Chapitre 2 — Fonctions · coursIII Comparaison de deux fonctions

Sommaire du chapitre

I — Images et antécédents
- Méthode 1 — Calculer une image, chercher un antécédent
- Méthode 2 — Lire une image, des antécédents sur une courbe
II — Ensemble de définition
- Méthode 3 — Ensemble de définition d'un quotient
- Méthode 4 — Ensemble de définition avec une racine carrée
III — Comparaison de deux fonctions
- Méthode 5 — Comparer deux fonctions sur un graphique
- Méthode 6 — Position relative par le signe de $f (x) - g (x)$
IV — Sens de variation
- Méthode 7 — Démontrer un sens de variation avec la définition
V — Fonction carré
- Méthode 8 — Comparer ou encadrer des carrés
VI — Fonction cube
- Méthode 9 — Résoudre $x^{3} = k$ , comparer, encadrer des cubes
VII — Fonction inverse
- Méthode 10 — Résoudre $\frac{1}{x} = k$ , comparer, encadrer des inverses
VIII — Fonction racine carrée
- Méthode 11 — Résoudre une équation avec une racine carrée
IX — Fonction valeur absolue
- Méthode 12 — Étudier $x \mapsto ∣ x - k ∣$ et résoudre $∣ x - k ∣ = r$
X — Fonctions affines
- Méthode 13 — Équation réduite d'une droite passant par deux points
XI — Prolongement : vers la dérivation
- Méthode 14 — Calculer un taux de variation

Définition 3 — Position relative de deux courbes

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ . Pour un même $x$ , les points $M (x; f (x))$ de $C_{f}$ et $N (x; g (x))$ de $C_{g}$ sont sur la même verticale :

si $f (x) > g (x)$ , $M$ est au-dessus de $N$ ;
si $f (x) < g (x)$ , $M$ est au-dessous de $N$ ;
si $f (x) = g (x)$ , $M$ et $N$ sont confondus : les courbes se coupent.

Étudier la position relative de $C_{f}$ et $C_{g}$ , c'est trouver où $C_{f}$ est au-dessus de $C_{g}$ , et où elle est au-dessous.

Propriété 2 — Deux façons de comparer

Sur le graphique : les solutions de $f (x) = g (x)$ sont les abscisses des points d'intersection de $C_{f}$ et $C_{g}$ ; celles de $f (x) > g (x)$ , les abscisses des points où $C_{f}$ est strictement au-dessus de $C_{g}$ .
Par le calcul : $f (x) > g (x)$ revient à $f (x) - g (x) > 0$ , c'est-à-dire « $f (x) - g (x)$ est positif ». Comparer $f (x)$ et $g (x)$ , c'est donc étudier le signe de la différence $f (x) - g (x)$ :
- là où $f (x) - g (x) > 0$ (positif), $C_{f}$ est au-dessus de $C_{g}$ ;
- là où $f (x) - g (x) < 0$ (négatif), $C_{f}$ est au-dessous de $C_{g}$ ;
- là où $f (x) - g (x) = 0$ , les courbes se coupent.

Le graphique permet de conjecturer ; le calcul démontre.

Méthode 5 — Comparer deux fonctions sur un graphique

Exemples corrigés

Les courbes ci-contre sont celles de $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ et de $g (x) = x - 1$ , sur $[- 1; 4]$ . Résoudre graphiquement :

a)
l'équation $f (x) = g (x)$ ;
b)
l'inéquation $f (x) < g (x)$ .

Correction

Les courbes se coupent en

(0; - 1)

(3; 2)

S = {0; 3}

on lit les abscisses des points d'intersection ; erreur fréquente : répondre

- 1

2

C_{f}

est strictement sous

C_{g}

entre ces deux points :

S =] 0; 3 [

on répond par un intervalle ; bornes exclues, car en

0

et en

3

f (x) = g (x)

À vous de jouer

1°)
Résoudre graphiquement $f (x) ⩾ g (x)$ .
2°)
Résoudre graphiquement $f (x) = 2$ .

Correction

1°)

C_{f}

est au-dessus de

C_{g}

, ou la coupe, de

- 1

0

et de

3

4

S = [- 1; 0] \cup [3; 4]

inégalité large : abscisses des points communs comprises

2°)

La droite d'équation

y = 2

coupe

C_{f}

aux points d'abscisses

- 1

3

S = {- 1; 3}

contrôle :

f (- 1) = 1 + 2 - 1 = 2

f (3) = 9 - 6 - 1 = 2

Méthode 6 — Position relative par le signe de $f (x) - g (x)$

Exemples corrigés

Étudier la position relative de $C_{f}$ et $C_{g}$ sur $R$ .

a)
$f (x) = x^{2} + 5$ et $g (x) = 4 x + 1$ .
b)
$f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ et $g (x) = x - 1$ (les fonctions de la méthode 5).

Correction

f (x) - g (x)

= x^{2} + 5 - (4 x + 1)

on calcule la différence ; parenthèses autour de

g (x)

f (x) - g (x)

= x^{2} - 4 x + 4

f (x) - g (x)

= (x - 2)^{2}

identité remarquable : une forme dont on connaît le signe

f (x) - g (x) ⩾ 0

pour tout

x

, et

f (x) - g (x) = 0

seulement pour

x = 2

un carré est positif ; il est nul quand

x - 2 = 0

C_{f}

est au-dessus de

C_{g}

sur

R

; un seul point commun,

(2; 9)

on conclut, puis on calcule l'ordonnée :

g (2) = 9

f (x) - g (x)

= x^{2} - 2 x - 1 - (x - 1)

parenthèses autour de

g (x)

f (x) - g (x)

= x^{2} - 3 x

f (x) - g (x)

= x (x - 3)

facteur commun

x

: un produit

x = 0

pour

x = 0

, et

x - 3 = 0

pour

x = 3

le signe d'un produit se lit dans un tableau de signes

C_{f}

est au-dessus de

C_{g}

sur

] - \infty; 0 [

et sur

] 3; + \infty [

, au-dessous sur

] 0; 3 [

; elles se coupent en

(0; - 1)

(3; 2)

signe

+

: au-dessus ; signe

-

: au-dessous ; ordonnées :

g (0) = - 1

g (3) = 2

. Le calcul démontre ce que le graphique laissait voir

À vous de jouer

Étudier la position relative de $C_{f}$ et $C_{g}$ , sur $R$ :

1°)
$f (x) = 2 x + 3$ et $g (x) = 5 x - 6$ .
2°)
$f (x) = x^{2} + 1$ et $g (x) = - 2 x$ .
3°)
$f (x) = x^{2} + 3 x$ et $g (x) = 3 x + 16$ .

Correction

1°)

f (x) - g (x)

= 2 x + 3 - (5 x - 6)

parenthèses autour de

g (x)

f (x) - g (x)

= - 3 x + 9

- 3 x + 9

s'annule en

3

; il est positif avant, négatif après.

fonction affine de coefficient

- 3 < 0

C_{f}

est au-dessus de

C_{g}

sur

] - \infty; 3 [

, au-dessous sur

] 3; + \infty [

; elles se coupent en

(3; 9)

ordonnée :

f (3) = 9

2°)

f (x) - g (x)

= x^{2} + 1 - (- 2 x)

f (x) - g (x)

= x^{2} + 2 x + 1

f (x) - g (x)

= (x + 1)^{2}

identité remarquable

f (x) - g (x) ⩾ 0

pour tout

x

, nul seulement pour

x = - 1

C_{f}

est au-dessus de

C_{g}

sur

R

, avec un seul point commun,

(- 1; 2)

un carré est positif ;

g (- 1) = 2

3°)

f (x) - g (x)

= x^{2} + 3 x - (3 x + 16)

f (x) - g (x)

= x^{2} - 16

f (x) - g (x)

= (x - 4) (x + 4)

a^{2} - b^{2}

C_{f}

est au-dessous de

C_{g}

sur

] - 4; 4 [

, au-dessus sur

] - \infty; - 4 [

et sur

] 4; + \infty [

; elles se coupent en

(- 4; 4)

(4; 28)

ordonnées :

g (- 4) = 4

g (4) = 28

À faire : exercices 10 à 13

Exercice 10 — Comparer sur un graphique

Les courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $[- 3; 5]$ sont tracées ci-dessous.

Résoudre graphiquement :

a)
l'équation $f (x) = g (x)$ ;
b)
l'inéquation $f (x) > g (x)$ (réponse avec des intervalles) ;
c)
l'inéquation $g (x) ⩾ 2$ .

Corrigé

a)
Les courbes se coupent aux points d'abscisses $- 2$ ; $1$ et $4$ : $S = {- 2; 1; 4}$ .
b)
$C_{f}$ est strictement au-dessus de $C_{g}$ : $S = [- 3; - 2 [\cup] 1; 4 [$ .
c)
$g (x) = 2$ en $- 1$ (le maximum local de $g$ touche la droite $y = 2$ ) et en $4$ ; $C_{g}$ est au-dessus de cette droite après $4$ : $S = {- 1} \cup [4; 5]$ .

→ On répond par des abscisses, jamais par les ordonnées des points d'intersection. En c), le nombre isolé $- 1$ est souvent oublié.

Exercice 11 — Signe d'une différence

Pour chaque couple de fonctions définies sur $R$ , calculer $f (x) - g (x)$ , étudier son signe, puis en déduire la position relative de $C_{f}$ et $C_{g}$ .

a)
$f (x) = 3 x - 4$ et $g (x) = x + 2$
b)
$f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 2 x - 1$
c)
$f (x) = x^{2} - x$ et $g (x) = - x + 4$

Corrigé

a)
$f (x) - g (x)$
$= 3 x - 4 - (x + 2)$
$f (x) - g (x)$
$= 2 x - 6$

$2 x - 6 > 0$ pour $x > 3$ . $C_{f}$ est au-dessous de $C_{g}$ sur $] - \infty; 3 [$ , au-dessus sur $] 3; + \infty [$ ; les droites se coupent en $(3; 5)$ , car $g (3) = 5$ .
b)
$f (x) - g (x)$
$= x^{2} - (2 x - 1)$
$f (x) - g (x)$
$= x^{2} - 2 x + 1$
$f (x) - g (x)$
$= (x - 1)^{2}$

Un carré est positif : $C_{f}$ est au-dessus de $C_{g}$ sur $R$ , avec un seul point commun, $(1; 1)$ . La droite touche la parabole sans la traverser.
c)
$f (x) - g (x)$
$= x^{2} - x - (- x + 4)$
$f (x) - g (x)$
$= x^{2} - 4$
$f (x) - g (x)$
$= (x - 2) (x + 2)$

$x + 2 = 0$ pour $x = - 2$ , et $x - 2 = 0$ pour $x = 2$ (tableau ci-dessous).

$C_{f}$ est au-dessous de $C_{g}$ sur $] - 2; 2 [$ , au-dessus sur $] - \infty; - 2 [$ et sur $] 2; + \infty [$ ; points d'intersection $(- 2; 6)$ et $(2; 2)$ .

→ L'ordonnée d'un point d'intersection se calcule avec $f$ ou avec $g$ : on doit trouver le même nombre, ce qui contrôle le calcul.

Exercice 12 — Une parabole et une droite

Soient $f$ et $g$ définies sur $R$ par $f (x) = x^{2} - 2 x - 2$ et $g (x) = x + 2$ .

1)
Dresser un tableau de valeurs de $f$ et de $g$ pour $x$ entier de $- 2$ à $5$ , puis tracer $C_{f}$ et $C_{g}$ dans un même repère.
2)
Résoudre graphiquement $f (x) = g (x)$ , puis $f (x) ⩽ g (x)$ .
3)
Démontrer que $f (x) - g (x) = (x + 1) (x - 4)$ .
4)
Dresser le tableau de signes de $f (x) - g (x)$ .
5)
En déduire la position relative de $C_{f}$ et $C_{g}$ ; comparer avec le 2).

Corrigé

1°)
$x$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
$f (x)$ $6$ $1$ $- 2$ $- 3$ $- 2$ $1$ $6$ $13$
$g (x)$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$

$C_{f}$ est une parabole, $C_{g}$ une droite (figure ci-contre). Les courbes se coupent en $(- 1; 1)$ et $(4; 6)$ : $S = {- 1; 4}$ .
$C_{f}$ est sur ou sous $C_{g}$ entre ces points : $S = [- 1; 4]$ (en rouge sur l'axe).
2°)
$f (x) - g (x)$
$= x^{2} - 2 x - 2 - (x + 2)$
$f (x) - g (x)$
$= x^{2} - 3 x - 4$
$(x + 1) (x - 4)$
$= x^{2} - 4 x + x - 4$
$(x + 1) (x - 4)$
$= x^{2} - 3 x - 4$

Les deux expressions sont égales : $f (x) - g (x) = (x + 1) (x - 4)$ .
3°)
$x + 1 = 0$ pour $x = - 1$ et $x - 4 = 0$ pour $x = 4$ :
4°)
$C_{f}$ est au-dessus de $C_{g}$ sur $] - \infty; - 1 [$ et sur $] 4; + \infty [$ , au-dessous sur $] - 1; 4 [$ ; elles se coupent en $(- 1; 1)$ et $(4; 6)$ . Le calcul démontre ce que la figure du 2) laissait voir.

Exercice 13 — Une fonction quotient

Soit $f$ la fonction définie par $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ .

1)
Déterminer l'ensemble de définition $D$ de $f$ .
2)
Calculer $f (0)$ ; $f (4)$ ; $f (2)$ .
3)
Les nombres $1$ ; $0$ ; $2$ ont-ils des antécédents ? Si oui, lesquels ?
4)
Justifier que, pour tout $x$ de $D$ , $f (x) = 2 + \frac{7}{x - 3}$ .
5)
En déduire la position de $C_{f}$ par rapport à la droite d'équation $y = 2$ .
6)
Calculer $f (x)$ pour $x = - 4$ ; $- 1$ ; $5$ ; $10$ (au centième près), puis tracer $C_{f}$ et la droite d'équation $y = 2$ .

Corrigé

Avec $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ :

1°)
$x - 3 = 0$ pour $x = 3$ : $D = R ∖ {3}$ .
2°)
$f (0) = \frac{1}{- 3} = - \frac{1}{3}$ $f (4) = \frac{9}{1} = 9$ $f (2) = \frac{5}{- 1} = - 5$
3°)
Pour $x \neq = 3$ :
- $f (x) = 1$ lorsque $2 x + 1 = x - 3$ , soit $x = - 4$ ;
- $f (x) = 0$ lorsque $2 x + 1 = 0$ , soit $x = - \frac{1}{2}$ ;
- $f (x) = 2$ lorsque $2 x + 1 = 2 (x - 3)$ , soit $2 x + 1 = 2 x - 6$ , ou $1 = - 6$ : c'est impossible, $2$ n'a aucun antécédent.
4°)
On réduit au même dénominateur :

$2 + \frac{7}{x - 3}$
$= \frac{2 ( x - 3 ) + 7}{x - 3}$
$2 + \frac{7}{x - 3}$
$= \frac{2 x + 1}{x - 3}$

c'est bien $f (x)$ .
5°)
$f (x) - 2 = \frac{7}{x - 3}$ a le signe de $x - 3$ :
- pour $x > 3$ , $f (x) - 2 > 0$ : $C_{f}$ est au-dessus de la droite $y = 2$ ;
- pour $x < 3$ , $f (x) - 2 < 0$ : $C_{f}$ est au-dessous.
La courbe ne coupe jamais la droite : on retrouve le 3).
6°)
$f (- 4) = 1$ ; $f (- 1) = 0, 25$ ; $f (5) = 5, 5$ ; $f (10) = 3$ .
Avec le 2) : $f (0) ≃ - 0, 33$ ; $f (2) = - 5$ ; $f (4) = 9$ .
La courbe a deux branches, de part et d'autre de la droite verticale $x = 3$ ; elles s'approchent de la droite $y = 2$ , la gauche par-dessous, la droite par-dessus.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f (x)$	$6$	$1$	$- 2$	$- 3$	$- 2$	$1$	$6$	$13$
$g (x)$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$

Chapitre 2 — Fonctions · coursIII Comparaison de deux fonctions

Définition 3 — Position relative de deux courbes

Propriété 2 — Deux façons de comparer

Méthode 5 — Comparer deux fonctions sur un graphique

Exemples corrigés

À vous de jouer

Méthode 6 — Position relative par le signe de f(x)−g(x)

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 10 — Comparer sur un graphique

Exercice 11 — Signe d'une différence

Exercice 12 — Une parabole et une droite

Exercice 13 — Une fonction quotient

Méthode 6 — Position relative par le signe de $f (x) - g (x)$