Chapitre 2 — Fonctions · coursI Images et antécédents

Sommaire du chapitre

I — Images et antécédents
- Méthode 1 — Calculer une image, chercher un antécédent
- Méthode 2 — Lire une image, des antécédents sur une courbe
II — Ensemble de définition
- Méthode 3 — Ensemble de définition d'un quotient
- Méthode 4 — Ensemble de définition avec une racine carrée
III — Comparaison de deux fonctions
- Méthode 5 — Comparer deux fonctions sur un graphique
- Méthode 6 — Position relative par le signe de $f (x) - g (x)$
IV — Sens de variation
- Méthode 7 — Démontrer un sens de variation avec la définition
V — Fonction carré
- Méthode 8 — Comparer ou encadrer des carrés
VI — Fonction cube
- Méthode 9 — Résoudre $x^{3} = k$ , comparer, encadrer des cubes
VII — Fonction inverse
- Méthode 10 — Résoudre $\frac{1}{x} = k$ , comparer, encadrer des inverses
VIII — Fonction racine carrée
- Méthode 11 — Résoudre une équation avec une racine carrée
IX — Fonction valeur absolue
- Méthode 12 — Étudier $x \mapsto ∣ x - k ∣$ et résoudre $∣ x - k ∣ = r$
X — Fonctions affines
- Méthode 13 — Équation réduite d'une droite passant par deux points
XI — Prolongement : vers la dérivation
- Méthode 14 — Calculer un taux de variation

Définition 1 — Fonction, image, antécédent

Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ d'un ensemble $D$ un seul nombre, noté $f (x)$ : c'est l'image de $x$ par $f$ . On écrit $f : x ⟼ f (x)$ .

Si $f (x) = y$ , on dit que $x$ est un antécédent de $y$ par $f$ .

La courbe $C_{f}$ de $f$ est formée des points de coordonnées $(x; f (x))$ : un point $M (a; b)$ est sur $C_{f}$ lorsque $b = f (a)$ . On dit que $y = f (x)$ est une équation de $C_{f}$ .

Méthode 1 — Calculer une image, chercher un antécédent

Exemples corrigés

Calculer l'image demandée, puis chercher les antécédents demandés.

a)
$f (x) = 3 x - 4$ : image de $- 2$ ; antécédents de $11$ .
b)
$g (x) = x^{2} + 2$ : image de $- 3$ ; antécédents de $6$ , puis de $1$ .

Correction

f (- 2)

= 3 \times (- 2) - 4

on remplace

x

par

- 2

, entre parenthèses

f (- 2)

= - 10

3 x - 4

= 11

antécédents de

11

: on résout

f (x) = 11

3 x

= 15

on ajoute

4

x

= 5

on divise par

3

Le nombre

11

a un seul antécédent par

f

5

on conclut par une phrase : combien d'antécédents, et lesquels

g (- 3)

= (- 3)^{2} + 2

(- 3)^{2} = 9

g (- 3)

= 11

x^{2} + 2

= 6

on résout

g (x) = 6

x^{2}

= 4

6

a deux antécédents :

- 2

2

deux nombres ont pour carré

4

x^{2} + 2

= 1

on résout

g (x) = 1

x^{2}

= - 1

1

n'a aucun antécédent par

g

un carré n'est jamais négatif

À vous de jouer

1°)
$h (x) = - 2 x + 7$ : calculer $h (3)$ et $h (- 4)$ , puis chercher les antécédents de $13$ .
2°)
$k (x) = x^{2} - 5$ : calculer $k (- 1)$ , puis chercher les antécédents de $4$ et de $- 6$ .

Correction

1°)

h (3)

= - 2 \times 3 + 7

on remplace

x

par

3

h (3)

= 1

h (- 4)

= - 2 \times (- 4) + 7

- 4

entre parenthèses

h (- 4)

= 15

- 2 x + 7

= 13

antécédents de

13

: on résout

h (x) = 13

- 2 x

= 6

on retire

7

x

= - 3

on divise par

- 2

Le nombre

13

a un seul antécédent par

h

- 3

combien d'antécédents, et lesquels

2°)

k (- 1)

= (- 1)^{2} - 5

(- 1)^{2} = 1

k (- 1)

= - 4

x^{2} - 5

= 4

on résout

k (x) = 4

x^{2}

= 9

4

a deux antécédents :

- 3

3

deux nombres ont pour carré

9

x^{2} - 5

= - 6

on résout

k (x) = - 6

x^{2}

= - 1

- 6

n'a aucun antécédent par

k

un carré n'est jamais négatif

Méthode 2 — Lire une image, des antécédents sur une courbe

Exemples corrigés

La courbe ci-contre est celle d'une fonction $f$ définie sur $[- 3; 4]$ .

a)
Lire $f (- 1)$ et $f (0)$ .
b)
Lire les antécédents de $0$ , puis ceux de $3$ .

Correction

La courbe passe par

(- 1; 2)

et par

(0; 1)

f (- 1) = 2

f (0) = 1

on part de

- 1

sur l'axe des abscisses, on va verticalement jusqu'à la courbe, on lit l'ordonnée

La droite d'équation

y = 0

coupe la courbe en trois points :

0

a trois antécédents,

- 2

;

1

3

on trace la droite horizontale

y = 0

et on lit les abscisses de tous les points communs

La droite d'équation

y = 3

ne coupe pas la courbe :

3

n'a aucun antécédent.

aucun point commun : aucun antécédent

À vous de jouer

1°)
Lire les images de $- 3$ , de $2$ et de $4$ .
2°)
Lire les antécédents de $2$ .
3°)
Combien de solutions l'équation $f (x) = 1$ a-t-elle ?

Correction

1°)

La courbe passe par

(- 3; - 2)

(2; - 1)

(4; 2)

f (- 3) = - 2

f (2) = - 1

f (4) = 2

verticalement jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée

2°)

La droite d'équation

y = 2

touche la courbe en

(- 1; 2)

(4; 2)

2

a deux antécédents,

- 1

4

on lit les abscisses de tous les points communs

3°)

La droite d'équation

y = 1

coupe la courbe trois fois (entre

- 2

- 1

, en

0

, entre

3

4

) : l'équation

f (x) = 1

a trois solutions.

on compte les points d'intersection

À faire : exercices 1 à 5

Exercice 1 — Vocabulaire

1)
Écrire chaque phrase sous la forme d'une égalité.
1. a)
  L'image de $3$ par la fonction $f$ est $- 1$ .
2. b)
  Le nombre $- 2$ est un antécédent de $6$ par la fonction $g$ .
3. c)
  Le point $B (0; 5)$ est sur la courbe de la fonction $h$ .
4. d)
  Par la fonction $k$ , le nombre $4$ a pour image $9$ .
2)
On sait que $f (5) = - 7$ . Écrire trois phrases : la première avec le mot « image », la deuxième avec « antécédent », la troisième avec « courbe ».

Corrigé

1°)
a) $f (3) = - 1$ b) $g (- 2) = 6$ c) $h (0) = 5$ d) $k (4) = 9$
2°)
L'image de $5$ par $f$ est $- 7$ . Le nombre $5$ est un antécédent de $- 7$ par $f$ . Le point de coordonnées $(5; - 7)$ est sur la courbe de $f$ .

→ On dit « l'image » (il n'y en a qu'une) mais « un antécédent » (il peut y en avoir plusieurs).

Exercice 2 — Calculer des images

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = 2 x^{2} - 5 x$ .

1)
Calculer l'image par $f$ de $3$ ; de $- 2$ ; de $\frac{1}{2}$ ; de $- 1, 5$ ; de $3$ .
2)
Le nombre $- 1$ est-il un antécédent de $7$ ? Le nombre $2$ a-t-il pour image $2$ ?

Corrigé

Avec $f (x) = 2 x^{2} - 5 x$ :

1°)
$f (3) = 2 \times 9 - 15 = 3$ $f (- 2) = 2 \times 4 + 10 = 18$ $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} = - 2$
$f (- 1, 5) = 2 \times 2, 25 + 7, 5 = 12$ $f (3) = 2 \times 3 - 53 = 6 - 53$
2°)
$f (- 1) = 2 + 5 = 7$ : oui, $- 1$ est un antécédent de $7$ .
$f (2) = 8 - 10 = - 2$ : non, l'image de $2$ est $- 2$ .

→ $(- 2)^{2} = 4$ et $- 5 \times (- 2) = + 10$ : les parenthèses autour des nombres négatifs évitent les erreurs de signe.

Exercice 3 — Calculer des antécédents

Pour chaque fonction, déterminer les antécédents du nombre indiqué.

a)
$f (x) = x - 7$ ; antécédents de $2$ .
b)
$g (x) = x^{2}$ ; antécédents de $49$ .
c)
$h (x) = 5 x + 3$ ; antécédents de $0$ .
d)
$k (x) = (x - 1) (x + 4)$ ; antécédents de $0$ .
e)
$m (x) = x^{2} + 3$ ; antécédents de $2$ .

Corrigé

On résout à chaque fois l'équation « $f (x) =$ nombre ».

a)
$x - 7 = 2$ , donc $x = 9$ .
b)
$x^{2} = 49$ : deux antécédents, $- 7$ et $7$ .
c)
$5 x + 3 = 0$ , soit $5 x = - 3$ , donc $x = - \frac{3}{5}$ .
d)
$(x - 1) (x + 4) = 0$ : un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul, donc $x = 1$ ou $x = - 4$ .
e)
$x^{2} + 3 = 2$ , soit $x^{2} = - 1$ : un carré n'est jamais négatif, $2$ n'a aucun antécédent.

Exercice 4 — Lire des images et des antécédents

La courbe $C_{g}$ d'une fonction $g$ définie sur $[- 3; 5]$ est tracée ci-dessous.

1)
Lire les images de $- 2$ ; $0$ ; $3$ ; $5$ .
2)
Lire les antécédents de $1$ ; $- 1$ ; $- 2$ ; $5$ .
3)
Combien de solutions l'équation $g (x) = 0$ a-t-elle ?
4)
Compléter : $g (\dots) = 4$ .

Corrigé

1°)
$g (- 2) = 1$ ; $g (0) = - 2$ ; $g (3) = 2$ ; $g (5) = - 1$
2°)
Antécédents de $1$ : $- 2$ ; $2$ et $4$ . Antécédents de $- 1$ : $- 1$ ; $1$ et $5$ . Antécédent de $- 2$ : $0$ (un seul). Antécédents de $5$ : aucun, la courbe ne monte pas au-dessus de $4$ .
3°)
L'axe des abscisses coupe la courbe en trois points : trois solutions (une entre $- 2$ et $- 1$ , une entre $1$ et $2$ , une entre $4$ et $5$ ).
4°)
$g (- 3) = 4$ .

→ Une image se lit sur l'axe des ordonnées ; un antécédent sur l'axe des abscisses.

Exercice 5 — Points d'une courbe

Soit $h$ la fonction définie sur $R$ par $h (x) = x^{2} + 2 x - 8$ , de courbe $C_{h}$ .

1)
Les points $A (1; - 5)$ et $B (- 2; 0)$ sont-ils sur $C_{h}$ ?
2)
Calculer les coordonnées du point où $C_{h}$ coupe l'axe des ordonnées.
3)
Développer $(x - 2) (x + 4)$ , puis en déduire les points où $C_{h}$ coupe l'axe des abscisses.

Corrigé

Avec $h (x) = x^{2} + 2 x - 8$ :

1°)
$h (1) = 1 + 2 - 8 = - 5$ : c'est l'ordonnée de $A$ , donc $A$ est sur $C_{h}$ .
$h (- 2) = 4 - 4 - 8 = - 8$ , et non $0$ : $B$ n'est pas sur $C_{h}$ .
2°)
Sur l'axe des ordonnées, $x = 0$ : $h (0) = - 8$ , le point est $(0; - 8)$ .
3°)
$(x - 2) (x + 4)$
$= x^{2} + 4 x - 2 x - 8$
$(x - 2) (x + 4)$
$= x^{2} + 2 x - 8$

donc $h (x) = (x - 2) (x + 4)$ . Sur l'axe des abscisses, $h (x) = 0$ : $x = 2$ ou $x = - 4$ . Les points sont $(2; 0)$ et $(- 4; 0)$ .

→ « Le point est sur la courbe » se vérifie par un calcul : ses coordonnées vérifient $y = h (x)$ .