Chapitre 5 — Suites numériques · coursVII Sens de variation : signe de $u_{n + 1} - u_{n}$

Sommaire du chapitre

I — Définition d'une suite
- Méthode 1 — Repérer les termes et les rangs
- Méthode 2 — Trouver le premier rang d'une suite
II — Suites définies explicitement
- Méthode 3 — Calculer un terme d'une suite explicite
- Méthode 4 — Exprimer $u_{n + 1}$ et $u_{n - 1}$ en fonction de $n$
III — Suites définies par récurrence
- Méthode 5 — Calculer des termes de proche en proche
- Méthode 6 — Traduire une situation par une relation de récurrence
IV — Calculatrice
- Méthode 7 — Calculer des termes avec la calculatrice
V — Programmer en Python
- Méthode 8 — Programmer le calcul d'un terme en Python
VI — Représentation graphique
- Méthode 9 — Représenter une suite et conjecturer ses variations
VII — Sens de variation : signe de $u_{n + 1} - u_{n}$
- Méthode 10 — Étudier le sens de variation par la différence
VIII — Sens de variation : quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$
- Méthode 11 — Étudier le sens de variation par le quotient
IX — Sens de variation : fonction associée
- Méthode 12 — Étudier le sens de variation à l'aide d'une fonction
X — Notion de limite
- Méthode 13 — Conjecturer la limite d'une suite
XI — Problèmes : déterminer un seuil
- Méthode 14 — Déterminer un seuil dans un problème

Définition 5 — Suite croissante, suite décroissante

La suite $(u_{n})$ est :

croissante si, pour tout $n$ , $u_{n + 1} ⩾ u_{n}$ ;
décroissante si, pour tout $n$ , $u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ ;
constante si, pour tout $n$ , $u_{n + 1} = u_{n}$ .

Avec $>$ ou $<$ , elle est strictement croissante ou décroissante. Si l'inégalité n'est vraie que pour $n ⩾ p$ , la suite est croissante (ou décroissante) à partir du rang $p$ .

Propriété 1 — Signe de la différence

Si, pour tout $n$ , $u_{n + 1} - u_{n} ⩾ 0$ , alors $(u_{n})$ est croissante.
Si, pour tout $n$ , $u_{n + 1} - u_{n} ⩽ 0$ , alors $(u_{n})$ est décroissante.

En effet, $u_{n + 1} - u_{n} ⩾ 0$ revient à $u_{n + 1} ⩾ u_{n}$ (on ajoute $u_{n}$ aux deux membres).

Méthode 10 — Étudier le sens de variation par la différence

Exemples corrigés

Étudier le sens de variation de chaque suite.

a)
$u_{n} = 2 n^{2} + n$ pour tout entier naturel $n$ .
b)
$v_{0} = 3$ et, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n + 1} = v_{n} - n^{2} - 1$ .
c)
$w_{n} = n^{2} - 6 n$ pour tout entier naturel $n$ .

Correction

On exprime d'abord

u_{n + 1}

on remplace

n

par

(n + 1)

u_{n + 1}

= 2 (n + 1)^{2} + (n + 1)

on recopie l'expression

u_{n + 1}

= 2 n^{2} + 4 n + 2 + n + 1

(n + 1)^{2} = n^{2} + 2 n + 1

u_{n + 1}

= 2 n^{2} + 5 n + 3

Puis la différence :

on soustrait

u_{n}

entre parenthèses

u_{n + 1} - u_{n}

= 2 n^{2} + 5 n + 3 - (2 n^{2} + n)

u_{n + 1} - u_{n}

= 2 n^{2} + 5 n + 3 - 2 n^{2} - n

le signe

-

change tous les signes

u_{n + 1} - u_{n}

= 4 n + 3

Comme

n ⩾ 0

, on a

4 n + 3 > 0

: la suite

(u_{n})

est strictement croissante.

une différence positive pour tout

n

v_{n + 1} - v_{n}

= v_{n} - n^{2} - 1 - v_{n}

on remplace

v_{n + 1}

par la relation

v_{n + 1} - v_{n}

= - n^{2} - 1

n^{2} ⩾ 0

, donc

- n^{2} - 1 < 0

: la suite

(v_{n})

est strictement décroissante.

pas besoin de

v_{0}

w_{n + 1}

= (n + 1)^{2} - 6 (n + 1)

on recopie l'expression

w_{n + 1}

= n^{2} + 2 n + 1 - 6 n - 6

w_{n + 1}

= n^{2} - 4 n - 5

w_{n + 1} - w_{n}

= n^{2} - 4 n - 5 - (n^{2} - 6 n)

w_{n + 1} - w_{n}

= 2 n - 5

les

n^{2}

s'éliminent

Signe de

2 n - 5

une inéquation du premier degré

2 n - 5

⩾ 0

2 n

⩾ 5

n

⩾ 2, 5

n

est entier : pour

n ⩾ 3

w_{n + 1} - w_{n} > 0

. La suite

(w_{n})

est strictement croissante à partir du rang

3

avant, elle décroît :

w_{0} = 0

w_{3} = - 9

À vous de jouer

Étudier le sens de variation de chaque suite.

a)
$a_{n} = 3 n^{2} + 2 n$ pour tout entier naturel $n$ .
b)
$b_{0} = 10$ et, pour tout entier naturel $n$ , $b_{n + 1} = b_{n} - 2 n^{2} - 3$ .
c)
$c_{n} = n^{2} - 8 n$ pour tout entier naturel $n$ .

Correction

a_{n + 1}

= 3 (n + 1)^{2} + 2 (n + 1)

on recopie l'expression

a_{n + 1}

= 3 n^{2} + 6 n + 3 + 2 n + 2

(n + 1)^{2} = n^{2} + 2 n + 1

a_{n + 1}

= 3 n^{2} + 8 n + 5

a_{n + 1} - a_{n}

= 3 n^{2} + 8 n + 5 - (3 n^{2} + 2 n)

a_{n + 1} - a_{n}

= 6 n + 5

Comme

n ⩾ 0

, on a

6 n + 5 > 0

(a_{n})

est strictement croissante.

une différence positive

b_{n + 1} - b_{n}

= b_{n} - 2 n^{2} - 3 - b_{n}

on remplace

b_{n + 1}

par la relation

b_{n + 1} - b_{n}

= - 2 n^{2} - 3

n^{2} ⩾ 0

, donc

- 2 n^{2} - 3 < 0

(b_{n})

est strictement décroissante.

une différence négative

c_{n + 1}

= (n + 1)^{2} - 8 (n + 1)

on recopie l'expression

c_{n + 1}

= n^{2} + 2 n + 1 - 8 n - 8

c_{n + 1}

= n^{2} - 6 n - 7

c_{n + 1} - c_{n}

= n^{2} - 6 n - 7 - (n^{2} - 8 n)

c_{n + 1} - c_{n}

= 2 n - 7

2 n - 7

⩾ 0

2 n

⩾ 7

n

⩾ 3, 5

Pour

n ⩾ 4

c_{n + 1} - c_{n} > 0

(c_{n})

est strictement croissante à partir du rang

4

n

est entier

À faire : exercices 25 à 28

Exercice 25 — Étudier le signe de la différence

Étudier le sens de variation de chaque suite.

a)
$u_{n} = 3 n^{2} + n$ pour tout entier naturel $n$ .
b)
$v_{0} = 1$ et, pour tout $n$ , $v_{n + 1} = v_{n} + n^{2} + 2$ .
c)
$w_{n} = n^{2} - 10 n$ pour tout entier naturel $n$ .

Corrigé

a)
$u_{n + 1} - u_{n}$
$= 3 (n + 1)^{2} + (n + 1) - (3 n^{2} + n)$
$u_{n + 1} - u_{n}$
$= 3 n^{2} + 6 n + 3 + n + 1 - 3 n^{2} - n$
$u_{n + 1} - u_{n}$
$= 6 n + 4$

$6 n + 4 > 0$ : $(u_{n})$ est $strictement croissante$ .
b)
$v_{n + 1} - v_{n} = n^{2} + 2 > 0$ : $(v_{n})$ est $strictement croissante$ .
c)
$w_{n + 1} - w_{n}$
$= (n + 1)^{2} - 10 (n + 1) - (n^{2} - 10 n)$
$w_{n + 1} - w_{n}$
$= n^{2} + 2 n + 1 - 10 n - 10 - n^{2} + 10 n$
$w_{n + 1} - w_{n}$
$= 2 n - 9$

$2 n - 9 ⩾ 0$ pour $n ⩾ 4, 5$ : $(w_{n})$ est $strictement croissante \overset{a}{ˋ} partir du rang 5$ .

Exercice 26 — Suites décroissantes

Montrer que chaque suite est décroissante.

a)
$u_{n} = 7 - 2 n^{2}$ pour tout entier naturel $n$ .
b)
$v_{0} = 5$ et, pour tout $n$ , $v_{n + 1} = v_{n} - (n - 3)^{2}$ .
c)
$w_{n} = \frac{1}{n + 1}$ pour tout entier naturel $n$ .

Corrigé

a)
$u_{n + 1} - u_{n} = 7 - 2 (n + 1)^{2} - 7 + 2 n^{2} = - 4 n - 2 < 0$ : $strictement d \overset{e}{ˊ} croissante$ .
b)
$v_{n + 1} - v_{n} = - (n - 3)^{2} ⩽ 0$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$ (avec $v_{4} = v_{3}$ , elle n'est pas strictement décroissante).
c)
$w_{n + 1} - w_{n}$
$= \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 1}$
$w_{n + 1} - w_{n}$
$= \frac{1 \times ( n + 1 )}{( n + 2 ) \times ( n + 1 )} - \frac{1 \times ( n + 2 )}{( n + 1 ) \times ( n + 2 )}$
même dénominateur
$w_{n + 1} - w_{n}$
$= \frac{- 1}{( n + 1 ) ( n + 2 )}$

Un numérateur négatif et un dénominateur positif : $strictement d \overset{e}{ˊ} croissante$ .

Exercice 27 — Conjecturer, puis démontrer

La suite $(u_{n})$ est définie par $u_{0} = 20$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 2 n - 7$ .

1.
Calculer $u_{1}$ à $u_{5}$ et conjecturer les variations de la suite.
2.
Exprimer $u_{n + 1} - u_{n}$ et étudier son signe.
3.
À partir de quel rang la suite est-elle croissante ?

Corrigé

1.
$u_{1} = 13$ ; $u_{2} = 8$ ; $u_{3} = 5$ ; $u_{4} = 4$ ; $u_{5} = 5$ : la suite semble décroître, puis croître à partir du rang $4$ .
2.
$u_{n + 1} - u_{n} = 2 n - 7$ , positif pour $n ⩾ 3, 5$ .
3.
La suite est $croissante \overset{a}{ˋ} partir du rang 4$ .

Exercice 28 — Un carré toujours positif

La suite $(v_{n})$ est définie par $v_{0} = 0$ et $v_{n + 1} = v_{n} + (v_{n} - 1)^{2}$ .

1.
Sans calculer de terme, montrer que $(v_{n})$ est croissante.
2.
Calculer $v_{1}$ , $v_{2}$ et $v_{3}$ . La suite est-elle strictement croissante ?

Corrigé

1.
$v_{n + 1} - v_{n} = (v_{n} - 1)^{2} ⩾ 0$ (un carré) : $(v_{n}) est croissante$ .
2.
$v_{1} = 0 + 1 = 1$ ; $v_{2} = 1 + 0 = 1$ ; $v_{3} = 1$ . La suite est constante à partir du rang $1$ : $elle n’est pas strictement croissante$ .

Chapitre 5 — Suites numériques · coursVII Sens de variation : signe de un+1​−un​

Définition 5 — Suite croissante, suite décroissante

Propriété 1 — Signe de la différence

Méthode 10 — Étudier le sens de variation par la différence

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 25 — Étudier le signe de la différence

Exercice 26 — Suites décroissantes

Exercice 27 — Conjecturer, puis démontrer

Exercice 28 — Un carré toujours positif

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