Chapitre 5 — Suites numériques · coursIII Suites définies par récurrence

Sommaire du chapitre

I — Définition d'une suite
- Méthode 1 — Repérer les termes et les rangs
- Méthode 2 — Trouver le premier rang d'une suite
II — Suites définies explicitement
- Méthode 3 — Calculer un terme d'une suite explicite
- Méthode 4 — Exprimer $u_{n + 1}$ et $u_{n - 1}$ en fonction de $n$
III — Suites définies par récurrence
- Méthode 5 — Calculer des termes de proche en proche
- Méthode 6 — Traduire une situation par une relation de récurrence
IV — Calculatrice
- Méthode 7 — Calculer des termes avec la calculatrice
V — Programmer en Python
- Méthode 8 — Programmer le calcul d'un terme en Python
VI — Représentation graphique
- Méthode 9 — Représenter une suite et conjecturer ses variations
VII — Sens de variation : signe de $u_{n + 1} - u_{n}$
- Méthode 10 — Étudier le sens de variation par la différence
VIII — Sens de variation : quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$
- Méthode 11 — Étudier le sens de variation par le quotient
IX — Sens de variation : fonction associée
- Méthode 12 — Étudier le sens de variation à l'aide d'une fonction
X — Notion de limite
- Méthode 13 — Conjecturer la limite d'une suite
XI — Problèmes : déterminer un seuil
- Méthode 14 — Déterminer un seuil dans un problème

Définition 3 — Suite définie par récurrence

Une suite est définie par récurrence lorsqu'on donne :

son premier terme, par exemple $u_{0} = 2$ ;
une relation de récurrence, qui donne chaque terme à partir du précédent, par exemple $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 1$ .

On calcule alors les termes de proche en proche : pour connaître $u_{20}$ , il faut d'abord $u_{19}$ , donc $u_{18}$ …

Méthode 5 — Calculer des termes de proche en proche

Exemples corrigés

Pour chaque suite, calculer les trois termes qui suivent le premier.

a)
$u_{0} = 4$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 3$ .
b)
$v_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n + 1} = v_{n} + 2 n + 1$ .
c)
$w_{1} = 10$ et, pour tout entier $n ⩾ 1$ , $w_{n + 1} = \frac{w _{n}}{2} + 1$ .

Correction

u_{1}

= 2 u_{0} - 3

la relation avec

n = 0

u_{1}

= 2 \times 4 - 3 = 5

on remplace

u_{0}

par sa valeur

u_{2}

= 2 u_{1} - 3

la relation avec

n = 1

u_{2}

= 2 \times 5 - 3 = 7

u_{3}

= 2 u_{2} - 3

u_{3}

= 2 \times 7 - 3 = 11

v_{1}

= v_{0} + 2 \times 0 + 1

n = 0

: on remplace aussi

n

par

0

v_{1}

= 1 + 0 + 1 = 2

v_{2}

= v_{1} + 2 \times 1 + 1

n = 1

: le rang du terme précédent

v_{2}

= 2 + 2 + 1 = 5

v_{3}

= v_{2} + 2 \times 2 + 1

n = 2

v_{3}

= 5 + 4 + 1 = 10

w_{2}

= \frac{w _{1}}{2} + 1

le premier terme est

w_{1}

: on part de

n = 1

w_{2}

= \frac{10}{2} + 1 = 6

w_{3}

= \frac{6}{2} + 1 = 4

w_{4}

= \frac{4}{2} + 1 = 3

À vous de jouer

Pour chaque suite, calculer les trois termes qui suivent le premier.

a)
$a_{0} = 3$ et, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 5$ .
b)
$b_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ , $b_{n + 1} = b_{n} + 4 n - 1$ .
c)
$c_{1} = 20$ et, pour tout entier $n ⩾ 1$ , $c_{n + 1} = \frac{c _{n}}{2} + 2$ .

Correction

a_{1}

= 3 a_{0} - 5

la relation avec

n = 0

a_{1}

= 3 \times 3 - 5 = 4

a_{2}

= 3 \times 4 - 5 = 7

n = 1

a_{3}

= 3 \times 7 - 5 = 16

n = 2

b_{1}

= b_{0} + 4 \times 0 - 1

n = 0

: on remplace aussi

n

par

0

b_{1}

= 2 + 0 - 1 = 1

b_{2}

= b_{1} + 4 \times 1 - 1

n = 1

b_{2}

= 1 + 4 - 1 = 4

b_{3}

= b_{2} + 4 \times 2 - 1

n = 2

b_{3}

= 4 + 8 - 1 = 11

c_{2}

= \frac{c _{1}}{2} + 2

on part de

n = 1

c_{2}

= \frac{20}{2} + 2 = 12

c_{3}

= \frac{12}{2} + 2 = 8

c_{4}

= \frac{8}{2} + 2 = 6

Méthode 6 — Traduire une situation par une relation de récurrence

Exemples corrigés

Une médiathèque compte $5000$ abonnés au début de 2026. Chaque année, $20 %$ des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement et $1200$ nouveaux lecteurs s'inscrivent. On note $u_{n}$ le nombre d'abonnés au début de l'année $2026 + n$ .

a)
Donner $u_{0}$ , puis calculer $u_{1}$ .
b)
Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 1200$ .
c)
Calculer $u_{2}$ .

Correction

u_{0} = 5000

début de 2026 :

n = 0

u_{1}

= 5000 - 0, 2 \times 5000 + 1200

on retire

20 %

, on ajoute les nouveaux

u_{1}

= 5000 - 1000 + 1200 = 5200

Retirer

20 %

, c'est multiplier par

1 - 0, 2 = 0, 8

: il reste

0, 8 u_{n}

abonnés.

coefficient multiplicateur

On ajoute les

1200

inscrits :

u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 1200

d'une année à la suivante

u_{2}

= 0, 8 \times 5200 + 1200

la relation avec

n = 1

u_{2}

= 4160 + 1200 = 5360

À vous de jouer

Une citerne de jardin contient $2000$ L d'eau le 1^er juin. Chaque semaine, on utilise $10 %$ de l'eau pour arroser et la pluie apporte $150$ L. On note $v_{n}$ le volume d'eau, en litres, au bout de $n$ semaines.

a)
Donner $v_{0}$ , puis calculer $v_{1}$ .
b)
Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n + 1} = 0, 9 v_{n} + 150$ .
c)
Calculer $v_{2}$ .

Correction

v_{0} = 2000

au 1^er juin :

n = 0

v_{1}

= 2000 - 0, 1 \times 2000 + 150

on retire

10 %

, on ajoute la pluie

v_{1}

= 2000 - 200 + 150 = 1950

Retirer

10 %

, c'est multiplier par

1 - 0, 1 = 0, 9

: il reste

0, 9 v_{n}

litres.

coefficient multiplicateur

On ajoute les

150

L de pluie :

v_{n + 1} = 0, 9 v_{n} + 150

d'une semaine à la suivante

v_{2}

= 0, 9 \times 1950 + 150

la relation avec

n = 1

v_{2}

= 1755 + 150 = 1905

À faire : exercices 9 à 12

Exercice 9 — Calculer de proche en proche

Pour chaque suite, calculer les trois termes qui suivent le premier.

a)
$u_{0} = 3$ et, pour tout $n$ , $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 1$ .
b)
$v_{0} = 2$ et, pour tout $n$ , $v_{n + 1} = v_{n} + 3 n - 1$ .
c)
$w_{1} = 16$ et, pour tout $n ⩾ 1$ , $w_{n + 1} = \frac{w _{n}}{2} + 4$ .

Corrigé

a)
$u_{1} = 2 \times 3 - 1 = 5$ ; $u_{2} = 2 \times 5 - 1 = 9$ ; $u_{3} = 2 \times 9 - 1 = 17$ .
b)
$v_{1} = v_{0} + 3 \times 0 - 1 = 1$ ; $v_{2} = v_{1} + 3 \times 1 - 1 = 3$ ; $v_{3} = v_{2} + 3 \times 2 - 1 = 8$ .
c)
$w_{2} = \frac{16}{2} + 4 = 12$ ; $w_{3} = \frac{12}{2} + 4 = 10$ ; $w_{4} = \frac{10}{2} + 4 = 9$ .

→ En b), le $n$ de la relation est le rang du terme précédent.

Exercice 10 — Avec un carré, avec une fraction

Pour chaque suite, calculer les trois termes qui suivent le premier.

a)
$a_{0} = 1$ et, pour tout $n$ , $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + 1$ .
b)
$b_{0} = 1$ et, pour tout $n$ , $b_{n + 1} = \frac{1}{1 + b _{n}}$ .

Corrigé

a)
$a_{1} = 1^{2} + 1 = 2$ ; $a_{2} = 2^{2} + 1 = 5$ ; $a_{3} = 5^{2} + 1 = 26$ .
b)
$b_{1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$ ; $b_{2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$ ; $b_{3} = \frac{1}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{3}{5}$ .

Exercice 11 — Traduire une situation

Pour chaque situation, donner le premier terme $u_{0}$ et la relation de récurrence.

a)
Un salaire de $1800$ € augmente de $2 %$ par an ; $u_{n}$ est le salaire au bout de $n$ années.
b)
Une ville compte $12000$ habitants ; chaque année, $5 %$ des habitants partent et $900$ personnes arrivent.
c)
Un réservoir contient $500$ L d'eau et en perd $40$ L par jour.

Corrigé

a)
$u_{0} = 1800$ et $u_{n + 1} = 1, 02 u_{n}$ ( $+ 2 %$ : on multiplie par $1, 02$ ).
b)
$u_{0} = 12000$ et $u_{n + 1} = 0, 95 u_{n} + 900$ (il reste $95 %$ , puis on ajoute les arrivants).
c)
$u_{0} = 500$ et $u_{n + 1} = u_{n} - 40$ .

Exercice 12 — Une forêt

Une forêt compte $5000$ arbres en 2026. Chaque année, on abat $8 %$ des arbres et on en plante $300$ . On note $u_{n}$ le nombre d'arbres en $2026 + n$ .

1.
Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
2.
Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 0, 92 u_{n} + 300$ .

Corrigé

1.
$u_{1} = 5000 - 0, 08 \times 5000 + 300 = 5000 - 400 + 300 = 4900$ ; $u_{2} = 0, 92 \times 4900 + 300 = 4508 + 300 = 4808$ .
2.
Abattre $8 %$ , c'est multiplier par $1 - 0, 08 = 0, 92$ ; on ajoute ensuite les $300$ arbres plantés : $u_{n + 1} = 0, 92 u_{n} + 300$ .