Chapitre 2 — Fonctions · coursV Fonction carré

Sommaire du chapitre

I — Images et antécédents
- Méthode 1 — Calculer une image, chercher un antécédent
- Méthode 2 — Lire une image, des antécédents sur une courbe
II — Ensemble de définition
- Méthode 3 — Ensemble de définition d'un quotient
- Méthode 4 — Ensemble de définition avec une racine carrée
III — Comparaison de deux fonctions
- Méthode 5 — Comparer deux fonctions sur un graphique
- Méthode 6 — Position relative par le signe de $f (x) - g (x)$
IV — Sens de variation
- Méthode 7 — Démontrer un sens de variation avec la définition
V — Fonction carré
- Méthode 8 — Comparer ou encadrer des carrés
VI — Fonction cube
- Méthode 9 — Résoudre $x^{3} = k$ , comparer, encadrer des cubes
VII — Fonction inverse
- Méthode 10 — Résoudre $\frac{1}{x} = k$ , comparer, encadrer des inverses
VIII — Fonction racine carrée
- Méthode 11 — Résoudre une équation avec une racine carrée
IX — Fonction valeur absolue
- Méthode 12 — Étudier $x \mapsto ∣ x - k ∣$ et résoudre $∣ x - k ∣ = r$
X — Fonctions affines
- Méthode 13 — Équation réduite d'une droite passant par deux points
XI — Prolongement : vers la dérivation
- Méthode 14 — Calculer un taux de variation

Définition 5 — Fonction carré

La fonction carré est la fonction $x ⟼ x^{2}$ , définie sur $R$ .

Sa courbe est une parabole de sommet l'origine. Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, car $(- x)^{2} = x^{2}$ : on dit que la fonction carré est paire.

Équation $x^{2} = k$ : si $k > 0$ , deux solutions, $- k$ et $k$ ; si $k = 0$ , une solution, $0$ ; si $k < 0$ , aucune solution.

Propriété 3 — Variations de la fonction carré

La fonction carré est strictement décroissante sur $] - \infty; 0]$ et strictement croissante sur $[0; + \infty [$ . Son minimum est $0$ , atteint en $0$ .

Démonstration

Correction

Soient $a < b$ . On factorise : $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , et $a - b < 0$ .

Sur $[0; + \infty [$ : $a ⩾ 0$ et $b > 0$ , donc $a + b > 0$ . Le produit est négatif : $a^{2} < b^{2}$ , la fonction est croissante.
Sur $] - \infty; 0]$ : $a < 0$ et $b ⩽ 0$ , donc $a + b < 0$ . Le produit de deux négatifs est positif : $a^{2} > b^{2}$ , la fonction est décroissante.

Méthode 8 — Comparer ou encadrer des carrés

Exemples corrigés

a)
Comparer $(- 2, 7)^{2}$ et $(- 2, 3)^{2}$ sans les calculer.
b)
Encadrer $x^{2}$ sachant que $- 4 ⩽ x ⩽ - 1$ , puis sachant que $- 2 ⩽ x ⩽ 3$ .

Correction

- 2, 7 < - 2, 3 ⩽ 0

, donc

(- 2, 7)^{2} > (- 2, 3)^{2}

deux nombres négatifs : la fonction carré est décroissante sur

] - \infty; 0]

, elle inverse l'ordre

- 4 ⩽ x ⩽ - 1

donne

(- 1)^{2} ⩽ x^{2} ⩽ (- 4)^{2}

, soit

1 ⩽ x^{2} ⩽ 16

nombres négatifs : l'ordre s'inverse

- 2 ⩽ x ⩽ 3

donne

0 ⩽ x^{2} ⩽ 9

l'intervalle contient

0

x^{2}

descend de

4

0

, puis monte jusqu'à

9

. Piège : écrire

4 ⩽ x^{2} ⩽ 9

À vous de jouer

1°)
Comparer sans calculatrice $1, 8^{2}$ et $1, 6^{2}$ , puis $(- 0, 4)^{2}$ et $(- 0, 9)^{2}$ .
2°)
Encadrer $x^{2}$ sachant que $2 ⩽ x ⩽ 5$ ; puis $- 3 ⩽ x ⩽ - 2$ ; puis $- 1 ⩽ x ⩽ 4$ .

Correction

1°)

0 ⩽ 1, 6 < 1, 8

, donc

1, 6^{2} < 1, 8^{2}

, soit

1, 8^{2} > 1, 6^{2}

nombres positifs : la fonction carré conserve l'ordre

- 0, 9 < - 0, 4 ⩽ 0

, donc

(- 0, 9)^{2} > (- 0, 4)^{2}

nombres négatifs : elle inverse l'ordre

2°)

2 ⩽ x ⩽ 5

donne

4 ⩽ x^{2} ⩽ 25

nombres positifs : l'ordre est conservé

- 3 ⩽ x ⩽ - 2

donne

(- 2)^{2} ⩽ x^{2} ⩽ (- 3)^{2}

, soit

4 ⩽ x^{2} ⩽ 9

nombres négatifs : l'ordre s'inverse

- 1 ⩽ x ⩽ 4

donne

0 ⩽ x^{2} ⩽ 16

l'intervalle contient

0

x^{2}

descend de

1

0

, puis monte jusqu'à

16

À faire : exercices 18 à 20

Exercice 18 — Équations avec des carrés

Résoudre dans $R$ :

x^{2} = 36

x^{2} = 11

2 x^{2} - 5 = x^{2} + 4

(3 x + 1)^{2} = 16

x^{2} + 9 = 0

Corrigé

On se ramène à $x^{2} = k$ (ou $A^{2} = k$ ) : deux solutions si $k > 0$ , aucune si $k < 0$ .

a)
$x^{2} = 36$ : $S = {- 6; 6}$ .
b)
$x^{2} = 11$ : $S = {- 11; 11}$ .
c)
$2 x^{2} - 5 = x^{2} + 4$ équivaut à $x^{2} = 9$ : $S = {- 3; 3}$ .
d)
$(3 x + 1)^{2} = 16$ équivaut à $3 x + 1 = 4$ ou $3 x + 1 = - 4$ , soit $x = 1$ ou $x = - \frac{5}{3}$ : $S = {- \frac{5}{3}; 1}$ .
e)
$x^{2} + 9 = 0$ équivaut à $x^{2} = - 9$ : un carré n'est jamais négatif, $S = \emptyset$ .

Exercice 19 — Comparer et encadrer des carrés

1)
Comparer sans calculatrice, en citant le sens de variation utilisé : $(- 4, 2)^{2}$ et $(- 3, 9)^{2}$ ; puis $1, 0 5^{2}$ et $1, 5^{2}$ .
2)
Encadrer $x^{2}$ sachant que $3 ⩽ x ⩽ 6$ ; puis $- 5 ⩽ x ⩽ - 2$ ; puis $- 3 ⩽ x ⩽ 1$ .

Corrigé

1°)
$- 4, 2 < - 3, 9 ⩽ 0$ et la fonction carré est décroissante sur $] - \infty; 0]$ : elle inverse l'ordre, $(- 4, 2)^{2} > (- 3, 9)^{2}$ .
$0 ⩽ 1, 05 < 1, 5$ et elle est croissante sur $[0; + \infty [$ : elle conserve l'ordre, $1, 0 5^{2} < 1, 5^{2}$ .
2°)
Sur $[3; 6]$ (positifs, ordre conservé) : $9 ⩽ x^{2} ⩽ 36$ .
Sur $[- 5; - 2]$ (négatifs, ordre inversé) : $4 ⩽ x^{2} ⩽ 25$ .
Sur $[- 3; 1]$ , qui contient $0$ : $x^{2}$ descend de $9$ à $0$ , puis monte jusqu'à $1$ , donc $0 ⩽ x^{2} ⩽ 9$ .

→ Piège du dernier cas : écrire $1 ⩽ x^{2} ⩽ 9$ . Dès que l'intervalle contient $0$ , la plus petite valeur de $x^{2}$ est $0$ .

Exercice 20 — Deux paraboles

Soient $f$ et $g$ définies sur $R$ par $f (x) = 2 x^{2} + x + 7$ et $g (x) = x^{2} - 3 x + 3$ .

1)
Calculer $f (x) - g (x)$ , puis vérifier que $f (x) - g (x) = (x + 2)^{2}$ .
2)
En déduire la position relative de $C_{f}$ et $C_{g}$ , et leur point commun.

Corrigé

1°)
$f (x) - g (x)$
$= 2 x^{2} + x + 7 - (x^{2} - 3 x + 3)$
$f (x) - g (x)$
$= x^{2} + 4 x + 4$
$f (x) - g (x)$
$= (x + 2)^{2}$
identité remarquable
2°)
Un carré est positif : $f (x) - g (x) ⩾ 0$ pour tout $x$ , $C_{f}$ est au-dessus de $C_{g}$ sur $R$ . L'égalité n'a lieu que pour $x = - 2$ : $f (- 2) = 8 - 2 + 7 = 13$ , le point commun est $(- 2; 13)$ .