Chapitre 2 — Fonctions · coursVI Fonction cube

Sommaire du chapitre

I — Images et antécédents
- Méthode 1 — Calculer une image, chercher un antécédent
- Méthode 2 — Lire une image, des antécédents sur une courbe
II — Ensemble de définition
- Méthode 3 — Ensemble de définition d'un quotient
- Méthode 4 — Ensemble de définition avec une racine carrée
III — Comparaison de deux fonctions
- Méthode 5 — Comparer deux fonctions sur un graphique
- Méthode 6 — Position relative par le signe de $f (x) - g (x)$
IV — Sens de variation
- Méthode 7 — Démontrer un sens de variation avec la définition
V — Fonction carré
- Méthode 8 — Comparer ou encadrer des carrés
VI — Fonction cube
- Méthode 9 — Résoudre $x^{3} = k$ , comparer, encadrer des cubes
VII — Fonction inverse
- Méthode 10 — Résoudre $\frac{1}{x} = k$ , comparer, encadrer des inverses
VIII — Fonction racine carrée
- Méthode 11 — Résoudre une équation avec une racine carrée
IX — Fonction valeur absolue
- Méthode 12 — Étudier $x \mapsto ∣ x - k ∣$ et résoudre $∣ x - k ∣ = r$
X — Fonctions affines
- Méthode 13 — Équation réduite d'une droite passant par deux points
XI — Prolongement : vers la dérivation
- Méthode 14 — Calculer un taux de variation

Définition 6 — Fonction cube

La fonction cube est la fonction $x ⟼ x^{3}$ , définie sur $R$ .

Elle est strictement croissante sur $R$ : elle conserve toujours l'ordre.

Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$ , car $(- x)^{3} = - x^{3}$ : on dit que la fonction cube est impaire.

Équation $x^{3} = k$ : elle a toujours une seule solution, la racine cubique de $k$ , notée $3 k$ : le nombre dont le cube vaut $k$ . Exemples : $327 = 3$ ; $3 - 8 = - 2$ .

Méthode 9 — Résoudre $x^{3} = k$ , comparer, encadrer des cubes

Exemples corrigés

a)
Résoudre $x^{3} = - 8$ , puis $2 x^{3} + 3 = 57$ .
b)
Encadrer $x^{3}$ sachant que $- 1 ⩽ x ⩽ 2$ .
c)
Comparer sans calculatrice $(- 2, 5)^{3}$ et $(- 2, 4)^{3}$ .

Correction

x = 3 - 8

, soit

x = - 2

S = {- 2}

une seule solution, la racine cubique de

- 8

; contrôle :

(- 2)^{3} = - 8

2 x^{3} + 3

= 57

2 x^{3}

= 54

on isole

x^{3}

: on retire

3

x^{3}

= 27

on divise par

2

x = 327

, soit

x = 3

S = {3}

racine cubique : le nombre dont le cube vaut

27

(- 1)^{3} ⩽ x^{3} ⩽ 2^{3}

, soit

- 1 ⩽ x^{3} ⩽ 8

la fonction cube conserve l'ordre, même si l'intervalle contient

0

- 2, 5 < - 2, 4

, donc

(- 2, 5)^{3} < (- 2, 4)^{3}

la fonction cube est croissante sur

R

: elle conserve l'ordre

À vous de jouer

1°)
Résoudre $x^{3} = 64$ , puis $x^{3} + 125 = 0$ .
2°)
Encadrer $x^{3}$ sachant que $- 3 ⩽ x ⩽ 1$ .
3°)
Comparer sans calculatrice $(- 1, 3)^{3}$ et $(- 1, 1)^{3}$ .

Correction

1°)

x = 364

, soit

x = 4

S = {4}

contrôle :

4^{3} = 64

x^{3} = - 125

, donc

x = 3 - 125

, soit

x = - 5

S = {- 5}

on isole

x^{3}

; contrôle :

(- 5)^{3} = - 125

2°)

(- 3)^{3} ⩽ x^{3} ⩽ 1^{3}

, soit

- 27 ⩽ x^{3} ⩽ 1

la fonction cube conserve l'ordre, même si l'intervalle contient

0

3°)

- 1, 3 < - 1, 1

, donc

(- 1, 3)^{3} < (- 1, 1)^{3}

la fonction cube est croissante sur

R

À faire : exercices 21 à 23

Exercice 21 — Variations de la fonction cube

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ .

1)
Développer $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ et vérifier que l'on obtient $a^{3} - b^{3}$ .
2)
On suppose $a < b ⩽ 0$ . Justifier que $a^{2} + ab + b^{2} > 0$ , puis en déduire le signe de $a^{3} - b^{3}$ et le sens de variation de la fonction cube sur $] - \infty; 0]$ .
3)
Même travail pour $0 ⩽ a < b$ . Conclure sur $R$ .

Corrigé

1°)
$(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
$= a^{3} + a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3}$
$(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
$= a^{3} - b^{3}$
les termes $a^{2} b$ et $a b^{2}$ s'annulent
2°)
Si $a < b ⩽ 0$ : $a^{2} > 0$ (car $a < 0$ ), $b^{2} ⩾ 0$ , et $ab ⩾ 0$ (produit de deux nombres négatifs). Donc $a^{2} + ab + b^{2} > 0$ .
Comme $a - b < 0$ , le produit $a^{3} - b^{3}$ est négatif : $a^{3} < b^{3}$ . La fonction cube est croissante sur $] - \infty; 0]$ .
3°)
Si $0 ⩽ a < b$ : $a^{2} ⩾ 0$ , $b^{2} > 0$ et $ab ⩾ 0$ , donc $a^{2} + ab + b^{2} > 0$ , et de nouveau $a^{3} < b^{3}$ : elle est croissante sur $[0; + \infty [$ .
Enfin, si $a < 0 < b$ , alors $a^{3} < 0 < b^{3}$ . La fonction cube est croissante sur $R$ .

→ C'est la différence avec la fonction carré, qui change de sens en $0$ .

Exercice 22 — Calculs et équations

1)
Calculer le cube de $3$ ; de $- 2$ ; de $\frac{1}{3}$ ; de $- 0, 2$ .
2)
Résoudre dans $R$ :

a) $x^{3} = - 125$ b) $x^{3} = 1$

c) $3 x^{3} + 24 = 0$ d) $x^{3} = 4 x$

Corrigé

1°)
$3^{3} = 27$ ; $(- 2)^{3} = - 8$ ; $(\frac{1}{3})^{3} = \frac{1}{27}$ ; $(- 0, 2)^{3} = - 0, 008$
2°)
L'équation $x^{3} = k$ a une seule solution, la racine cubique $3 k$ .
1. a)
  $x = 3 - 125$ , soit $x = - 5$ : $S = {- 5}$ .
2. b)
  $x = 31$ , soit $x = 1$ : $S = {1}$ .
3. c)
  $3 x^{3} = - 24$ , soit $x^{3} = - 8$ , donc $x = 3 - 8$ : $S = {- 2}$ .
4. d)
  $x^{3} - 4 x = 0$ , soit $x (x^{2} - 4) = 0$ , ou $x (x - 2) (x + 2) = 0$ : $S = {- 2; 0; 2}$ .

→ En d), « diviser par $x$ » ferait perdre la solution $0$ : on factorise et l'on utilise le produit nul.

Exercice 23 — Encadrer des cubes

1)
Encadrer $x^{3}$ sachant que $- 3 ⩽ x ⩽ 2$ .
2)
Comparer sans calculatrice $(- 2, 1)^{3}$ et $(- 1, 9)^{3}$ .
3)
Une boîte cubique a une arête de $x$ cm. Son arête est comprise entre $2$ et $3$ cm : encadrer son volume. Quelle arête donne un volume de $64$ cm $^{3}$ ?

Corrigé

1°)
La fonction cube conserve l'ordre : $(- 3)^{3} ⩽ x^{3} ⩽ 2^{3}$ , soit $- 27 ⩽ x^{3} ⩽ 8$ .
2°)
$- 2, 1 < - 1, 9$ et la fonction cube est croissante : $(- 2, 1)^{3} < (- 1, 9)^{3}$ .
3°)
Le volume est $V = x^{3}$ : $2 ⩽ x ⩽ 3$ donne $8 ⩽ V ⩽ 27$ (en cm $^{3}$ ). $x^{3} = 64$ pour $x = 364$ , soit $4$ : une arête de $4$ cm.

Chapitre 2 — Fonctions · coursVI Fonction cube

Définition 6 — Fonction cube

Méthode 9 — Résoudre x3=k, comparer, encadrer des cubes

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 21 — Variations de la fonction cube

Exercice 22 — Calculs et équations

Exercice 23 — Encadrer des cubes

Méthode 9 — Résoudre $x^{3} = k$ , comparer, encadrer des cubes