Chapitre 2 — Fonctions · coursX Fonctions affines

Sommaire du chapitre

I — Images et antécédents
- Méthode 1 — Calculer une image, chercher un antécédent
- Méthode 2 — Lire une image, des antécédents sur une courbe
II — Ensemble de définition
- Méthode 3 — Ensemble de définition d'un quotient
- Méthode 4 — Ensemble de définition avec une racine carrée
III — Comparaison de deux fonctions
- Méthode 5 — Comparer deux fonctions sur un graphique
- Méthode 6 — Position relative par le signe de $f (x) - g (x)$
IV — Sens de variation
- Méthode 7 — Démontrer un sens de variation avec la définition
V — Fonction carré
- Méthode 8 — Comparer ou encadrer des carrés
VI — Fonction cube
- Méthode 9 — Résoudre $x^{3} = k$ , comparer, encadrer des cubes
VII — Fonction inverse
- Méthode 10 — Résoudre $\frac{1}{x} = k$ , comparer, encadrer des inverses
VIII — Fonction racine carrée
- Méthode 11 — Résoudre une équation avec une racine carrée
IX — Fonction valeur absolue
- Méthode 12 — Étudier $x \mapsto ∣ x - k ∣$ et résoudre $∣ x - k ∣ = r$
X — Fonctions affines
- Méthode 13 — Équation réduite d'une droite passant par deux points
XI — Prolongement : vers la dérivation
- Méthode 14 — Calculer un taux de variation

Définition 10 — Fonction affine

Une fonction affine est une fonction définie sur $R$ par $f (x) = a x + b$ , où $a$ et $b$ sont deux nombres. Sa courbe est une droite d'équation réduite $y = a x + b$ :

$b$ est l'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0; b)$ ;
$a$ est le coefficient directeur (la pente) : quand $x$ augmente de $1$ , $y$ varie de $a$ .

Si $a = 0$ , la fonction est constante et la droite est horizontale. Si $b = 0$ , la fonction est linéaire et la droite passe par l'origine.

Propriété 6 — Variations et signe de $a x + b$ ( $a \neq = 0$ )

Si $a > 0$ : $f$ est strictement croissante.

Si $a < 0$ : $f$ est strictement décroissante.

$a x + b$ s'annule en $x = - \frac{b}{a}$ ; il a le signe de $a$ à droite de cette valeur.

Méthode 13 — Équation réduite d'une droite passant par deux points

Exemples corrigés

Déterminer l'équation réduite de la droite $(A B)$ , avec $A (- 2; - 1)$ et $B (2; 7)$ .

Correction

Résolution

x_{A} \neq = x_{B}

: la droite a une équation réduite

y = a x + b

x_{A} = x_{B}

, la droite est verticale : pas d'équation réduite

a

= \frac{7 - ( - 1 )}{2 - ( - 2 )}

coefficient directeur :

\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}

a

= 2

- 1

= 2 \times (- 2) + b

A

est sur la droite :

y_{A} = a x_{A} + b

- 1

= - 4 + b

b

= 3

on ajoute

4

L'équation réduite de

(A B)

est

y = 2 x + 3

contrôle avec

B

2 \times 2 + 3 = 7

À vous de jouer

Déterminer l'équation réduite de la droite passant par :

1°)
$C (1; 4)$ et $D (3; - 2)$ ;
2°)
$E (- 4; 0)$ et $F (2; 3)$ ;
3°)
$G (1; 5)$ et $H (6; 5)$ .

Correction

1°)

a

= \frac{- 2 - 4}{3 - 1}

\frac{y _{D} - y _{C}}{x _{D} - x _{C}}

a

= - 3

4

= - 3 \times 1 + b

C

est sur la droite

b

= 7

on ajoute

3

L'équation réduite est

y = - 3 x + 7

contrôle avec

D

- 3 \times 3 + 7 = - 2

2°)

a

= \frac{3 - 0}{2 - ( - 4 )}

a

= \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

0

= \frac{1}{2} \times (- 4) + b

E

est sur la droite

0

= - 2 + b

b

= 2

L'équation réduite est

y = \frac{1}{2} x + 2

contrôle avec

F

\frac{1}{2} \times 2 + 2 = 3

3°)

a

= \frac{5 - 5}{6 - 1}

a

= 0

même ordonnée : droite horizontale

L'équation réduite est

y = 5

b = 5

: l'ordonnée commune

À faire : exercices 33 à 35

Exercice 33 — Lire l'expression d'une fonction affine

Donner l'expression de la fonction affine représentée par chaque droite $(d_{1})$ , $(d_{2})$ , $(d_{3})$ .

Corrigé

On lit l'ordonnée à l'origine $b$ (où la droite coupe l'axe des ordonnées), puis le coefficient directeur $a$ avec deux points à coordonnées entières.

$(d_{1})$ passe par $(0; 1)$ et descend de $2$ quand $x$ augmente de $1$ : $y = - 2 x + 1$ .
$(d_{2})$ est horizontale, à la hauteur $3$ : $y = 3$ (fonction constante).
$(d_{3})$ passe par $(0; - 2)$ et $(3; 0)$ : $a = \frac{0 - ( - 2 )}{3 - 0} = \frac{2}{3}$ , donc $y = \frac{2}{3} x - 2$ .

→ Pour $(d_{3})$ , la variation « quand $x$ augmente de $1$ » ne tombe pas sur le quadrillage : on prend deux points à coordonnées entières.

Exercice 34 — Équation réduite et alignement

On donne les points $A (- 1; 4)$ et $B (2; - 2)$ .

1)
Calculer le coefficient directeur de la droite $(A B)$ .
2)
En déduire l'équation réduite de $(A B)$ .
3)
Les points $C (5; - 8)$ et $D (- 3; 9)$ sont-ils alignés avec $A$ et $B$ ?

Corrigé

1°)
$a$
$= \frac{- 2 - 4}{2 - ( - 1 )}$
$a$
$= - 2$
2°)
L'équation est $y = - 2 x + b$ , et $A$ est sur la droite : $4 = - 2 \times (- 1) + b$ , soit $4 = 2 + b$ , donc $b = 2$ . $(A B) : y = - 2 x + 2$ . Contrôle avec $B$ : $- 4 + 2 = - 2$ .
3°)
$C$ : $- 2 \times 5 + 2 = - 8$ , c'est $y_{C}$ : $C$ est aligné avec $A$ et $B$ .
$D$ : $- 2 \times (- 3) + 2 = 8 \neq = 9$ : $D$ n'est pas aligné avec $A$ et $B$ .

Exercice 35 — Intersection de deux droites

Calculer les coordonnées du point d'intersection des droites $(d)$ et $(d^{'})$ .

1)
$(d) : y = 3 x - 5$ et $(d^{'}) : y = - 2 x + 5$ .
2)
$(d)$ passe par $A (0; - 1)$ et $B (3; 5)$ ; $(d^{'}) : y = - x + 5$ .

Corrigé

Un point commun a la même ordonnée sur les deux droites : on résout « $y$ de $(d)$ $=$ $y$ de $(d^{'})$ ».

1°)
$3 x - 5$
$= - 2 x + 5$
$5 x$
$= 10$
$x$
$= 2$

puis $y = 3 \times 2 - 5 = 1$ (contrôle : $- 4 + 5 = 1$ ). Le point est $(2; 1)$ .
2°)
$(d)$ : $a = \frac{5 - ( - 1 )}{3 - 0} = 2$ et $b = - 1$ (ordonnée de $A$ , d'abscisse $0$ ), donc $(d) : y = 2 x - 1$ . Puis $2 x - 1 = - x + 5$ , soit $3 x = 6$ , donc $x = 2$ et $y = 3$ (contrôle : $- 2 + 5 = 3$ ). Le point est $(2; 3)$ .

Chapitre 2 — Fonctions · coursX Fonctions affines

Définition 10 — Fonction affine

Propriété 6 — Variations et signe de ax+b (a=0)

Méthode 13 — Équation réduite d'une droite passant par deux points

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 33 — Lire l'expression d'une fonction affine

Exercice 34 — Équation réduite et alignement

Exercice 35 — Intersection de deux droites

Propriété 6 — Variations et signe de $a x + b$ ( $a \neq = 0$ )