 1) + 2 (7 + 3 x)$
I $=$
$x (3 x + 5) + 2 (6 x + 1)$
J $=$
$2 x (4 x + 3) + 3 x (2 x + 5)$

Corrigé

A = 12 x + 20

B = 12 + 10 x

C = 2 x^{2} + 9 x

D = 12 x^{2} + 15 x

E

= 5 x + 6 x + 12

E

= 11 x + 12

F = 18 x + 24

G = 17 x + 18

H = 18 x + 17

I = 3 x^{2} + 17 x + 2

J

= 8 x^{2} + 6 x + 6 x^{2} + 15 x

J

= 14 x^{2} + 21 x

Dans $E$ , on développe d'abord $3 (2 x + 4)$ : on n'additionne pas $5 x$ et $3$ .

Exercice 5 — Signes et facteurs négatifs

Développer et réduire.

A $=$
$5 (a + 3) - 4 a$
B $=$
$- 7 a + 3 (2 a - 4)$
C $=$
$4 (2 + 3 a) - 3 (5 + 2 a)$
D $=$
$- 5 (- 3 a + 2) + 2 (4 a - 3)$

E $=$
$3 b + 2 b (5 + 6 b)$
F $=$
$4 b (- 3 b + 5) + 7 b^{2}$
G $=$
$3 b (- 4 b - 2) - b (2 b - 9)$
H $=$
$- 2 b (5 b - 3) + 6 b (- 2 b - 4)$

Corrigé

Le signe devant le facteur fait partie du facteur : $- 3 (5 + 2 a) = - 15 - 6 a$ .

A

= 5 a + 15 - 4 a B = - 7 a + 6 a - 12

A

= a + 15 B = - a - 12

C

= 8 + 12 a - 15 - 6 a D = 15 a - 10 + 8 a - 6

C

= 6 a - 7 D = 23 a - 16

E

= 3 b + 10 b + 12 b^{2}

E

= 12 b^{2} + 13 b

F

= - 12 b^{2} + 20 b + 7 b^{2}

F

= - 5 b^{2} + 20 b

G

= - 12 b^{2} - 6 b - 2 b^{2} + 9 b

G

= - 14 b^{2} + 3 b

H

= - 10 b^{2} + 6 b - 12 b^{2} - 24 b

H

= - 22 b^{2} - 18 b

Dans $G$ : $- b (2 b - 9) = - 2 b^{2} + 9 b$ ; le $-$ change les deux signes.

Exercice 6 — Double distributivité

Développer et réduire.

A $=$
$(2 x + 5) (4 x + 3)$
B $=$
$(3 + 4 x) (5 x + 2)$
C $=$
$(5 x + 2) (4 + 3 x)$
D $=$
$(6 x + 1) (3 + 5 x)$
E $=$
$6 x + 5 (2 + 3 x)$
F $=$
$(4 x + 3) (4 x + 3)$

Pourquoi E se développe-t-il beaucoup plus vite que les autres ?

Corrigé

Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : quatre produits, puis on réduit.

A

= 8 x^{2} + 6 x + 20 x + 15

A

= 8 x^{2} + 26 x + 15

B

= 15 x + 6 + 20 x^{2} + 8 x

B

= 20 x^{2} + 23 x + 6

C

= 20 x + 15 x^{2} + 8 + 6 x

C

= 15 x^{2} + 26 x + 8

D

= 18 x + 30 x^{2} + 3 + 5 x

D

= 30 x^{2} + 23 x + 3

E

= 6 x + 10 + 15 x

E

= 21 x + 10

F

= 16 x^{2} + 12 x + 12 x + 9

F

= 16 x^{2} + 24 x + 9

$E$ n'est pas un produit de deux parenthèses : seul $5$ multiplie $(2 + 3 x)$ , c'est une distributivité simple. $F = (4 x + 3)^{2}$ : une identité remarquable ira plus vite (partie III).