Chapitre 5 — Suites numériques · coursX Notion de limite

Sommaire du chapitre

I — Définition d'une suite
- Méthode 1 — Repérer les termes et les rangs
- Méthode 2 — Trouver le premier rang d'une suite
II — Suites définies explicitement
- Méthode 3 — Calculer un terme d'une suite explicite
- Méthode 4 — Exprimer $u_{n + 1}$ et $u_{n - 1}$ en fonction de $n$
III — Suites définies par récurrence
- Méthode 5 — Calculer des termes de proche en proche
- Méthode 6 — Traduire une situation par une relation de récurrence
IV — Calculatrice
- Méthode 7 — Calculer des termes avec la calculatrice
V — Programmer en Python
- Méthode 8 — Programmer le calcul d'un terme en Python
VI — Représentation graphique
- Méthode 9 — Représenter une suite et conjecturer ses variations
VII — Sens de variation : signe de $u_{n + 1} - u_{n}$
- Méthode 10 — Étudier le sens de variation par la différence
VIII — Sens de variation : quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$
- Méthode 11 — Étudier le sens de variation par le quotient
IX — Sens de variation : fonction associée
- Méthode 12 — Étudier le sens de variation à l'aide d'une fonction
X — Notion de limite
- Méthode 13 — Conjecturer la limite d'une suite
XI — Problèmes : déterminer un seuil
- Méthode 14 — Déterminer un seuil dans un problème

Définition 6 — Limite d'une suite

On s'intéresse aux termes $u_{n}$ quand $n$ devient de plus en plus grand.

La suite tend vers $ℓ$ (on dit aussi qu'elle converge vers $ℓ$ ) si $u_{n}$ devient aussi proche de $ℓ$ que l'on veut, pour $n$ assez grand. On note $n \to + \infty lim u_{n} = ℓ$ .
La suite tend vers $+ \infty$ si $u_{n}$ devient aussi grand que l'on veut : $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ (de même pour $- \infty$ ).
Une suite peut n'avoir aucune limite : $(- 1)^{n}$ vaut $1$ puis $- 1$ puis $1$ …

$u_{n} = 3 - \frac{2}{n + 1}$ : les points se rapprochent de la droite d'équation $y = 3$

Exemples à connaître : $n \to + \infty lim \frac{1}{n} = 0$ ; $n \to + \infty lim n^{2} = + \infty$ ; $n \to + \infty lim (- n) = - \infty$ .

Méthode 13 — Conjecturer la limite d'une suite

Exemples corrigés

Pour chaque suite, définie pour tout entier naturel $n$ , calculer les termes indiqués, puis conjecturer sa limite.

a)
$u_{n} = 3 - \frac{2}{n + 1}$ : $u_{9}$ , $u_{99}$ et $u_{999}$ .
b)
$v_{n} = n^{2} - 5$ : $v_{10}$ , $v_{100}$ et $v_{1000}$ .
c)
$w_{n} = 2 \times (- 1)^{n}$ : $w_{0}$ à $w_{3}$ .

Correction

u_{9}

= 3 - \frac{2}{10} = 2, 8

on remplace

n

par

9

u_{99}

= 3 - \frac{2}{100} = 2, 98

u_{999}

= 3 - \frac{2}{1 000} = 2, 998

Les termes se rapprochent de

3

: on conjecture

n \to + \infty lim u_{n} = 3

\frac{2}{n + 1}

devient très petit

v_{10}

= 1 0^{2} - 5 = 95

on remplace

n

par

10

v_{100}

= 10 0^{2} - 5 = 9995

v_{1000}

= 100 0^{2} - 5 = 999995

Les termes deviennent aussi grands que l'on veut : on conjecture

n \to + \infty lim v_{n} = + \infty

n^{2}

grandit sans fin

w_{0} = 2

;

w_{1} = - 2

;

w_{2} = 2

;

w_{3} = - 2

(- 1)^{n}

vaut

1

n

est pair,

- 1

sinon

Les termes alternent entre

2

- 2

: la suite

(w_{n})

n'a pas de limite.

ils ne se rapprochent d'aucun nombre

À vous de jouer

Pour chaque suite, définie pour tout entier naturel $n$ , calculer les termes indiqués, puis conjecturer sa limite.

a)
$a_{n} = 5 + \frac{4}{n + 1}$ : $a_{9}$ , $a_{99}$ et $a_{999}$ .
b)
$b_{n} = 2 n^{2} + 1$ : $b_{10}$ , $b_{100}$ et $b_{1000}$ .
c)
$c_{n} = 3 \times (- 1)^{n}$ : $c_{0}$ à $c_{3}$ .

Correction

a_{9}

= 5 + \frac{4}{10} = 5, 4

on remplace

n

par

9

a_{99}

= 5 + \frac{4}{100} = 5, 04

a_{999}

= 5 + \frac{4}{1 000} = 5, 004

Les termes se rapprochent de

5

: on conjecture

n \to + \infty lim a_{n} = 5

\frac{4}{n + 1}

devient très petit

b_{10}

= 2 \times 1 0^{2} + 1 = 201

on remplace

n

par

10

b_{100}

= 2 \times 10 0^{2} + 1 = 20001

b_{1000}

= 2 \times 100 0^{2} + 1 = 2000001

Les termes deviennent aussi grands que l'on veut : on conjecture

n \to + \infty lim b_{n} = + \infty

n^{2}

grandit sans fin

c_{0} = 3

;

c_{1} = - 3

;

c_{2} = 3

;

c_{3} = - 3

(- 1)^{n}

vaut

1

- 1

Les termes alternent entre

3

- 3

: la suite

(c_{n})

n'a pas de limite.

ils ne se rapprochent d'aucun nombre

À faire : exercices 37 à 40

Exercice 37 — Conjecturer une limite

Pour chaque suite, calculer les termes indiqués, puis conjecturer sa limite.

a)
$u_{n} = 2 + \frac{5}{n + 1}$ : $u_{9}$ , $u_{99}$ et $u_{999}$ .
b)
$v_{n} = 3 n^{2} + 1$ : $v_{10}$ , $v_{100}$ et $v_{1000}$ .
c)
$w_{n} = 4 \times (- 1)^{n}$ : $w_{0}$ à $w_{3}$ .

Corrigé

a)
$u_{9} = 2, 5$ ; $u_{99} = 2, 05$ ; $u_{999} = 2, 005$ : limite $2$ .
b)
$v_{10} = 301$ ; $v_{100} = 30001$ ; $v_{1000} = 3000001$ : limite $+ \infty$ .
c)
$4$ ; $- 4$ ; $4$ ; $- 4$ : $pas de limite$ .

Exercice 38 — Limite finie ou infinie

Pour chaque suite, calculer le terme de rang $10$ , de rang $100$ et de rang $1000$ , puis conjecturer sa limite.

a)
$a_{n} = 5 - n^{2}$
b)
$b_{n} = \frac{1}{n ^{2}}$
c)
$c_{n} = \frac{2 n + 1}{n}$

Corrigé

a)
$- 95$ ; $- 9995$ ; $- 999995$ : limite $- \infty$ .
b)
$0, 01$ ; $0, 0001$ ; $0, 000001$ : limite $0$ .
c)
$2, 1$ ; $2, 01$ ; $2, 001$ : limite $2$ .

Exercice 39 — Avec la calculatrice

La suite $(u_{n})$ est définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 3$ .

1.
À la calculatrice, donner $u_{10}$ , $u_{20}$ et $u_{30}$ (arrondis à $1 0^{- 6}$ ).
2.
Conjecturer la limite de la suite.

Corrigé

1.
$u_{10} ≃ 5, 995117$ ; $u_{20} ≃ 5, 999995$ ; $u_{30} ≃ 6, 000000$ .
2.
On conjecture $n \to + \infty lim u_{n} = 6$ .

Exercice 40 — Alterner et converger

Pour tout entier $n ⩾ 1$ , on pose $u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ .

1.
Calculer $u_{10}$ , $u_{11}$ , $u_{100}$ et $u_{101}$ .
2.
La suite change-t-elle de signe ? Semble-t-elle avoir une limite ?

Corrigé

1.
$u_{10} = 0, 1$ ; $u_{11} ≃ - 0, 091$ ; $u_{100} = 0, 01$ ; $u_{101} ≃ - 0, 0099$ .
2.
Le signe change à chaque rang, mais les termes se rapprochent de $0$ : on conjecture $n \to + \infty lim u_{n} = 0$ .

→ Une suite qui alterne peut avoir une limite : il suffit que les écarts à $0$ deviennent aussi petits que l'on veut.