Chapitre 2 — Fonctions · coursVII Fonction inverse

Sommaire du chapitre

I — Images et antécédents
- Méthode 1 — Calculer une image, chercher un antécédent
- Méthode 2 — Lire une image, des antécédents sur une courbe
II — Ensemble de définition
- Méthode 3 — Ensemble de définition d'un quotient
- Méthode 4 — Ensemble de définition avec une racine carrée
III — Comparaison de deux fonctions
- Méthode 5 — Comparer deux fonctions sur un graphique
- Méthode 6 — Position relative par le signe de $f (x) - g (x)$
IV — Sens de variation
- Méthode 7 — Démontrer un sens de variation avec la définition
V — Fonction carré
- Méthode 8 — Comparer ou encadrer des carrés
VI — Fonction cube
- Méthode 9 — Résoudre $x^{3} = k$ , comparer, encadrer des cubes
VII — Fonction inverse
- Méthode 10 — Résoudre $\frac{1}{x} = k$ , comparer, encadrer des inverses
VIII — Fonction racine carrée
- Méthode 11 — Résoudre une équation avec une racine carrée
IX — Fonction valeur absolue
- Méthode 12 — Étudier $x \mapsto ∣ x - k ∣$ et résoudre $∣ x - k ∣ = r$
X — Fonctions affines
- Méthode 13 — Équation réduite d'une droite passant par deux points
XI — Prolongement : vers la dérivation
- Méthode 14 — Calculer un taux de variation

Définition 7 — Fonction inverse

La fonction inverse est la fonction $x ⟼ \frac{1}{x}$ , définie sur $R^{*}$ ( $0$ est une valeur interdite).

Elle est strictement décroissante sur $] - \infty; 0 [$ , et strictement décroissante sur $] 0; + \infty [$ . La double barre rappelle que $0$ n'a pas d'image.

Sa courbe est une hyperbole, symétrique par rapport à l'origine : la fonction inverse est impaire.

Méthode 10 — Résoudre $\frac{1}{x} = k$ , comparer, encadrer des inverses

Exemples corrigés

a)
Résoudre $\frac{1}{x} = 5$ , puis $\frac{2}{x} = 8$ .
b)
Encadrer $\frac{1}{x}$ sachant que $2 ⩽ x ⩽ 4$ , puis sachant que $- 5 ⩽ x ⩽ - 1$ .
c)
Comparer sans calculatrice $\frac{1}{0 , 3}$ et $\frac{1}{0 , 6}$ .

Correction

Pour

x \neq = 0

x = \frac{1}{5}

, donc

S = {\frac{1}{5}}

\frac{1}{x} = k

donne

x = \frac{1}{k}

; contrôle :

1 \div \frac{1}{5} = 5

Pour

x \neq = 0

\frac{2}{x} = 8

donne

2 = 8 x

, soit

x = \frac{1}{4}

S = {\frac{1}{4}}

on multiplie par

x

; contrôle :

2 \div \frac{1}{4} = 8

2 ⩽ x ⩽ 4

donne

\frac{1}{4} ⩽ \frac{1}{x} ⩽ \frac{1}{2}

nombres de même signe (positifs) : la fonction inverse inverse l'ordre

- 5 ⩽ x ⩽ - 1

donne

\frac{1}{- 1} ⩽ \frac{1}{x} ⩽ \frac{1}{- 5}

, soit

- 1 ⩽ \frac{1}{x} ⩽ - \frac{1}{5}

nombres négatifs : l'ordre s'inverse aussi

0 < 0, 3 < 0, 6

, donc

\frac{1}{0 , 3} > \frac{1}{0 , 6}

nombres positifs : la fonction inverse inverse l'ordre

À vous de jouer

1°)
Résoudre $\frac{1}{x} = - 4$ , puis $\frac{3}{x} = 6$ .
2°)
Encadrer $\frac{1}{x}$ sachant que $1 ⩽ x ⩽ 5$ , puis $- 4 ⩽ x ⩽ - 2$ .
3°)
Comparer sans calculatrice $\frac{1}{0 , 7}$ et $\frac{1}{0 , 9}$ .

Correction

1°)

Pour

x \neq = 0

x = \frac{1}{- 4}

, donc

S = {- \frac{1}{4}}

\frac{1}{x} = k

donne

x = \frac{1}{k}

\frac{3}{x} = 6

donne

3 = 6 x

, soit

x = \frac{1}{2}

S = {\frac{1}{2}}

on multiplie par

x \neq = 0

; contrôle :

3 \div \frac{1}{2} = 6

2°)

1 ⩽ x ⩽ 5

donne

\frac{1}{5} ⩽ \frac{1}{x} ⩽ 1

nombres positifs : la fonction inverse inverse l'ordre

- 4 ⩽ x ⩽ - 2

donne

\frac{1}{- 2} ⩽ \frac{1}{x} ⩽ \frac{1}{- 4}

, soit

- \frac{1}{2} ⩽ \frac{1}{x} ⩽ - \frac{1}{4}

nombres négatifs : l'ordre s'inverse aussi

3°)

0 < 0, 7 < 0, 9

, donc

\frac{1}{0 , 7} > \frac{1}{0 , 9}

nombres positifs : l'ordre s'inverse

À faire : exercices 24 à 26

Exercice 24 — Variations de la fonction inverse

1)
Soient $0 < a < b$ . Justifier que $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab}$ , puis que ce nombre est positif. En déduire le sens de variation de la fonction inverse sur $] 0; + \infty [$ .
2)
Même travail pour $a < b < 0$ .
3)
Dresser le tableau de variations de la fonction inverse.
4)
Comparer $\frac{1}{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ . La fonction inverse est-elle décroissante sur $R^{*}$ ?

Corrigé

1°)
$\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$
$= \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab}$
$\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$
$= \frac{b - a}{ab}$

$b - a > 0$ (car $a < b$ ) et $ab > 0$ (deux positifs) : $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} > 0$ , donc $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ . La fonction inverse est décroissante sur $] 0; + \infty [$ .
2°)
Si $a < b < 0$ : le calcul est le même, $b - a > 0$ , et $ab > 0$ comme produit de deux négatifs. Elle est décroissante sur $] - \infty; 0 [$ .
3°)
La double barre : $0$ n'a pas d'image.
4°)
$\frac{1}{- 2} = - \frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2}$ : $- 2 < 2$ et $- \frac{1}{2} < \frac{1}{2}$ , l'ordre est conservé. La fonction inverse n'est pas décroissante sur $R^{*}$ : elle l'est sur chacun des deux intervalles, séparément.

Exercice 25 — Équations et encadrements

1)
Résoudre :

a) $\frac{1}{x} = 8$ b) $\frac{1}{x} = - \frac{2}{3}$

c) $\frac{4}{x} = 6$ d) $\frac{5}{x} = \frac{x}{5}$
2)
Encadrer $\frac{1}{x}$ sachant que $2 ⩽ x ⩽ 8$ ; puis $- 10 ⩽ x ⩽ - 5$ .
3)
Comparer sans calculatrice $\frac{1}{0 , 3}$ et $\frac{1}{0 , 4}$ .

Corrigé

1°)
Pour $x \neq = 0$ :
1. a)
  $x = \frac{1}{8}$ : $S = {\frac{1}{8}}$ .
2. b)
  $x = - \frac{3}{2}$ (l'inverse de $- \frac{2}{3}$ ) : $S = {- \frac{3}{2}}$ .
3. c)
  $4 = 6 x$ , soit $x = \frac{2}{3}$ : $S = {\frac{2}{3}}$ .
4. d)
  Produit en croix : $x^{2} = 25$ , soit $S = {- 5; 5}$ .
2°)
Sur $[2; 8]$ (positifs, ordre inversé) : $\frac{1}{8} ⩽ \frac{1}{x} ⩽ \frac{1}{2}$ .
Sur $[- 10; - 5]$ (négatifs, ordre inversé) : $- \frac{1}{5} ⩽ \frac{1}{x} ⩽ - \frac{1}{10}$ .
3°)
$0 < 0, 3 < 0, 4$ et la fonction inverse est décroissante sur $] 0; + \infty [$ : $\frac{1}{0 , 3} > \frac{1}{0 , 4}$ .

Exercice 26 — Équations et inéquations quotient

1)
Résoudre $\frac{x + 3}{x - 2} = \frac{3}{2}$ , après avoir donné la valeur interdite.
2)
Résoudre en se ramenant à un quotient comparé à $0$ , puis avec un tableau de signes :

a) $\frac{1}{x} - 3 ⩽ 0$ b) $\frac{4}{x - 1} ⩾ 2$

Corrigé

1°)
Valeur interdite : $2$ . Produit en croix, pour $x \neq = 2$ :

$2 (x + 3)$
$= 3 (x - 2)$
$2 x + 6$
$= 3 x - 6$
$x$
$= 12$

$12 \neq = 2$ : $S = {12}$ .
2°)
1. a)
  Valeur interdite : $0$ .
  
  $\frac{1}{x} - 3$
  $= \frac{1 - 3 x}{x}$
  
  On cherche où $\frac{1 - 3 x}{x} ⩽ 0$ :
  $S =] - \infty; 0 [\cup [\frac{1}{3}; + \infty [$ .
2. b)
  Valeur interdite : $1$ .
  
  $\frac{4}{x - 1} - 2$
  $= \frac{4 - 2 ( x - 1 )}{x - 1}$
  $\frac{4}{x - 1} - 2$
  $= \frac{6 - 2 x}{x - 1}$
  
  On cherche où $\frac{6 - 2 x}{x - 1} ⩾ 0$ : $S =] 1; 3]$ .

→ On ne multiplie jamais une inéquation par $x$ ou par $x - 1$ , dont le signe est inconnu : on se ramène à un quotient comparé à $0$ . La valeur interdite est toujours exclue.

Chapitre 2 — Fonctions · coursVII Fonction inverse

Définition 7 — Fonction inverse

Méthode 10 — Résoudre x1​=k, comparer, encadrer des inverses

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 24 — Variations de la fonction inverse

Exercice 25 — Équations et encadrements

Exercice 26 — Équations et inéquations quotient

Méthode 10 — Résoudre $\frac{1}{x} = k$ , comparer, encadrer des inverses