Chapitre 2 — Fonctions · coursII Ensemble de définition

Sommaire du chapitre

I — Images et antécédents
- Méthode 1 — Calculer une image, chercher un antécédent
- Méthode 2 — Lire une image, des antécédents sur une courbe
II — Ensemble de définition
- Méthode 3 — Ensemble de définition d'un quotient
- Méthode 4 — Ensemble de définition avec une racine carrée
III — Comparaison de deux fonctions
- Méthode 5 — Comparer deux fonctions sur un graphique
- Méthode 6 — Position relative par le signe de $f (x) - g (x)$
IV — Sens de variation
- Méthode 7 — Démontrer un sens de variation avec la définition
V — Fonction carré
- Méthode 8 — Comparer ou encadrer des carrés
VI — Fonction cube
- Méthode 9 — Résoudre $x^{3} = k$ , comparer, encadrer des cubes
VII — Fonction inverse
- Méthode 10 — Résoudre $\frac{1}{x} = k$ , comparer, encadrer des inverses
VIII — Fonction racine carrée
- Méthode 11 — Résoudre une équation avec une racine carrée
IX — Fonction valeur absolue
- Méthode 12 — Étudier $x \mapsto ∣ x - k ∣$ et résoudre $∣ x - k ∣ = r$
X — Fonctions affines
- Méthode 13 — Équation réduite d'une droite passant par deux points
XI — Prolongement : vers la dérivation
- Méthode 14 — Calculer un taux de variation

Définition 2 — Ensemble de définition

L'ensemble de définition de $f$ est l'ensemble des nombres $x$ qui ont une image par $f$ . Quand l'énoncé ne le donne pas, c'est l'ensemble de tous les nombres pour lesquels on peut calculer $f (x)$ .

Propriété 1 — Les deux calculs impossibles

Diviser par $0$ . Dans un quotient, les valeurs de $x$ qui annulent le dénominateur sont des valeurs interdites.
Exemple : $x \mapsto \frac{1}{x}$ est définie sur $R ∖ {0}$ , noté $R^{*}$ .
Prendre la racine carrée d'un nombre négatif. Pour $A$ , il faut $A ⩾ 0$ .
Exemple : $x \mapsto x$ est définie sur $[0; + \infty [$ .

Sans quotient ni racine carrée (par exemple $x \mapsto 2 x^{2} - x + 3$ ), la fonction est définie sur $R$ .

Méthode 3 — Ensemble de définition d'un quotient

Exemples corrigés

Déterminer l'ensemble de définition de chaque fonction, puis les antécédents demandés.

a)
$f (x) = \frac{1}{x - 2}$ : antécédents de $1$ , puis de $0$ .
b)
$g (x) = \frac{5}{x ^{2} + 4}$ : antécédents de $1$ .

Correction

x - 2

= 0

on ne peut pas diviser par

0

: on cherche où le dénominateur s'annule

x

= 2

2

est la valeur interdite

f

est définie sur

D = R ∖ {2}

on retire la valeur interdite de

R

\frac{1}{x - 2}

= 1

antécédents de

1

: on résout

f (x) = 1

x - 2

= 1

le quotient vaut

1

quand le dénominateur vaut

1

x

= 3

3 \neq = 2

: la solution convient

Le nombre

1

a un antécédent :

3

. Le nombre

0

n'a aucun antécédent.

un quotient est nul seulement si son numérateur est nul ; ici il vaut

1

Pour tout

x

x^{2} + 4 ⩾ 4

g

est définie sur

R

un carré est positif : le dénominateur ne s'annule jamais

\frac{5}{x ^{2} + 4}

= 1

on résout

g (x) = 1

x^{2} + 4

= 5

le quotient vaut

1

quand le dénominateur vaut

5

x^{2}

= 1

Le nombre

1

a deux antécédents :

- 1

1

deux nombres ont pour carré

1

À vous de jouer

1°)
Déterminer l'ensemble de définition de chaque fonction $h$ , $k$ , $m$ :

$h (x) = \frac{7}{x + 5}$ $k (x) = \frac{x - 1}{3 x - 6}$ $m (x) = \frac{2}{x ^{2} + 3}$
2°)
$p (x) = \frac{4}{x + 1}$ : ensemble de définition ; calculer $p (1)$ et $p (3)$ ; antécédents de $- 4$ et de $0$ .

Correction

1°)

x + 5 = 0

pour

x = - 5

h

est définie sur

R ∖ {- 5}

on retire la valeur qui annule le dénominateur

3 x - 6

= 0

le dénominateur de

k

x

= 2

k

est définie sur

R ∖ {2}

Pour tout

x

x^{2} + 3 ⩾ 3

m

est définie sur

R

le dénominateur ne s'annule jamais

2°)

x + 1 = 0

pour

x = - 1

p

est définie sur

R ∖ {- 1}

p (1)

= \frac{4}{1 + 1} = 2

p (3)

= \frac{4}{3 + 1} = 1

\frac{4}{x + 1}

= - 4

antécédents de

- 4

x + 1

= - 1

le quotient vaut

- 4

quand le dénominateur vaut

- 1

x

= - 2

- 2 \neq = - 1

: la solution convient

- 4

a un antécédent :

- 2

. Le nombre

0

n'en a aucun.

le numérateur vaut

4

: le quotient n'est jamais nul

Méthode 4 — Ensemble de définition avec une racine carrée

Exemples corrigés

Déterminer l'ensemble de définition de chaque fonction.

a)
$f (x) = x + 3$ ; calculer ensuite, si possible, $f (1)$ et $f (- 7)$ .
b)
$g (x) = 8 - 2 x$ .

Correction

x + 3

⩾ 0

le nombre sous la racine doit être positif ou nul

x

⩾ - 3

f

est définie sur

[- 3; + \infty [

borne comprise :

0 = 0

existe

f (1) = 4

, soit

f (1) = 2

. Mais

f (- 7) = - 4

n'existe pas.

- 7 < - 3

- 7

n'est pas dans l'ensemble de définition

8 - 2 x

⩾ 0

nombre sous la racine positif ou nul

- 2 x

⩾ - 8

on retire

8

x

⩽ 4

on divise par

- 2

, négatif : le sens change

g

est définie sur

] - \infty; 4]

contrôle :

g (4) = 0

existe,

g (5) = - 2

n'existe pas

À vous de jouer

1°)
Déterminer l'ensemble de définition de chaque fonction $h$ , $k$ , $m$ :

$h (x) = x - 6$ $k (x) = 3 x + 9$ $m (x) = 10 - 5 x$
2°)
$p (x) = x + 4$ : ensemble de définition ; calculer $p (0)$ et $p (5)$ ; antécédents de $4$ et de $- 2$ .

Correction

1°)

x - 6

⩾ 0

nombre sous la racine de

h

positif ou nul

x

⩾ 6

3 x + 9

⩾ 0

pour

k

x

⩾ - 3

on retire

9

, puis on divise par

3

10 - 5 x

⩾ 0

pour

m

- 5 x

⩾ - 10

x

⩽ 2

on divise par

- 5

, négatif : le sens change

h

est définie sur

[6; + \infty [

k

sur

[- 3; + \infty [

m

sur

] - \infty; 2]

bornes comprises :

0 = 0

existe

2°)

x + 4 ⩾ 0

donne

x ⩾ - 4

p

est définie sur

[- 4; + \infty [

p (0)

= 4 = 2

p (5)

= 9 = 3

x + 4

= 4

antécédents de

4

x + 4

= 16

la racine vaut

4

quand le nombre sous la racine vaut

16

x

= 12

4

a un antécédent :

12

. Le nombre

- 2

n'en a aucun.

une racine carrée est positive

À faire : exercices 6 à 9

Exercice 6 — Un nombre sans image

Pour chaque fonction $f$ , $g$ , $h$ , l'un des nombres $- 2$ ; $0$ ; $5$ ; $10$ n'a pas d'image. Lequel ?

f (x) = \frac{3}{x}

g (x) = \frac{x + 3}{x - 5}

h (x) = x + 1

Corrigé

Pour $f$ , $0$ n'a pas d'image (division par $0$ ). Pour $g$ , $5$ n'a pas d'image ( $5 - 5 = 0$ ). Pour $h$ , $- 2$ n'a pas d'image ( $- 1$ n'existe pas).

Exercice 7 — Ensembles de définition

Déterminer l'ensemble de définition de chaque fonction.

f (x) = \frac{2}{x + 6}

g (x) = \frac{5}{4 x - 12}

h (x) = \frac{x}{x ^{2} + 5}

k (x) = \frac{1}{x ^{2} - 16}

m (x) = 12 - 3 x

p (x) = \frac{1}{x - 1}

Corrigé

Quotient : on retire les valeurs qui annulent le dénominateur. Racine carrée : le nombre sous la racine doit être positif ou nul.

a)
$x + 6 = 0$ pour $x = - 6$ : $f$ est définie sur $R ∖ {- 6}$ .
b)
$4 x - 12 = 0$ pour $x = 3$ : $g$ est définie sur $R ∖ {3}$ .
c)
$x^{2} + 5 ⩾ 5$ ne s'annule jamais : $h$ est définie sur $R$ .
d)
$x^{2} - 16 = 0$ pour $x^{2} = 16$ , soit $x = - 4$ ou $x = 4$ : $k$ est définie sur $R ∖ {- 4; 4}$ .
e)
$12 - 3 x$
$⩾ 0$
$- 3 x$
$⩾ - 12$
$x$
$⩽ 4$
on divise par $- 3 < 0$ : le sens change

$m$ est définie sur $] - \infty; 4]$ .
f)
Deux conditions : $x - 1 ⩾ 0$ pour la racine, et $x - 1 \neq = 0$ pour le dénominateur, soit $x \neq = 1$ . Il reste $x > 1$ : $p$ est définie sur $] 1; + \infty [$ .

→ En c), le numérateur peut s'annuler : seul le dénominateur compte.

Exercice 8 — Avec une valeur interdite

Soit $f$ la fonction définie par $f (x) = \frac{6}{x - 1}$ .

1)
Déterminer l'ensemble de définition de $f$ .
2)
Calculer $f (0)$ ; $f (4)$ ; $f (- 2)$ .
3)
Déterminer les antécédents de $3$ ; de $- 6$ ; de $0$ .

Corrigé

Avec $f (x) = \frac{6}{x - 1}$ :

1°)
$x - 1 = 0$ pour $x = 1$ : $f$ est définie sur $R ∖ {1}$ .
2°)
$f (0) = \frac{6}{- 1} = - 6$ $f (4) = \frac{6}{3} = 2$ $f (- 2) = \frac{6}{- 3} = - 2$
3°)
Pour $x \neq = 1$ :
- $\frac{6}{x - 1} = 3$ lorsque $x - 1 = 2$ , soit $x = 3$ ;
- $\frac{6}{x - 1} = - 6$ lorsque $x - 1 = - 1$ , soit $x = 0$ ;
- le numérateur vaut $6$ , jamais $0$ : $0$ n'a aucun antécédent.

→ Le 3) se contrôle avec le 2) : $f (0) = - 6$ .

Exercice 9 — Avec une racine carrée

Soit $g$ la fonction définie par $g (x) = 4 x + 8$ .

1)
Déterminer l'ensemble de définition de $g$ .
2)
Calculer, si possible, $g (2)$ ; $g (- 1)$ ; $g (- 3)$ .
3)
Déterminer les antécédents de $6$ ; de $0$ ; de $- 1$ .

Corrigé

Avec $g (x) = 4 x + 8$ :

1°)
$4 x + 8 ⩾ 0$ , soit $4 x ⩾ - 8$ , donc $x ⩾ - 2$ : $g$ est définie sur $[- 2; + \infty [$ .
2°)
$g (2) = 16 = 4$ $g (- 1) = 4 = 2$ $- 3 < - 2$ : $g (- 3) = - 4$ n'existe pas.
3°)
Pour $x ⩾ - 2$ :
- $4 x + 8 = 6$ lorsque $4 x + 8 = 36$ , soit $4 x = 28$ , donc $x = 7$ ;
- $4 x + 8 = 0$ lorsque $4 x + 8 = 0$ , donc $x = - 2$ ;
- une racine carrée est positive : $- 1$ n'a aucun antécédent.