Chapitre 2 — Fonctions · coursIX Fonction valeur absolue

Sommaire du chapitre

I — Images et antécédents
- Méthode 1 — Calculer une image, chercher un antécédent
- Méthode 2 — Lire une image, des antécédents sur une courbe
II — Ensemble de définition
- Méthode 3 — Ensemble de définition d'un quotient
- Méthode 4 — Ensemble de définition avec une racine carrée
III — Comparaison de deux fonctions
- Méthode 5 — Comparer deux fonctions sur un graphique
- Méthode 6 — Position relative par le signe de $f (x) - g (x)$
IV — Sens de variation
- Méthode 7 — Démontrer un sens de variation avec la définition
V — Fonction carré
- Méthode 8 — Comparer ou encadrer des carrés
VI — Fonction cube
- Méthode 9 — Résoudre $x^{3} = k$ , comparer, encadrer des cubes
VII — Fonction inverse
- Méthode 10 — Résoudre $\frac{1}{x} = k$ , comparer, encadrer des inverses
VIII — Fonction racine carrée
- Méthode 11 — Résoudre une équation avec une racine carrée
IX — Fonction valeur absolue
- Méthode 12 — Étudier $x \mapsto ∣ x - k ∣$ et résoudre $∣ x - k ∣ = r$
X — Fonctions affines
- Méthode 13 — Équation réduite d'une droite passant par deux points
XI — Prolongement : vers la dérivation
- Méthode 14 — Calculer un taux de variation

Définition 9 — Valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre $x$ , notée $∣ x ∣$ , est sa distance à $0$ :

∣ x ∣ = x si x ⩾ 0

et

∣ x ∣ = - x si x < 0.

Exemples : $∣6∣ = 6$ ; $∣ - 6∣ = 6$ ; $∣0∣ = 0$ . Une valeur absolue est toujours positive.

Propriété 4 — Valeur absolue et distance

La distance entre deux nombres $a$ et $b$ est $∣ b - a ∣$ .
Exemple : entre $- 3$ et $5$ , la distance est $∣5 - (- 3) ∣ = 8$ .
Pour tout réel $a$ , $a^{2} = ∣ a ∣$ .
Si $r > 0$ , $∣ A ∣ = r$ équivaut à $A = r$ ou $A = - r$ . Si $r < 0$ , $∣ A ∣ = r$ n'a pas de solution.

Propriété 5 — Fonction valeur absolue

La fonction $x ⟼ ∣ x ∣$ est définie sur $R$ . Elle est strictement décroissante sur $] - \infty; 0]$ et strictement croissante sur $[0; + \infty [$ .

Sa courbe est un « V » formé de deux demi-droites, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : la fonction est paire.

Méthode 12 — Étudier $x \mapsto ∣ x - k ∣$ et résoudre $∣ x - k ∣ = r$

Exemples corrigés

Soit $f (x) = ∣ x + 1∣$ .

a)
Dresser un tableau de valeurs de $f$ pour $x$ entier de $- 5$ à $3$ .
b)
Tracer la courbe $C_{f}$ de $f$ .
c)
Dresser le tableau de variations de $f$ .
d)
Comment $C_{f}$ se déduit-elle de la courbe de la fonction valeur absolue ?
e)
Résoudre $f (x) = 4$ , puis $f (x) = - 2$ .
f)
Vérifier graphiquement.

Correction

$x$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$4$	$3$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$

On place les points du tableau, puis on les relie : deux demi-droites en « V ».

figure ci-contre

Le minimum de

f

est

0

, atteint en

- 1

décroissante avant le sommet, croissante après

C_{f}

est le « V » de la valeur absolue décalé de

1

unité vers la gauche, de sommet

(- 1; 0)

le sommet est là où

x + 1 = 0

∣ x + 1∣

= 4

on recopie l'équation

x + 1

= 4 ou x + 1 = - 4

∣ A ∣ = 4

A = 4

A = - 4

x

= 3 ou x = - 5

S = {- 5; 3}

les deux nombres à distance

4

- 1

∣ x + 1∣ = - 2

n'a pas de solution :

S = \emptyset

une valeur absolue est positive

La droite d'équation

y = 4

coupe

C_{f}

en deux points, d'abscisses

- 5

3

on retrouve

S = {- 5; 3}

C_{f}

n'a aucun point sous l'axe des abscisses, donc aucun point d'ordonnée

- 2

on retrouve

S = \emptyset

À vous de jouer

Soit $g (x) = ∣ x - 4∣$ .

1°)
Dresser un tableau de valeurs de $g$ pour $x$ entier de $0$ à $8$ .
2°)
Tracer la courbe $C_{g}$ de $g$ .
3°)
Dresser le tableau de variations de $g$ .
4°)
Comment $C_{g}$ se déduit-elle de la courbe de la fonction valeur absolue ?
5°)
Résoudre $g (x) = 2$ , puis $g (x) = - 1$ .
6°)
Vérifier graphiquement.

Correction

1°)

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$g (x)$	$4$	$3$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$

2°)

3°)

Le minimum de

g

est

0

, atteint en

4

décroissante avant le sommet, croissante après

4°)

C_{g}

est le « V » de la valeur absolue décalé de

4

unités vers la droite, de sommet

(4; 0)

le sommet est là où

x - 4 = 0

5°)

∣ x - 4∣

= 2

on recopie l'équation

x - 4

= 2 ou x - 4 = - 2

∣ A ∣ = 2

A = 2

A = - 2

x

= 6 ou x = 2

S = {2; 6}

les deux nombres à distance

2

4

∣ x - 4∣ = - 1

n'a pas de solution :

S = \emptyset

une valeur absolue est positive

6°)

La droite d'équation

y = 2

coupe

C_{g}

en deux points, d'abscisses

2

6

on retrouve

S = {2; 6}

C_{g}

n'a aucun point sous l'axe des abscisses, donc aucun point d'ordonnée

- 1

on retrouve

S = \emptyset

À faire : exercices 30 à 32

Exercice 30 — Étude de $x \mapsto ∣ x + 3∣$

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = ∣ x + 3∣$ .

1)
Dresser un tableau de valeurs de $f$ pour $x$ entier de $- 6$ à $0$ .
2)
Tracer la courbe $C_{f}$ de $f$ .
3)
Dresser le tableau de variations de $f$ ; donner son minimum.
4)
Comment $C_{f}$ se déduit-elle de la courbe de la fonction valeur absolue ?
5)
Résoudre $f (x) = 2$ , puis $f (x) = - 5$ .
6)
Vérifier graphiquement.

Corrigé

1°)
$x$ $- 6$ $- 5$ $- 4$ $- 3$ $- 2$ $- 1$ $0$
$f (x)$ $3$ $2$ $1$ $0$ $1$ $2$ $3$
2°)
On place les points du tableau et on les relie : deux demi-droites en « V » (figure ci-contre).
3°)

Le minimum de $f$ est $0$ , atteint en $- 3$ .
4°)
C'est le « V » de la valeur absolue, décalé de $3$ unités vers la gauche, de sommet $(- 3; 0)$ .
5°)
$x + 3 = 2$ ou $x + 3 = - 2$ , soit $x = - 1$ ou $x = - 5$ : $S = {- 5; - 1}$ .
Une valeur absolue est positive : $f (x) = - 5$ n'a pas de solution, $S = \emptyset$ .
6°)
La droite d'équation $y = 2$ coupe $C_{f}$ en deux points, d'abscisses $- 5$ et $- 1$ ; $C_{f}$ n'a aucun point sous l'axe des abscisses, donc aucun d'ordonnée $- 5$ .

Exercice 31 — Calculs et distances

1)
Calculer :

a) $∣ - 12∣$ b) $∣3 - 10∣$ c) $∣ - 4∣ \times ∣ - 5∣$

d) $∣ 2 - 2∣$ e) $∣ - 6∣ - ∣2∣$
2)
Calculer $(- 8)^{2}$ et $(- 0, 5)^{2}$ . Que vaut $a^{2}$ pour un réel $a$ quelconque ?
3)
Calculer la distance entre $- 6$ et $3$ ; entre $7$ et $- 1$ .

Corrigé

1°)
a) $12$ b) $∣ - 7∣ = 7$ c) $4 \times 5 = 20$ d) $2 ≃ 1, 41 < 2$ , donc $∣ 2 - 2∣ = 2 - 2$ e) $6 - 2 = 4$
2°)
$(- 8)^{2} = 64 = 8$ ; $(- 0, 5)^{2} = 0, 25 = 0, 5$ . En général, $a^{2} = ∣ a ∣$ , et non $a$ , qui est faux pour $a < 0$ .
3°)
Distance entre $- 6$ et $3$ : $∣3 - (- 6) ∣ = 9$ . Entre $7$ et $- 1$ : $∣ - 1 - 7∣ = 8$ .

→ En d), on cherche d'abord le signe de $2 - 2$ : $∣ A ∣ = - A$ lorsque $A < 0$ .

Exercice 32 — Équations avec des valeurs absolues

Résoudre dans $R$ :

∣ x ∣ = 9

∣ x ∣ = - 3

∣ x + 2∣ = 6

∣3 x - 1∣ = 8

Corrigé

a)
$x = 9$ ou $x = - 9$ : $S = {- 9; 9}$ .
b)
Une valeur absolue est positive : $S = \emptyset$ .
c)
$x + 2 = 6$ ou $x + 2 = - 6$ , soit $x = 4$ ou $x = - 8$ : $S = {- 8; 4}$ .
d)
$3 x - 1 = 8$ ou $3 x - 1 = - 8$ , soit $x = 3$ ou $x = - \frac{7}{3}$ : $S = {- \frac{7}{3}; 3}$ .

$x$	$- 6$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$
$f (x)$	$3$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Chapitre 2 — Fonctions · coursIX Fonction valeur absolue

Définition 9 — Valeur absolue

Propriété 4 — Valeur absolue et distance

Propriété 5 — Fonction valeur absolue

Méthode 12 — Étudier x↦∣x−k∣ et résoudre ∣x−k∣=r

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 30 — Étude de x↦∣x+3∣

Exercice 31 — Calculs et distances

Exercice 32 — Équations avec des valeurs absolues

Méthode 12 — Étudier $x \mapsto ∣ x - k ∣$ et résoudre $∣ x - k ∣ = r$

Exercice 30 — Étude de $x \mapsto ∣ x + 3∣$