Chapitre 1 — Calcul littéral · coursXI Problèmes avec des inéquations

Sommaire du chapitre

Méthode 11 — Résoudre un problème par une inéquation

Exemples corrigés

Un atelier de découpe laser fabrique $x$ pièces par jour, avec $0 < x ⩽ 300$ . Le coût de production est $C (x) = 6 x + 840$ et la recette $R (x) = 18 x$ , en euros.

a)
À partir de combien de pièces par jour l'atelier fait-il un bénéfice ?
b)
Le coût moyen d'une pièce est $\frac{C ( x )}{x}$ . Combien de pièces faut-il produire pour que ce coût moyen ne dépasse pas $10$ € ?

Correction

L'atelier fait un bénéfice lorsque

R (x) > C (x)

on traduit l'énoncé par une inéquation

18 x

> 6 x + 840

12 x

> 840

x

> 70

on divise par

12 > 0

R (71) = 1278

C (71) = 1266

: bénéfice de

12

€.

vérification pour le premier entier qui convient

L'atelier fait un bénéfice à partir de

71

pièces par jour.

x

est un nombre entier de pièces

\frac{6 x + 840}{x}

⩽ 10

on traduit l'énoncé

\frac{6 x + 840 - 10 x}{x}

⩽ 0

tout à gauche, même dénominateur

\frac{840 - 4 x}{x}

⩽ 0

840 - 4 x

⩽ 0

x > 0

: le quotient a le signe du numérateur

- 4 x

⩽ - 840

x

⩾ 210

on divise par

- 4 < 0

: le sens change

Il faut produire au moins

210

pièces par jour.

conclusion dans le contexte

À vous de jouer

Un atelier d'impression 3D fabrique $x$ pièces par jour, avec $0 < x ⩽ 400$ . Le coût de production est $C (x) = 4 x + 600$ et la recette $R (x) = 10 x$ , en euros.

1°)
À partir de combien de pièces par jour l'atelier fait-il un bénéfice ?
2°)
Combien de pièces faut-il produire pour que le coût moyen $\frac{C ( x )}{x}$ ne dépasse pas $7$ € ?

Correction

1°)

L'atelier fait un bénéfice lorsque

R (x) > C (x)

on traduit l'énoncé par une inéquation

10 x

> 4 x + 600

6 x

> 600

x

> 100

on divise par

6 > 0

R (101) = 1010

C (101) = 1004

: bénéfice de

6

€.

vérification pour le premier entier qui convient

L'atelier fait un bénéfice à partir de

101

pièces par jour.

x

est un nombre entier de pièces

2°)

\frac{4 x + 600}{x}

⩽ 7

on traduit l'énoncé

\frac{4 x + 600 - 7 x}{x}

⩽ 0

tout à gauche, même dénominateur

\frac{600 - 3 x}{x}

⩽ 0

600 - 3 x

⩽ 0

x > 0

: le quotient a le signe du numérateur

- 3 x

⩽ - 600

x

⩾ 200

on divise par

- 3 < 0

: le sens change

Il faut produire au moins

200

pièces par jour.

conclusion dans le contexte

À faire : exercices 34 à 36

Exercice 34 — Seuil de rentabilité

Un atelier assemble des modules Bluetooth. Pour $x$ modules par jour (avec $0 < x ⩽ 150$ ), le coût de production est $C (x) = 15 x + 480$ et la recette $R (x) = 31 x$ , en euros.

1)
Calculer $C (25)$ et $R (25)$ . L'atelier fait-il un bénéfice ce jour-là ?
2)
Résoudre $R (x) > C (x)$ . À partir de combien de modules par jour l'atelier fait-il un bénéfice ?
3)
Le coût moyen d'un module est $\frac{C ( x )}{x}$ . Combien de modules faut-il assembler pour que ce coût moyen ne dépasse pas $21$ € ?

Corrigé

1°)
$C (25) = 15 \times 25 + 480 = 855$ et $R (25) = 31 \times 25 = 775$ .
$R (25) < C (25)$ : $pas de b \overset{e}{ˊ} n \overset{e}{ˊ} fice$ .
2°)
$31 x > 15 x + 480$ , soit $16 x > 480$ et $x > 30$ .
$b \overset{e}{ˊ} n \overset{e}{ˊ} fice \overset{a}{ˋ} partir de 31 modules par jour$
3°)
$\frac{15 x + 480}{x} ⩽ 21$ , soit $\frac{480 - 6 x}{x} ⩽ 0$ .
$x > 0$ : le quotient a le signe de $480 - 6 x$ .
$480 - 6 x ⩽ 0$ , soit $x ⩾ 80$ : $au moins 80 modules par jour$

$x$ est un nombre entier de modules : au-dessus de $30$ , le premier entier est $31$ .

Exercice 35 — Louer un utilitaire électrique

Une entreprise de livraison loue un utilitaire électrique pour la journée et parcourt $x$ kilomètres, avec $0 ⩽ x ⩽ 300$ . Trois loueurs :

A : $0, 50$ € par kilomètre, sans forfait ;
B : forfait de $36$ €, puis $0, 20$ € par kilomètre ;
C : forfait de $60$ €, puis $0, 10$ € par kilomètre.

1)
Calculer le prix de $60$ km, puis de $150$ km, chez A et chez B. Quel loueur est le moins cher dans chaque cas ?
2)
Exprimer en fonction de $x$ le prix $A (x)$ chez A et le prix $B (x)$ chez B.
3)
Résoudre $B (x) < A (x)$ et interpréter le résultat.
4)
Chez B, l'entreprise ne veut pas dépenser plus de $80$ €. Combien de kilomètres peut-elle parcourir au plus ?
5)
Pour quelles distances le loueur C est-il strictement moins cher que les deux autres ? Justifier.

Corrigé

1°)
$60$ km : A coûte $30$ €, B coûte $36 + 12 = 48$ € : $A$ .
$150$ km : A coûte $75$ €, B coûte $36 + 30 = 66$ € : $B$ .
2°)
$A (x) = 0, 5 x$ et $B (x) = 36 + 0, 2 x$
3°)
$36 + 0, 2 x < 0, 5 x$ , soit $36 < 0, 3 x$ et $x > 120$ .
$B est moins cher au-del \overset{a}{ˋ} de 120 km$
4°)
$36 + 0, 2 x ⩽ 80$ , soit $0, 2 x ⩽ 44$ et $x ⩽ 220$ : $220 km au plus$
5°)
$C (x) = 60 + 0, 1 x$ .
$C (x) < A (x)$ : $60 < 0, 4 x$ , soit $x > 150$ .
$C (x) < B (x)$ : $24 < 0, 1 x$ , soit $x > 240$ .
Les deux à la fois, avec $x ⩽ 300$ : $x \in] 240; 300]$

« Moins cher que les deux autres » : les deux conditions sont vraies en même temps ; on garde la plus exigeante.

Exercice 36 — Bénéfice d'un fabricant de trottinettes

Un atelier fabrique chaque semaine entre $0$ et $120$ trottinettes. Pour $x$ trottinettes, son bénéfice, en euros, est

B (x) = - 2 x^{2} + 240 x - 4 000.

1)
Calculer $B (10)$ et $B (50)$ . L'atelier fait-il un bénéfice dans chaque cas ?
2)
Développer $(2 x - 40) (100 - x)$ . Qu'en déduit-on pour $B (x)$ ?
3)
Résoudre $B (x) > 0$ sur $[0; 120]$ , à l'aide d'un tableau de signes.
4)
Combien de trottinettes l'atelier doit-il fabriquer par semaine pour faire un bénéfice ?
5)
L'atelier vise un bénéfice d'au moins $2400$ €. Vérifier que $B (x) - 2400 = - 2 (x - 40) (x - 80)$ , puis en déduire le nombre de trottinettes à fabriquer.

Corrigé

1°)
$B (10) = - 200 + 2400 - 4000$ , soit $- 1800$ : perte.
$B (50) = - 5000 + 12000 - 4000$ , soit $3000$ : bénéfice.
2°)
$(2 x - 40) (100 - x)$
$= 200 x - 2 x^{2} - 4000 + 40 x$
$(2 x - 40) (100 - x)$
$= - 2 x^{2} + 240 x - 4000$

Donc $B (x) = (2 x - 40) (100 - x)$ .
3°)
Valeurs $20$ et $100$ . $S =] 20; 100 [$
4°)
$de 21 \overset{a}{ˋ} 99 trottinettes par semaine$
5°)
$- 2 (x - 40) (x - 80)$
$= - 2 (x^{2} - 120 x + 3200)$
$- 2 (x - 40) (x - 80)$
$= - 2 x^{2} + 240 x - 6400$

C'est bien $B (x) - 2400$ .
$B (x) ⩾ 2400$ s'écrit $- 2 (x - 40) (x - 80) ⩾ 0$ ; on divise par $- 2 < 0$ , le sens change : $(x - 40) (x - 80) ⩽ 0$ , signe $+$ , $-$ , $+$ .
$de 40 \overset{a}{ˋ} 80 trottinettes par semaine$

Le tableau est fait sur $[0; 120]$ : la première colonne commence à $0$ , pas à $- \infty$ .