Chapitre 2 — Fonctions · coursXI Prolongement : vers la dérivation

Sommaire du chapitre

I — Images et antécédents
- Méthode 1 — Calculer une image, chercher un antécédent
- Méthode 2 — Lire une image, des antécédents sur une courbe
II — Ensemble de définition
- Méthode 3 — Ensemble de définition d'un quotient
- Méthode 4 — Ensemble de définition avec une racine carrée
III — Comparaison de deux fonctions
- Méthode 5 — Comparer deux fonctions sur un graphique
- Méthode 6 — Position relative par le signe de $f (x) - g (x)$
IV — Sens de variation
- Méthode 7 — Démontrer un sens de variation avec la définition
V — Fonction carré
- Méthode 8 — Comparer ou encadrer des carrés
VI — Fonction cube
- Méthode 9 — Résoudre $x^{3} = k$ , comparer, encadrer des cubes
VII — Fonction inverse
- Méthode 10 — Résoudre $\frac{1}{x} = k$ , comparer, encadrer des inverses
VIII — Fonction racine carrée
- Méthode 11 — Résoudre une équation avec une racine carrée
IX — Fonction valeur absolue
- Méthode 12 — Étudier $x \mapsto ∣ x - k ∣$ et résoudre $∣ x - k ∣ = r$
X — Fonctions affines
- Méthode 13 — Équation réduite d'une droite passant par deux points
XI — Prolongement : vers la dérivation
- Méthode 14 — Calculer un taux de variation

Définition 11 — Taux de variation

Soient $a$ et $b$ deux nombres distincts où $f$ est définie. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est

T = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} .

C'est le coefficient directeur de la droite $(A B)$ , avec $A (a; f (a))$ et $B (b; f (b))$ : cette droite, qui coupe la courbe en $A$ et en $B$ , est une sécante.

Propriété 7 — Taux de variation et sens de variation

Si, entre deux nombres distincts quelconques d'un intervalle $I$ , le taux de variation de $f$ est toujours positif, $f$ est croissante sur $I$ ; s'il est toujours négatif, $f$ est décroissante sur $I$ .

En effet, $T > 0$ signifie que $f (b) - f (a)$ et $b - a$ ont le même signe : si $a < b$ , alors $f (a) < f (b)$ .

Méthode 14 — Calculer un taux de variation

Exemples corrigés

a)
$f (x) = x^{2} - x$ : calculer le taux de variation de $f$ entre $1$ et $3$ .
b)
Calculer le taux de variation de la fonction carré entre deux nombres distincts $a$ et $b$ , puis en déduire ses variations.

Correction

f (1) = 0

f (3) = 6

on calcule d'abord

f (a)

f (b)

T

= \frac{6 - 0}{3 - 1}

T = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}

T

= 3

T

= \frac{b ^{2} - a ^{2}}{b - a}

avec des lettres

T

= \frac{( b - a ) ( b + a )}{b - a}

b^{2} - a^{2} = (b - a) (b + a)

T

= a + b

on simplifie par

b - a \neq = 0

Sur

[0; + \infty [

T = a + b > 0

: la fonction carré est croissante.

taux toujours positif : croissante

Sur

] - \infty; 0]

T = a + b < 0

: elle est décroissante.

taux toujours négatif : décroissante ; on retrouve la partie V

À vous de jouer

1°)
$g (x) = 2 x^{2}$ : taux de variation entre $- 1$ et $2$ .
2°)
$h (x) = \frac{1}{x}$ : taux de variation entre $1$ et $4$ .

Correction

1°)

g (- 1) = 2 \times (- 1)^{2} = 2

g (2) = 2 \times 2^{2} = 8

on calcule d'abord les deux images

T

= \frac{8 - 2}{2 - ( - 1 )}

T = \frac{g ( b ) - g ( a )}{b - a}

T

= \frac{6}{3}

T

= 2

2°)

h (1) = 1

h (4) = \frac{1}{4}

T

= \frac{\frac{1}{4} - 1}{4 - 1}

T

= - \frac{3}{4} \times \frac{1}{3}

\frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4}

; diviser par

3

, c'est multiplier par

\frac{1}{3}

T

= - \frac{3}{4 \times 3}

T

= - \frac{1}{4}

À faire : exercices 36 à 38

Exercice 36 — Calculer des taux de variation

1)
$f (x) = x^{2} + 2 x$ : taux de variation de $f$ entre $0$ et $3$ , puis entre $- 4$ et $- 1$ .
2)
$g (x) = - 2 x + 7$ : taux de variation de $g$ entre $- 1$ et $4$ , puis entre $2$ et $10$ . Que remarque-t-on ?
3)
Démontrer que, pour $x \mapsto m x + p$ , le taux de variation entre deux nombres distincts vaut toujours $m$ . Interpréter sur la droite.

Corrigé

1°)
$f (0) = 0$ et $f (3) = 15$ :

$T$
$= \frac{15 - 0}{3 - 0}$
$T$
$= 5$

$f (- 4) = 8$ et $f (- 1) = - 1$ :

$T$
$= \frac{- 1 - 8}{- 1 - ( - 4 )}$
$T$
$= - 3$
2°)
$g (- 1) = 9$ et $g (4) = - 1$ , donc $T = \frac{- 10}{5}$ , soit $- 2$ . $g (2) = 3$ et $g (10) = - 13$ , donc $T = \frac{- 16}{8}$ , soit $- 2$ . On trouve le même nombre, le coefficient directeur de la droite.
3°)
$T$
$= \frac{( mb + p ) - ( ma + p )}{b - a}$
$T$
$= \frac{m ( b - a )}{b - a}$
$T$
$= m$

La courbe d'une fonction affine est une droite : toute sécante est cette droite elle-même, de coefficient directeur $m$ .

Exercice 37 — Taux et sens de variation

1)
Soit $g (x) = x^{2} - 4 x$ . Démontrer que, pour $a \neq = b$ , le taux de variation de $g$ entre $a$ et $b$ vaut $a + b - 4$ . En déduire le sens de variation de $g$ sur $[2; + \infty [$ , puis sur $] - \infty; 2]$ .
2)
Soit $h (x) = \frac{1}{x}$ . Démontrer que, pour $a$ et $b$ non nuls et distincts, le taux de variation de $h$ entre $a$ et $b$ vaut $- \frac{1}{ab}$ . En déduire le sens de variation de $h$ sur $] 0; + \infty [$ .

Corrigé

1°)
$T$
$= \frac{( b ^{2} - 4 b ) - ( a ^{2} - 4 a )}{b - a}$
$T$
$= \frac{( b - a ) ( b + a ) - 4 ( b - a )}{b - a}$
$T$
$= a + b - 4$
on simplifie par $b - a \neq = 0$

Sur $[2; + \infty [$ : $a ⩾ 2$ et $b ⩾ 2$ , distincts, donc $a + b > 4$ et $T > 0$ : $g$ est croissante. Sur $] - \infty; 2]$ : $a + b < 4$ , $T < 0$ : $g$ est décroissante.
2°)
$T$
$= \frac{\frac{1}{b} - \frac{1}{a}}{b - a}$
$T$
$= \frac{a - b}{ab} \times \frac{1}{b - a}$
$T$
$= - \frac{1}{ab}$
$a - b = - (b - a)$

Sur $] 0; + \infty [$ : $ab > 0$ , donc $T < 0$ : $h$ est décroissante.

Exercice 38 — Vitesse moyenne d'une chute

On lâche une bille du haut d'une tour. Au bout de $t$ secondes, elle a parcouru $d (t) = 5 t^{2}$ mètres. Sa vitesse moyenne entre deux instants est le taux de variation de $d$ entre ces instants.

1)
Calculer la vitesse moyenne entre $1$ et $3$ secondes.
2)
Même question entre $2$ et $2, 5$ s, puis entre $2$ et $2, 1$ s.
3)
Quelle semble être la vitesse de la bille à l'instant $t = 2$ ?

Corrigé

1°)
$d (1) = 5$ et $d (3) = 45$ : $\frac{45 - 5}{3 - 1} = 20$ m/s.
2°)
$d (2) = 20$ et $d (2, 5) = 31, 25$ : $\frac{11 , 25}{0 , 5} = 22, 5$ m/s.
$d (2, 1) = 22, 05$ : $\frac{2 , 05}{0 , 1} = 20, 5$ m/s.
3°)
Quand le second instant se rapproche de $2$ , la vitesse moyenne se rapproche de $20$ m/s : c'est la vitesse de la bille à l'instant $t = 2$ , le futur nombre dérivé de $d$ en $2$ .