Chapitre 5 — Suites numériques · coursI Définition d'une suite

Sommaire du chapitre

I — Définition d'une suite
- Méthode 1 — Repérer les termes et les rangs
- Méthode 2 — Trouver le premier rang d'une suite
II — Suites définies explicitement
- Méthode 3 — Calculer un terme d'une suite explicite
- Méthode 4 — Exprimer $u_{n + 1}$ et $u_{n - 1}$ en fonction de $n$
III — Suites définies par récurrence
- Méthode 5 — Calculer des termes de proche en proche
- Méthode 6 — Traduire une situation par une relation de récurrence
IV — Calculatrice
- Méthode 7 — Calculer des termes avec la calculatrice
V — Programmer en Python
- Méthode 8 — Programmer le calcul d'un terme en Python
VI — Représentation graphique
- Méthode 9 — Représenter une suite et conjecturer ses variations
VII — Sens de variation : signe de $u_{n + 1} - u_{n}$
- Méthode 10 — Étudier le sens de variation par la différence
VIII — Sens de variation : quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$
- Méthode 11 — Étudier le sens de variation par le quotient
IX — Sens de variation : fonction associée
- Méthode 12 — Étudier le sens de variation à l'aide d'une fonction
X — Notion de limite
- Méthode 13 — Conjecturer la limite d'une suite
XI — Problèmes : déterminer un seuil
- Méthode 14 — Déterminer un seuil dans un problème

Définition 1 — Suite numérique

Une suite $(u_{n})$ associe à chaque entier naturel $n$ (à partir d'un certain rang $n_{0}$ ) un nombre réel noté $u_{n}$ .

C'est une fonction définie sur les entiers : on écrit $u_{n}$ plutôt que $u (n)$ .

$n$ est le rang (ou l'indice) ;
$u_{n}$ est le terme de rang $n$ ;
$(u_{n})$ , avec les parenthèses, désigne toute la suite.

rang $n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
terme $u_{n}$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$

la suite des carrés : $u_{3} = 9$

Méthode 1 — Repérer les termes et les rangs

Exemples corrigés

Une suite $(u_{n})$ , de premier terme $u_{0}$ , commence par : $3$ ; $8$ ; $15$ ; $24$ ; $35$ ; $48$ .

a)
Donner $u_{0}$ et $u_{4}$ .
b)
Quel est le rang du terme $24$ ?
c)
Quel est le 3^e terme de la suite ?
d)
Donner le terme qui suit $u_{4}$ , puis celui qui le précède.

Correction

On numérote les termes à partir de

0

le premier terme est

u_{0}

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$u_{n}$	$3$	$8$	$15$	$24$	$35$	$48$

u_{0} = 3

u_{4} = 35

on lit sous

n = 0

et sous

n = 4

24 = u_{3}

: le terme

24

est de rang

3

le rang est l'indice

Le 3^e terme est

u_{2} = 15

on compte

u_{0}

u_{1}

puis

u_{2}

Le terme suivant est

u_{5} = 48

; le précédent est

u_{3} = 24

u_{4 + 1}

u_{4 - 1}

À vous de jouer

Une suite $(v_{n})$ , de premier terme $v_{0}$ , commence par : $2$ ; $6$ ; $18$ ; $54$ ; $162$ ; $486$ .

a)
Donner $v_{0}$ et $v_{4}$ .
b)
Quel est le rang du terme $54$ ?
c)
Quel est le 3^e terme de la suite ?
d)
Donner le terme qui suit $v_{4}$ , puis celui qui le précède.

Correction

On numérote les termes à partir de

0

le premier terme est

v_{0}

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$v_{n}$	$2$	$6$	$18$	$54$	$162$	$486$

v_{0} = 2

v_{4} = 162

on lit sous

n = 0

et sous

n = 4

54 = v_{3}

: le terme

54

est de rang

3

le rang est l'indice

Le 3^e terme est

v_{2} = 18

on compte

v_{0}

v_{1}

puis

v_{2}

Le terme suivant est

v_{5} = 486

; le précédent est

v_{3} = 54

v_{4 + 1}

v_{4 - 1}

Méthode 2 — Trouver le premier rang d'une suite

Exemples corrigés

Pour chaque suite, donner le premier rang $n_{0}$ à partir duquel elle est définie.

a)
$u_{n} = \frac{2}{n}$
b)
$v_{n} = n - 4$
c)
$w_{n} = \frac{3}{n - 1}$

Correction

On ne divise pas par

0

: il faut

n \neq = 0

valeur interdite

(u_{n})

est définie à partir du rang

n_{0} = 1

premier entier différent de

0

Sous la racine, il faut

n - 4 ⩾ 0

, soit

n ⩾ 4

une racine carrée n'existe que pour un nombre positif

(v_{n})

est définie à partir du rang

n_{0} = 4

v_{4} = 0 = 0

Il faut

n - 1 ⩾ 0

(racine) et

n - 1 \neq = 0

(division), soit

n - 1 > 0

les deux conditions

n > 1

(w_{n})

est définie à partir du rang

n_{0} = 2

n

est entier : après

1

vient

2

À vous de jouer

Pour chaque suite, donner le premier rang $n_{0}$ à partir duquel elle est définie.

a)
$a_{n} = - \frac{4}{n}$
b)
$b_{n} = n - 6$
c)
$c_{n} = \frac{5}{n - 2}$

Correction

On ne divise pas par

0

: il faut

n \neq = 0

, donc

n_{0} = 1

valeur interdite

Il faut

n - 6 ⩾ 0

, soit

n ⩾ 6

n_{0} = 6

nombre positif sous la racine

Il faut

n - 2 > 0

, soit

n > 2

n_{0} = 3

racine et division ;

n

est entier

À faire : exercices 1 à 4

Exercice 1 — Repérer les termes et les rangs

Une suite $(u_{n})$ , de premier terme $u_{0}$ , commence par : $5$ ; $9$ ; $13$ ; $17$ ; $21$ ; $25$ .

1.
Donner $u_{0}$ et $u_{3}$ .
2.
Quel est le rang du terme $21$ ?
3.
Quel est le 4^e terme de la suite ?
4.
Donner le terme qui suit $u_{3}$ , puis celui qui le précède.

Corrigé

On numérote à partir de $0$ : $u_{0} = 5$ ; $u_{1} = 9$ ; $u_{2} = 13$ ; $u_{3} = 17$ ; $u_{4} = 21$ ; $u_{5} = 25$ .

1.
$u_{0} = 5$ et $u_{3} = 17$ .
2.
$21 = u_{4}$ : le terme $21$ est de $rang 4$ .
3.
Le 4^e terme est $u_{3} = 17$ (on compte $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ ).
4.
Le terme suivant est $u_{4} = 21$ ; le précédent est $u_{2} = 13$ .

Exercice 2 — Une suite qui commence à $u_{1}$

Une suite $(v_{n})$ , de premier terme $v_{1}$ , commence par : $1$ ; $4$ ; $9$ ; $16$ ; $25$ .

1.
Donner $v_{1}$ et $v_{4}$ .
2.
Quel est le 5^e terme de la suite ? Quel est son rang ?
3.
Conjecturer une expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ .

Corrigé

1.
$v_{1} = 1$ et $v_{4} = 16$ .
2.
Le premier terme est $v_{1}$ : le 5^e terme est $v_{5} = 25$ , de rang $5$ .
3.
Ce sont les carrés des rangs : on conjecture $v_{n} = n^{2}$ .

Exercice 3 — Premier rang

Pour chaque suite, donner le premier rang $n_{0}$ à partir duquel elle est définie.

a)
$u_{n} = \frac{5}{n}$
b)
$v_{n} = n - 3$
c)
$w_{n} = \frac{4}{n - 5}$
d)
$t_{n} = n + \frac{1}{n}$

Corrigé

a)
Il faut $n \neq = 0$ : $n_{0} = 1$ .
b)
Il faut $n - 3 ⩾ 0$ , soit $n ⩾ 3$ : $n_{0} = 3$ .
c)
Il faut $n - 5 > 0$ (racine et division), soit $n > 5$ : $n_{0} = 6$ .
d)
Il faut $n ⩾ 0$ (racine) et $n \neq = 0$ (division) : $n_{0} = 1$ .

Exercice 4 — Les décimales de $\frac{1}{7}$

On a $\frac{1}{7} = 0, 142857142857 \dots$ On note $u_{n}$ le $n$ -ième chiffre après la virgule ; ainsi $u_{1} = 1$ et $u_{2} = 4$ .

1.
Donner $u_{3}$ à $u_{8}$ . Quel est le premier rang de cette suite ?
2.
Calculer $u_{20}$ , puis $u_{100}$ , sans écrire toutes les décimales.

Corrigé

1.
$u_{3} = 2$ ; $u_{4} = 8$ ; $u_{5} = 5$ ; $u_{6} = 7$ ; $u_{7} = 1$ ; $u_{8} = 4$ . Le premier rang est $1$ ( $u_{1}$ est la première décimale).
2.
Les chiffres $1$ ; $4$ ; $2$ ; $8$ ; $5$ ; $7$ se répètent tous les $6$ rangs. $20 = 3 \times 6 + 2$ , donc $u_{20} = u_{2} = 4$ ; $100 = 16 \times 6 + 4$ , donc $u_{100} = u_{4} = 8$ .

→ Le reste de la division par $6$ donne la position dans le motif.

Chapitre 5 — Suites numériques · coursI Définition d'une suite

Définition 1 — Suite numérique

Méthode 1 — Repérer les termes et les rangs

Exemples corrigés

À vous de jouer

Méthode 2 — Trouver le premier rang d'une suite

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 1 — Repérer les termes et les rangs

Exercice 2 — Une suite qui commence à u1​

Exercice 3 — Premier rang

Exercice 4 — Les décimales de 71​

Exercice 2 — Une suite qui commence à $u_{1}$

Exercice 4 — Les décimales de $\frac{1}{7}$