Chapitre 5 — Suites numériques · coursII Suites définies explicitement

Sommaire du chapitre

I — Définition d'une suite
- Méthode 1 — Repérer les termes et les rangs
- Méthode 2 — Trouver le premier rang d'une suite
II — Suites définies explicitement
- Méthode 3 — Calculer un terme d'une suite explicite
- Méthode 4 — Exprimer $u_{n + 1}$ et $u_{n - 1}$ en fonction de $n$
III — Suites définies par récurrence
- Méthode 5 — Calculer des termes de proche en proche
- Méthode 6 — Traduire une situation par une relation de récurrence
IV — Calculatrice
- Méthode 7 — Calculer des termes avec la calculatrice
V — Programmer en Python
- Méthode 8 — Programmer le calcul d'un terme en Python
VI — Représentation graphique
- Méthode 9 — Représenter une suite et conjecturer ses variations
VII — Sens de variation : signe de $u_{n + 1} - u_{n}$
- Méthode 10 — Étudier le sens de variation par la différence
VIII — Sens de variation : quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$
- Méthode 11 — Étudier le sens de variation par le quotient
IX — Sens de variation : fonction associée
- Méthode 12 — Étudier le sens de variation à l'aide d'une fonction
X — Notion de limite
- Méthode 13 — Conjecturer la limite d'une suite
XI — Problèmes : déterminer un seuil
- Méthode 14 — Déterminer un seuil dans un problème

Définition 2 — Suite définie explicitement

Une suite est définie explicitement lorsque $u_{n}$ s'écrit directement en fonction de $n$ : $u_{n} = f (n)$ . L'expression de $u_{n}$ s'appelle le terme général.

Exemple : avec $u_{n} = 2 n + 1$ , on obtient $u_{10} = 21$ sans calculer les termes précédents.

Méthode 3 — Calculer un terme d'une suite explicite

Exemples corrigés

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $u_{n} = n^{2} - 3 n + 5$ et $v_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 2}$ .

a)
Calculer $u_{0}$ et $u_{4}$ .
b)
Calculer $v_{0}$ et $v_{3}$ .

Correction

u_{0}

= 0^{2} - 3 \times 0 + 5

on remplace

n

par

0

u_{0}

= 5

u_{4}

= 4^{2} - 3 \times 4 + 5

on remplace

n

par

4

u_{4}

= 16 - 12 + 5 = 9

v_{0}

= \frac{2 \times 0 + 1}{0 + 2}

on remplace

n

par

0

v_{0}

= \frac{1}{2}

v_{3}

= \frac{2 \times 3 + 1}{3 + 2}

on remplace

n

par

3

v_{3}

= \frac{7}{5} = 1, 4

À vous de jouer

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $a_{n} = 2 n^{2} - n + 1$ et $b_{n} = \frac{3 n - 1}{n + 1}$ .

a)
Calculer $a_{0}$ et $a_{3}$ .
b)
Calculer $b_{0}$ et $b_{4}$ .

Correction

a_{0}

= 2 \times 0^{2} - 0 + 1

on remplace

n

par

0

a_{0}

= 1

a_{3}

= 2 \times 3^{2} - 3 + 1

on remplace

n

par

3

a_{3}

= 18 - 3 + 1 = 16

b_{0}

= \frac{3 \times 0 - 1}{0 + 1}

on remplace

n

par

0

b_{0}

= - 1

b_{4}

= \frac{3 \times 4 - 1}{4 + 1}

on remplace

n

par

4

b_{4}

= \frac{11}{5} = 2, 2

Méthode 4 — Exprimer $u_{n + 1}$ et $u_{n - 1}$ en fonction de $n$

Exemples corrigés

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $u_{n} = n^{2} + 3$ et $v_{n} = \frac{n}{n + 2}$ .

a)
Exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $n$ , puis le comparer à $u_{n} + 1$ .
b)
Exprimer $u_{n - 1}$ en fonction de $n$ (pour $n ⩾ 1$ ).
c)
Exprimer $v_{n + 1}$ en fonction de $n$ .

Correction

u_{n + 1}

= (n + 1)^{2} + 3

on remplace

n

par

(n + 1)

u_{n + 1}

= n^{2} + 2 n + 1 + 3

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

u_{n + 1}

= n^{2} + 2 n + 4

u_{n} + 1

= n^{2} + 3 + 1

on ajoute

1

au terme

u_{n}

u_{n} + 1

= n^{2} + 4

Les deux expressions sont différentes :

u_{n + 1} \neq = u_{n} + 1

elles diffèrent de

2 n

u_{n - 1}

= (n - 1)^{2} + 3

on remplace

n

par

(n - 1)

u_{n - 1}

= n^{2} - 2 n + 1 + 3

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

u_{n - 1}

= n^{2} - 2 n + 4

v_{n + 1}

= \frac{n + 1}{( n + 1 ) + 2}

on remplace chaque

n

par

(n + 1)

v_{n + 1}

= \frac{n + 1}{n + 3}

À vous de jouer

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $a_{n} = n^{2} + n$ et $b_{n} = \frac{2 n}{n + 1}$ .

a)
Exprimer $a_{n + 1}$ en fonction de $n$ , puis le comparer à $a_{n} + 1$ .
b)
Exprimer $a_{n - 1}$ en fonction de $n$ (pour $n ⩾ 1$ ).
c)
Exprimer $b_{n + 1}$ en fonction de $n$ .

Correction

a_{n + 1}

= (n + 1)^{2} + (n + 1)

on remplace

n

par

(n + 1)

a_{n + 1}

= n^{2} + 2 n + 1 + n + 1

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a_{n + 1}

= n^{2} + 3 n + 2

a_{n} + 1

= n^{2} + n + 1

on ajoute

1

au terme

a_{n}

Les deux expressions sont différentes :

a_{n + 1} \neq = a_{n} + 1

elles diffèrent de

2 n + 1

a_{n - 1}

= (n - 1)^{2} + (n - 1)

on remplace

n

par

(n - 1)

a_{n - 1}

= n^{2} - 2 n + 1 + n - 1

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a_{n - 1}

= n^{2} - n

b_{n + 1}

= \frac{2 ( n + 1 )}{( n + 1 ) + 1}

on remplace chaque

n

par

(n + 1)

b_{n + 1}

= \frac{2 n + 2}{n + 2}

À faire : exercices 5 à 8

Exercice 5 — Calculer des termes

Pour chaque suite, calculer le terme de rang $0$ , de rang $1$ et de rang $5$ .

a)
$u_{n} = 4 n - 3$
b)
$v_{n} = n^{2} - 2 n + 3$
c)
$w_{n} = \frac{3 n + 2}{n + 1}$
d)
$t_{n} = 2^{n} - 1$

Corrigé

a)
$u_{0} = - 3$ ; $u_{1} = 1$ ; $u_{5} = 4 \times 5 - 3 = 17$ .
b)
$v_{0} = 3$ ; $v_{1} = 2$ ; $v_{5} = 25 - 10 + 3 = 18$ .
c)
$w_{0} = \frac{2}{1} = 2$ ; $w_{1} = \frac{5}{2}$ ; $w_{5} = \frac{17}{6}$ .
d)
$t_{0} = 2^{0} - 1 = 0$ ; $t_{1} = 1$ ; $t_{5} = 32 - 1 = 31$ .

Exercice 6 — Retrouver un rang

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $u_{n} = 3 n + 7$ .

1.
Calculer $u_{10}$ .
2.
Pour quel rang $n$ a-t-on $u_{n} = 52$ ?
3.
Le nombre $101$ est-il un terme de la suite ? Justifier.

Corrigé

1.
$u_{10} = 3 \times 10 + 7 = 37$ .
2.
$3 n + 7$
$= 52$
on résout
$3 n$
$= 45$
$n$
$= 15$

$u_{15} = 52$ .
3.
$3 n + 7 = 101$ donne $3 n = 94$ , soit $n = \frac{94}{3}$ , qui n'est pas entier : $101 n’est pas un terme$ .

Exercice 7 — Exprimer $u_{n + 1}$ et $u_{n - 1}$

Pour chaque suite, exprimer le terme de rang $n + 1$ et celui de rang $n - 1$ en fonction de $n$ (pour $n ⩾ 1$ ).

a)
$u_{n} = 5 n - 2$
b)
$v_{n} = n^{2} - 4 n$
c)
$w_{n} = \frac{n + 3}{2 n + 1}$

Corrigé

a)
$u_{n + 1} = 5 (n + 1) - 2 = 5 n + 3$ ; $u_{n - 1} = 5 (n - 1) - 2 = 5 n - 7$ .
b)
$v_{n + 1}$
$= (n + 1)^{2} - 4 (n + 1)$
on remplace $n$ par $(n + 1)$
$v_{n + 1}$
$= n^{2} + 2 n + 1 - 4 n - 4$
$v_{n + 1}$
$= n^{2} - 2 n - 3$
$v_{n - 1}$
$= (n - 1)^{2} - 4 (n - 1)$
$v_{n - 1}$
$= n^{2} - 2 n + 1 - 4 n + 4$
$v_{n - 1}$
$= n^{2} - 6 n + 5$

$v_{n + 1} = n^{2} - 2 n - 3$ et $v_{n - 1} = n^{2} - 6 n + 5$ .
c)
$w_{n + 1} = \frac{( n + 1 ) + 3}{2 ( n + 1 ) + 1} = \frac{n + 4}{2 n + 3}$ ; $w_{n - 1} = \frac{( n - 1 ) + 3}{2 ( n - 1 ) + 1} = \frac{n + 2}{2 n - 1}$ .

Exercice 8 — Ne pas confondre

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $u_{n} = n^{2} + 2 n$ . Exprimer en fonction de $n$ : a) $u_{n + 1}$ b) $u_{n} + 1$ c) $u_{2 n}$ d) $2 u_{n}$ .

Corrigé

a)
$u_{n + 1}$
$= (n + 1)^{2} + 2 (n + 1)$
$u_{n + 1}$
$= n^{2} + 2 n + 1 + 2 n + 2 = n^{2} + 4 n + 3$
b)
$u_{n} + 1 = n^{2} + 2 n + 1$ .
c)
$u_{2 n} = (2 n)^{2} + 2 \times 2 n = 4 n^{2} + 4 n$ .
d)
$2 u_{n} = 2 n^{2} + 4 n$ .

→ Quatre expressions différentes : on remplace $n$ (a, c) ou l'on opère sur le terme (b, d).

Chapitre 5 — Suites numériques · coursII Suites définies explicitement

Définition 2 — Suite définie explicitement

Méthode 3 — Calculer un terme d'une suite explicite

Exemples corrigés

À vous de jouer

Méthode 4 — Exprimer un+1​ et un−1​ en fonction de n

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 5 — Calculer des termes

Exercice 6 — Retrouver un rang

Exercice 7 — Exprimer un+1​ et un−1​

Exercice 8 — Ne pas confondre

Méthode 4 — Exprimer $u_{n + 1}$ et $u_{n - 1}$ en fonction de $n$

Exercice 7 — Exprimer $u_{n + 1}$ et $u_{n - 1}$