Chapitre 2 — Fonctions · coursVIII Fonction racine carrée

Sommaire du chapitre

I — Images et antécédents
- Méthode 1 — Calculer une image, chercher un antécédent
- Méthode 2 — Lire une image, des antécédents sur une courbe
II — Ensemble de définition
- Méthode 3 — Ensemble de définition d'un quotient
- Méthode 4 — Ensemble de définition avec une racine carrée
III — Comparaison de deux fonctions
- Méthode 5 — Comparer deux fonctions sur un graphique
- Méthode 6 — Position relative par le signe de $f (x) - g (x)$
IV — Sens de variation
- Méthode 7 — Démontrer un sens de variation avec la définition
V — Fonction carré
- Méthode 8 — Comparer ou encadrer des carrés
VI — Fonction cube
- Méthode 9 — Résoudre $x^{3} = k$ , comparer, encadrer des cubes
VII — Fonction inverse
- Méthode 10 — Résoudre $\frac{1}{x} = k$ , comparer, encadrer des inverses
VIII — Fonction racine carrée
- Méthode 11 — Résoudre une équation avec une racine carrée
IX — Fonction valeur absolue
- Méthode 12 — Étudier $x \mapsto ∣ x - k ∣$ et résoudre $∣ x - k ∣ = r$
X — Fonctions affines
- Méthode 13 — Équation réduite d'une droite passant par deux points
XI — Prolongement : vers la dérivation
- Méthode 14 — Calculer un taux de variation

Définition 8 — Fonction racine carrée

La fonction racine carrée est la fonction $x ⟼ x$ , définie sur $[0; + \infty [$ . Pour $x ⩾ 0$ , $x$ est le nombre positif dont le carré vaut $x$ .

Elle est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ .

Comparer $x^{2}$ , $x$ et $x$ (figure ci-dessus) : sur $[0; 1]$ , $x^{2} ⩽ x ⩽ x$ ; sur $[1; + \infty [$ , $x ⩽ x ⩽ x^{2}$ .

Méthode 11 — Résoudre une équation avec une racine carrée

Exemples corrigés

Résoudre l'équation $x = x - 2$ . On admet que $x^{2} - 5 x + 4 = (x - 1) (x - 4)$ .

Correction

Résolution

Une solution vérifie

x - 2 ⩾ 0

, soit

x ⩾ 2

la racine est isolée ; une racine carrée est positive, donc le membre de droite aussi

x

= x - 2

on recopie l'équation

x

= (x - 2)^{2}

on élève au carré

x

= x^{2} - 4 x + 4

identité remarquable

0

= x^{2} - 5 x + 4

une équation du second degré

0

= (x - 1) (x - 4)

factorisation donnée

x = 1

x = 4

un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul

1 < 2

ne convient pas ;

4

convient.

S = {4}

on garde les solutions qui vérifient

x ⩾ 2

; contrôle :

4 = 2 = 4 - 2

À vous de jouer

1°)
Résoudre $x = x - 6$ ; on admet que $x^{2} - 13 x + 36 = (x - 4) (x - 9)$ .
2°)
Résoudre $x = x - 12$ ; on admet que $x^{2} - 25 x + 144 = (x - 9) (x - 16)$ .

Correction

1°)

Une solution vérifie

x - 6 ⩾ 0

, soit

x ⩾ 6

une racine carrée est positive, donc le membre de droite aussi

x

= x - 6

on recopie l'équation

x

= (x - 6)^{2}

on élève au carré

x

= x^{2} - 12 x + 36

identité remarquable

0

= x^{2} - 13 x + 36

une équation du second degré

0

= (x - 4) (x - 9)

factorisation donnée

x = 4

x = 9

un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul

4 < 6

ne convient pas ;

9

convient.

S = {9}

contrôle :

9 = 3 = 9 - 6

2°)

Une solution vérifie

x - 12 ⩾ 0

, soit

x ⩾ 12

x

= x - 12

on recopie l'équation

x

= (x - 12)^{2}

on élève au carré

x

= x^{2} - 24 x + 144

identité remarquable

0

= x^{2} - 25 x + 144

0

= (x - 9) (x - 16)

factorisation donnée

x = 9

x = 16

;

9 < 12

ne convient pas :

S = {16}

contrôle :

16 = 4 = 16 - 12

À faire : exercices 27 à 29

Exercice 27 — Se ramener au second degré

1)
Résoudre $x = x - 20$ ; on admet que $x^{2} - 41 x + 400 = (x - 16) (x - 25)$ .
2)
Résoudre $x = x - 30$ ; on admet que $x^{2} - 61 x + 900 = (x - 25) (x - 36)$ .
3)
On considère l'équation $(E)$ : $x + 3 = x + 1$ . À la calculatrice, conjecturer le nombre de solutions de $(E)$ et leur valeur.
4)
Démontrer que toute solution de $(E)$ vérifie $x + 1 ⩾ 0$ et $x^{2} + x - 2 = 0$ .
5)
Vérifier que $x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)$ , puis résoudre $(E)$ .
6)
Même démarche pour $2 x = x - 3$ : se ramener à $x^{2} - 10 x + 9 = 0$ , puis vérifier que $x^{2} - 10 x + 9 = (x - 5)^{2} - 4^{2}$ pour factoriser.

Corrigé

1°)
Une solution vérifie $x - 20 ⩾ 0$ , soit $x ⩾ 20$ . On élève au carré :

$x$
$= (x - 20)^{2}$
$x$
$= x^{2} - 40 x + 400$
$0$
$= x^{2} - 41 x + 400$
$0$
$= (x - 16) (x - 25)$

$x = 16$ ou $x = 25$ ; $16 < 20$ ne convient pas ; contrôle pour $25$ : $25 = 5 = 25 - 20$ . $S = {25}$ .
2°)
Une solution vérifie $x ⩾ 30$ . On élève au carré :

$x$
$= (x - 30)^{2}$
$x$
$= x^{2} - 60 x + 900$
$0$
$= x^{2} - 61 x + 900$
$0$
$= (x - 25) (x - 36)$

$x = 25$ ou $x = 36$ ; $25 < 30$ ne convient pas ; contrôle pour $36$ : $36 = 6 = 36 - 30$ . $S = {36}$ .
3°)
La courbe de $x \mapsto x + 3$ et la droite $y = x + 1$ ont un seul point commun, d'abscisse environ $1$ .
4°)
Une racine carrée est positive : une solution vérifie $x + 1 ⩾ 0$ . On élève au carré :

$x + 3$
$= (x + 1)^{2}$
$x + 3$
$= x^{2} + 2 x + 1$
$0$
$= x^{2} + x - 2$
5°)
$(x + 2) (x - 1) = x^{2} - x + 2 x - 2$ , soit $x^{2} + x - 2$ . Une solution vérifie donc $(x + 2) (x - 1) = 0$ : $x = - 2$ ou $x = 1$ . Or $- 2 + 1 < 0$ : $- 2$ ne convient pas. Contrôle pour $1$ : $4 = 2 = 1 + 1$ . $S = {1}$ .
6°)
Il faut $x - 3 ⩾ 0$ , soit $x ⩾ 3$ . On élève au carré :

$4 x$
$= (x - 3)^{2}$
$4 x$
$= x^{2} - 6 x + 9$
$0$
$= x^{2} - 10 x + 9$
$(x - 5)^{2} - 4^{2}$
$= x^{2} - 10 x + 25 - 16$
$(x - 5)^{2} - 4^{2}$
$= x^{2} - 10 x + 9$

Avec $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ : $x^{2} - 10 x + 9 = (x - 9) (x - 1)$ , donc $x = 9$ ou $x = 1$ . Or $1 < 3$ ne convient pas ; contrôle pour $9$ : $29 = 6 = 9 - 3$ . $S = {9}$ .

→ Élever au carré fait apparaître une fausse solution : on revient toujours à la condition ( $x + 1 ⩾ 0$ , $x ⩾ 3$ ).

Exercice 28 — Équations avec des racines carrées

Résoudre, en précisant d'abord les valeurs de $x$ possibles :

x = 9

x = - 3

x - 4 = 5

3 2 x + 1 = 15

Corrigé

a)
Il faut $x ⩾ 0$ ; on élève au carré : $x = 81$ . $S = {81}$ .
b)
Une racine carrée est positive : $S = \emptyset$ .
c)
Il faut $x ⩾ 4$ ; $x - 4 = 25$ , donc $x = 29$ . $S = {29}$ .
d)
$2 x + 1 = 5$ ; il faut $x ⩾ - \frac{1}{2}$ ; $2 x + 1 = 25$ , donc $x = 12$ . $S = {12}$ .

Exercice 29 — Calculer avec des racines carrées

1)
Écrire plus simplement :

a) $18 - 2$ b) $(5 - 2) (5 + 2)$

c) $(3 + 6)^{2}$
2)
Soient $A = 3 - 10$ et $B = 19 - 610$ . Calculer $A^{2}$ et $B^{2}$ . A-t-on $A = B$ ?
3)
Justifier les égalités :

a) $\frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ b) $\frac{1}{7 - 2} = \frac{7 + 2}{3}$

c) $50 - 32 + 2 = 22$
4)
Calculer $(6 + 7) (6 - 7)$ ; en déduire, sans calculatrice, que $6 < 7$ .

Corrigé

1°)
a) $18 = 9 \times 2 = 32$ , donc $18 - 2 = 22$ .
b) $(5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 = 3$ ( $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ ).

c) $[t] (3 + 6)^{2} (3 + 6)^{2} (3 + 6)^{2} = 3 + 236 + 6 = 9 + 218 = 9 + 62$
2°)
$A^{2} = 9 - 610 + 10 = 19 - 610$ et $B^{2} = 19 - 610$ : $A^{2} = B^{2}$ .
Mais $A \neq = B$ : $10 > 3$ , donc $A < 0$ , alors que $B ⩾ 0$ (une racine carrée est positive). En fait, $B = - A = 10 - 3$ .
3°)
a) $\frac{1}{3} = \frac{3}{3 \times 3}$ , soit $\frac{3}{3}$ .
b) $[t] \frac{1}{7 - 2} \frac{1}{7 - 2} \frac{1}{7 - 2} = \frac{7 + 2}{( 7 - 2 ) ( 7 + 2 )} = \frac{7 + 2}{7 - 4} = \frac{7 + 2}{3} quantit \overset{e}{ˊ} conjugu \overset{e}{ˊ} e$

c) $50 = 52$ et $32 = 42$ , donc $50 - 32 + 2 = (5 - 4 + 1) 2$ , soit $22$ .
4°)
$(6 + 7) (6 - 7) = 6 - 7 = - 1$ . Ce produit est négatif et $6 + 7 > 0$ : donc $6 - 7 < 0$ , c'est-à-dire $6 < 7$ .

→ En 2), $A^{2} = B^{2}$ donne seulement $∣ A ∣ = ∣ B ∣$ : on ne peut pas conclure $A = B$ .