Chapitre 2 — Fonctions · coursIV Sens de variation

Sommaire du chapitre

I — Images et antécédents
- Méthode 1 — Calculer une image, chercher un antécédent
- Méthode 2 — Lire une image, des antécédents sur une courbe
II — Ensemble de définition
- Méthode 3 — Ensemble de définition d'un quotient
- Méthode 4 — Ensemble de définition avec une racine carrée
III — Comparaison de deux fonctions
- Méthode 5 — Comparer deux fonctions sur un graphique
- Méthode 6 — Position relative par le signe de $f (x) - g (x)$
IV — Sens de variation
- Méthode 7 — Démontrer un sens de variation avec la définition
V — Fonction carré
- Méthode 8 — Comparer ou encadrer des carrés
VI — Fonction cube
- Méthode 9 — Résoudre $x^{3} = k$ , comparer, encadrer des cubes
VII — Fonction inverse
- Méthode 10 — Résoudre $\frac{1}{x} = k$ , comparer, encadrer des inverses
VIII — Fonction racine carrée
- Méthode 11 — Résoudre une équation avec une racine carrée
IX — Fonction valeur absolue
- Méthode 12 — Étudier $x \mapsto ∣ x - k ∣$ et résoudre $∣ x - k ∣ = r$
X — Fonctions affines
- Méthode 13 — Équation réduite d'une droite passant par deux points
XI — Prolongement : vers la dérivation
- Méthode 14 — Calculer un taux de variation

Définition 4 — Fonction croissante, décroissante

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

$f$ est croissante sur $I$ si, pour tous $a$ et $b$ de $I$ tels que $a < b$ , on a $f (a) ⩽ f (b)$ : $f$ conserve l'ordre.
$f$ est décroissante sur $I$ si, pour tous $a$ et $b$ de $I$ tels que $a < b$ , on a $f (a) ⩾ f (b)$ : $f$ inverse l'ordre.

Avec $f (a) < f (b)$ (ou $f (a) > f (b)$ ), on dit strictement croissante (ou décroissante).

Le maximum de $f$ sur $I$ est la plus grande valeur prise par $f (x)$ ; le minimum, la plus petite. Un tableau de variations résume tout cela.

Méthode 7 — Démontrer un sens de variation avec la définition

Exemples corrigés

Démontrer, avec la définition, le sens de variation de la fonction $f (x) = - 2 x + 5$ sur $R$ .

Correction

Résolution

Soient

a

b

deux réels tels que

a < b

on prend deux nombres quelconques, avec

a < b

f (a) - f (b)

= (- 2 a + 5) - (- 2 b + 5)

on calcule

f (a) - f (b)

; parenthèses autour de

f (b)

f (a) - f (b)

= - 2 a + 5 + 2 b - 5

f (a) - f (b)

= - 2 a + 2 b

f (a) - f (b)

= - 2 (a - b)

on factorise pour faire apparaître

a - b

a - b < 0

- 2 < 0

, donc

f (a) - f (b) > 0

, c'est-à-dire

f (a) > f (b)

a < b

donne

a - b < 0

; le produit de deux négatifs est positif

f

est strictement décroissante sur

R

a < b

entraîne

f (a) > f (b)

f

inverse l'ordre

À vous de jouer

1°)
Démontrer de la même façon le sens de variation de $g (x) = 4 x - 3$ sur $R$ .
2°)
Même travail pour $h (x) = - \frac{1}{3} x + 2$ .
3°)
Que peut-on conjecturer pour une fonction $x \mapsto m x + p$ , selon le signe de $m$ ?

Correction

1°)

Soient

a

b

deux réels tels que

a < b

deux nombres quelconques

g (a) - g (b)

= (4 a - 3) - (4 b - 3)

parenthèses autour de

g (b)

g (a) - g (b)

= 4 a - 4 b

g (a) - g (b)

= 4 (a - b)

on fait apparaître

a - b

a - b < 0

4 > 0

, donc

g (a) - g (b) < 0

, c'est-à-dire

g (a) < g (b)

un positif fois un négatif

g

est strictement croissante sur

R

a < b

entraîne

g (a) < g (b)

g

conserve l'ordre

2°)

h (a) - h (b)

= (- \frac{1}{3} a + 2) - (- \frac{1}{3} b + 2)

avec

a < b

h (a) - h (b)

= - \frac{1}{3} a + \frac{1}{3} b

h (a) - h (b)

= - \frac{1}{3} (a - b)

a - b < 0

- \frac{1}{3} < 0

, donc

h (a) - h (b) > 0

h (a) > h (b)

h

est strictement décroissante sur

R

deux négatifs : produit positif

3°)

Le même calcul donne

m x + p

f (a) - f (b) = m (a - b)

. On conjecture : croissante si

m > 0

, décroissante si

m < 0

, constante si

m = 0

le signe de

m (a - b)

ne dépend que de celui de

m

À faire : exercices 14 à 17

Exercice 14 — Lecture graphique complète

La courbe $C_{f}$ d'une fonction $f$ définie sur $[- 4; 6]$ est tracée ci-dessous, avec la droite $(D)$ d'équation $y = - x + 1$ .

1)
Lire les antécédents de $0$ ; $1$ ; $- 2$ ; $4$ .
2)
Donner le maximum et le minimum de $f$ sur $[- 4; 6]$ , et en quelles valeurs ils sont atteints.
3)
Dresser le tableau de variations de $f$ .
4)
Résoudre graphiquement $f (x) ⩾ 0$ , puis $f (x) < 1$ .
5)
Compléter : si $- 2 ⩽ x ⩽ 2$ , alors $\dots ⩽ f (x) ⩽ \dots$ ; si $2 ⩽ x ⩽ 5$ , alors $\dots ⩽ f (x) ⩽ \dots$
6)
Résoudre graphiquement $f (x) = - x + 1$ , puis $f (x) ⩽ - x + 1$ .

Corrigé

1°)
Antécédents de $0$ : $- 4$ ; $0$ et $4$ . Antécédents de $1$ : $- 3$ ; $- 1$ et $5$ . Antécédents de $- 2$ : $1$ et $3$ . Antécédents de $4$ : aucun, car le maximum de $f$ vaut $3$ .
2°)
Le maximum est $3$ , atteint en $6$ ; le minimum est $- 3$ , atteint en $2$ .
3°)
$f$ est croissante sur $[- 4; - 2]$ , décroissante sur $[- 2; 2]$ , croissante sur $[2; 6]$ .
4°)
$f (x) ⩾ 0$ : $C_{f}$ est sur ou au-dessus de l'axe des abscisses, $S = [- 4; 0] \cup [4; 6]$ .
$f (x) < 1$ : $C_{f}$ est strictement sous la droite $y = 1$ , $S = [- 4; - 3 [\cup] - 1; 5 [$ .
5°)
Si $- 2 ⩽ x ⩽ 2$ , alors $- 3$ $⩽ f (x) ⩽$ $2$ ; si $2 ⩽ x ⩽ 5$ , alors $- 3$ $⩽ f (x) ⩽$ $1$ .
6°)
$C_{f}$ et $(D)$ se coupent en un seul point, $(3; - 2)$ : $S = {3}$ .
$C_{f}$ est sur ou sous $(D)$ avant ce point : $S = [- 4; 3]$ .

→ En 5), on lit le tableau de variations : sur $[- 2; 2]$ , $f$ descend de $2$ à $- 3$ ; sur $[2; 5]$ , elle monte de $- 3$ à $f (5) = 1$ .

Exercice 15 — Du tableau de variations à la courbe

Voici le tableau de variations d'une fonction $g$ .

1)
Quel est l'ensemble de définition de $g$ ?
2)
Décrire les variations de $g$ par des phrases.
3)
Donner le maximum et le minimum de $g$ , et où ils sont atteints.
4)
Tracer une courbe qui peut représenter $g$ .

Corrigé

1°)
$[- 3; 4]$ : c'est la première ligne du tableau.
2°)
$g$ est croissante sur $[- 3; 0]$ (de $- 1$ à $3$ ), décroissante sur $[0; 2]$ (de $3$ à $- 2$ ), puis croissante sur $[2; 4]$ (de $- 2$ à $1$ ).
3°)
Le maximum est $3$ , atteint en $0$ ; le minimum est $- 2$ , atteint en $2$ .
4°)
Une courbe possible ci-contre : elle passe par $(- 3; - 1)$ , $(0; 3)$ , $(2; - 2)$ et $(4; 1)$ , et respecte les variations.

→ Un tableau de variations ne donne que l'allure de la courbe : il y a une infinité de courbes possibles.

Exercice 16 — Le bénéfice d'un atelier

Un atelier assemble et vend des trottinettes électriques. Pour $x$ dizaines de trottinettes vendues dans la semaine, avec $x \in [1; 11]$ , le bénéfice, en centaines d'euros, est $B (x) = - x^{2} + 12 x - 20$ .

1)
Calculer $B (x)$ pour $x$ entier de $1$ à $11$ .
2)
Tracer la courbe de $B$ (en abscisses $1$ cm pour une dizaine, en ordonnées $1$ cm pour $200$ €).
3)
Dresser le tableau de variations de $B$ .
4)
Quel est le bénéfice maximal ? Pour combien de trottinettes ?
5)
Pour quelles ventes l'atelier ne perd-il pas d'argent ( $B (x) ⩾ 0$ ) ?

Corrigé

Avec $B (x) = - x^{2} + 12 x - 20$ :

1°)
$x$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$ $11$
$B (x)$ $- 9$ $0$ $7$ $12$ $15$ $16$ $15$ $12$ $7$ $0$ $- 9$
2°)
La courbe est une parabole « tournée vers le bas », symétrique par rapport à la droite $x = 6$ (repère à unités différentes : grandeurs différentes sur les deux axes). $B$ est croissante sur $[1; 6]$ , décroissante sur $[6; 11]$ .
4°)
Le bénéfice maximal est $16$ centaines d'euros, soit $1600$ €, pour $x = 6$ , c'est-à-dire $60$ trottinettes.
5°)
$B (x) ⩾ 0$ pour $x \in [2; 10]$ (en rouge sur l'axe) : l'atelier ne perd pas d'argent lorsqu'il vend entre $20$ et $100$ trottinettes.

→ Attention aux unités : $x$ est en dizaines de trottinettes, $B$ en centaines d'euros.

Exercice 17 — Sens de variation par le calcul

Dans tout l'exercice, $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a < b$ .

1)
Soit $f (x) = 4 x - 7$ sur $R$ . Calculer et factoriser $f (a) - f (b)$ , en déduire son signe, puis le sens de variation de $f$ .
2)
Même travail avec $g (x) = - 3 x + 2$ .
3)
Que peut-on conclure pour une fonction affine $x \mapsto m x + p$ , selon le signe de $m$ ?
4)
Soit $u (x) = x^{2} + 4 x$ sur $[0; + \infty [$ . Démontrer que $u (a) - u (b) = (a - b) (a + b + 4)$ , puis conclure.
5)
Soit $v (x) = 1 - \frac{1}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ . Démontrer que $v (a) - v (b) = \frac{a - b}{ab}$ , puis conclure.

Corrigé

Dans tout l'exercice, $a < b$ , donc $a - b < 0$ .

1°)
$f (a) - f (b)$
$= (4 a - 7) - (4 b - 7)$
$f (a) - f (b)$
$= 4 a - 4 b$
$f (a) - f (b)$
$= 4 (a - b)$

$4 > 0$ et $a - b < 0$ : $f (a) - f (b) < 0$ , donc $f (a) < f (b)$ . $f$ est strictement croissante sur $R$ .
2°)
$g (a) - g (b)$
$= (- 3 a + 2) - (- 3 b + 2)$
$g (a) - g (b)$
$= - 3 a + 3 b$
$g (a) - g (b)$
$= - 3 (a - b)$

$- 3 < 0$ et $a - b < 0$ : $g (a) - g (b) > 0$ , donc $g (a) > g (b)$ . $g$ est strictement décroissante sur $R$ .
3°)
De même, $(ma + p) - (mb + p) = m (a - b)$ , de signe contraire à celui de $m$ : croissante si $m > 0$ , décroissante si $m < 0$ , constante si $m = 0$ .
4°)
$u (a) - u (b)$
$= a^{2} + 4 a - b^{2} - 4 b$
$u (a) - u (b)$
$= (a^{2} - b^{2}) + 4 (a - b)$
$u (a) - u (b)$
$= (a - b) (a + b) + 4 (a - b)$
$u (a) - u (b)$
$= (a - b) (a + b + 4)$
facteur commun $a - b$

Sur $[0; + \infty [$ , $a + b + 4 > 0$ et $a - b < 0$ : $u (a) - u (b) < 0$ , donc $u (a) < u (b)$ . $u$ est croissante sur $[0; + \infty [$ .
5°)
$v (a) - v (b)$
$= (1 - \frac{1}{a}) - (1 - \frac{1}{b})$
$v (a) - v (b)$
$= - \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$
$v (a) - v (b)$
$= \frac{- b + a}{ab}$
même dénominateur $ab$
$v (a) - v (b)$
$= \frac{a - b}{ab}$

$a - b < 0$ et $ab > 0$ (deux nombres positifs) : $v (a) - v (b) < 0$ , donc $v (a) < v (b)$ . $v$ est croissante sur $] 0; + \infty [$ .

→ Toujours la même démarche : calculer $f (a) - f (b)$ , factoriser pour faire apparaître $a - b$ , puis conclure sur le signe.

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$
$B (x)$	$- 9$	$0$	$7$	$12$	$15$	$16$	$15$	$12$	$7$	$0$	$- 9$