Chapitre 5 — Suites numériques · coursVI Représentation graphique

Sommaire du chapitre

Dans un repère, la représentation graphique de la suite $(u_{n})$ est le nuage des points de coordonnées $(n; u_{n})$ .

Ces points sont isolés : $n$ ne prend que des valeurs entières, on ne les relie donc pas.

Ci-contre : $u_{n} = 0, 5 n^{2} - 3 n + 5$ , de $u_{0}$ à $u_{6}$ .

La suite $(u_{n})$ est définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 3$ .

Correction

u_{1} = 0, 5 \times 1 + 3 = 3, 5

, puis de même pour les suivants.

de proche en proche, ou avec la calculatrice

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$u_{n}$	$1$	$3, 5$	$4, 75$	$5, 38$	$5, 69$	$5, 84$

b) et c)

On place un point par colonne du tableau : $(0; 1)$ , $(1; 3, 5)$ , $(2; 4, 75)$ …

Les points montent de gauche à droite : la suite semble croissante. C'est une conjecture, démontrée à la partie VII.

La suite $(v_{n})$ est définie par $v_{0} = 8$ et, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n + 1} = 0, 5 v_{n} + 1$ .

Correction

v_{1} = 0, 5 \times 8 + 1 = 5

, puis de même pour les suivants.

de proche en proche

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$v_{n}$	$8$	$5$	$3, 5$	$2, 75$	$2, 38$	$2, 19$

b) et c)

On place un point par colonne du tableau : $(0; 8)$ , $(1; 5)$ , $(2; 3, 5)$ …

Les points descendent de gauche à droite : la suite semble décroissante.

À faire : exercices 21 à 24

La suite $(u_{n})$ est définie par $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 2$ .

Corrigé

1.
$u_{0} = 2$ ; $u_{1} = 3$ ; $u_{2} = 3, 5$ ; $u_{3} = 3, 75$ ; $u_{4} = 3, 875$ ; $u_{5} = 3, 9375$ .
2.
Voir le graphique.
3.
Les points montent : la suite semble $croissante$ (et se rapprocher de $4$ ).

Pour tout entier $n$ , on pose $v_{n} = \frac{( n - 3 ) ^{2}}{2}$ .

Corrigé

1.
$4, 5$ ; $2$ ; $0, 5$ ; $0$ ; $0, 5$ ; $2$ ; $4, 5$ .
2.
Voir le graphique.
3.
La suite $d \overset{e}{ˊ} cro \overset{ı}{ˆ} t jusqu’au rang 3$ , puis $cro \overset{ı}{ˆ} t$ .

On a représenté les premiers termes d'une suite $(u_{n})$ .

Corrigé

1.
$u_{0} = 1$ ; $u_{2} = 4$ ; $u_{5} = 1$ .
2.
$u_{n} = 4$ pour $n = 2$ et $n = 3$ .
3.
La suite croît de $u_{0}$ à $u_{2}$ , reste égale à $4$ de $u_{2}$ à $u_{3}$ , puis décroît jusqu'à $u_{6} = 0$ .

Pour tout entier $n$ , on pose $u_{n} = (- 1)^{n} \times n$ .

1.
Calculer $u_{0}$ à $u_{6}$ , puis représenter ces termes.
2.
La suite est-elle croissante ? décroissante ?
3.
Sur quelle droite se trouvent les points de rang pair ? ceux de rang impair ?

Corrigé

1.
$0$ ; $- 1$ ; $2$ ; $- 3$ ; $4$ ; $- 5$ ; $6$ .
2.
Ni l'un ni l'autre : $u_{1} < u_{0}$ mais $u_{2} > u_{1}$ .
3.
Rangs pairs : $u_{n} = n$ , points sur $y = x$ ; rangs impairs : $u_{n} = - n$ , points sur $y = - x$ .