Chapitre 5 — Suites numériques · coursIX Sens de variation : fonction associée

Sommaire du chapitre

I — Définition d'une suite
- Méthode 1 — Repérer les termes et les rangs
- Méthode 2 — Trouver le premier rang d'une suite
II — Suites définies explicitement
- Méthode 3 — Calculer un terme d'une suite explicite
- Méthode 4 — Exprimer $u_{n + 1}$ et $u_{n - 1}$ en fonction de $n$
III — Suites définies par récurrence
- Méthode 5 — Calculer des termes de proche en proche
- Méthode 6 — Traduire une situation par une relation de récurrence
IV — Calculatrice
- Méthode 7 — Calculer des termes avec la calculatrice
V — Programmer en Python
- Méthode 8 — Programmer le calcul d'un terme en Python
VI — Représentation graphique
- Méthode 9 — Représenter une suite et conjecturer ses variations
VII — Sens de variation : signe de $u_{n + 1} - u_{n}$
- Méthode 10 — Étudier le sens de variation par la différence
VIII — Sens de variation : quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$
- Méthode 11 — Étudier le sens de variation par le quotient
IX — Sens de variation : fonction associée
- Méthode 12 — Étudier le sens de variation à l'aide d'une fonction
X — Notion de limite
- Méthode 13 — Conjecturer la limite d'une suite
XI — Problèmes : déterminer un seuil
- Méthode 14 — Déterminer un seuil dans un problème

Propriété 3 — Suite $u_{n} = f (n)$

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{n} = f (n)$ , où $f$ est une fonction définie sur $[0; + \infty [$ .

Si $f$ est croissante sur $[0; + \infty [$ , alors $(u_{n})$ est croissante.
Si $f$ est décroissante sur $[0; + \infty [$ , alors $(u_{n})$ est décroissante.

Les points $(n; u_{n})$ sont sur la courbe de $f$ : ils suivent ses variations.

Démonstration (cas croissant).

n

< n + 1

deux rangs qui se suivent

f (n)

⩽ f (n + 1)

f

croissante conserve l'ordre

u_{n}

⩽ u_{n + 1}

car

u_{n} = f (n)

u_{n + 1} = f (n + 1)

Méthode 12 — Étudier le sens de variation à l'aide d'une fonction

Exemples corrigés

Étudier le sens de variation de chaque suite, définie pour tout entier naturel $n$ .

a)
$u_{n} = n^{3} + 3 n^{2} + 2$
b)
$v_{n} = \frac{3 n + 1}{n + 2}$
c)
$w_{n} = n^{3} - 12 n$

Correction

On pose

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 2

sur

[0; + \infty [

u_{n} = f (n)

la fonction associée

f^{'} (x)

= 3 x^{2} + 6 x

on dérive

f^{'} (x)

= 3 x (x + 2)

on factorise pour le signe

Pour

x ⩾ 0

3 x ⩾ 0

x + 2 > 0

, donc

f^{'} (x) ⩾ 0

;

f

est croissante sur

[0; + \infty [

f^{'}

ne s'annule qu'en

0

La suite

(u_{n})

est donc strictement croissante.

propriété 3

On pose

f (x) = \frac{3 x + 1}{x + 2}

sur

[0; + \infty [

la fonction associée

f^{'} (x)

= \frac{3 ( x + 2 ) - ( 3 x + 1 ) \times 1}{( x + 2 ) ^{2}}

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

f^{'} (x)

= \frac{3 x + 6 - 3 x - 1}{( x + 2 ) ^{2}}

f^{'} (x)

= \frac{5}{( x + 2 ) ^{2}}

5 > 0

(x + 2)^{2} > 0

f^{'} (x) > 0

, donc

f

est strictement croissante.

un carré non nul est positif

La suite

(v_{n})

est donc strictement croissante.

propriété 3

On pose

f (x) = x^{3} - 12 x

sur

[0; + \infty [

la fonction associée

f^{'} (x)

= 3 x^{2} - 12

on dérive

f^{'} (x)

= 3 (x - 2) (x + 2)

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

f (2)

= 8 - 24 = - 16

image de la racine

2

f

est croissante sur

[2; + \infty [

: la suite

(w_{n})

est croissante à partir du rang

2

avant le rang

2

, elle décroît

À vous de jouer

Étudier le sens de variation de chaque suite, définie pour tout entier naturel $n$ .

a)
$a_{n} = 2 n^{3} + 6 n^{2} - 1$
b)
$b_{n} = \frac{2 n + 5}{n + 1}$
c)
$c_{n} = n^{3} - 27 n$

Correction

On pose

f (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2} - 1

sur

[0; + \infty [

la fonction associée

f^{'} (x)

= 6 x^{2} + 12 x

on dérive

f^{'} (x)

= 6 x (x + 2)

on factorise

Pour

x ⩾ 0

f^{'} (x) ⩾ 0

, donc

(a_{n})

est strictement croissante.

f

croissante, propriété 3

On pose

f (x) = \frac{2 x + 5}{x + 1}

sur

[0; + \infty [

la fonction associée

f^{'} (x)

= \frac{2 ( x + 1 ) - ( 2 x + 5 ) \times 1}{( x + 1 ) ^{2}}

dérivée d'un quotient

f^{'} (x)

= \frac{2 x + 2 - 2 x - 5}{( x + 1 ) ^{2}}

f^{'} (x)

= \frac{- 3}{( x + 1 ) ^{2}}

f^{'} (x) < 0

f

est strictement décroissante, donc

(b_{n})

aussi.

propriété 3

On pose

f (x) = x^{3} - 27 x

sur

[0; + \infty [

la fonction associée

f^{'} (x)

= 3 x^{2} - 27

on dérive

f^{'} (x)

= 3 (x - 3) (x + 3)

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

f (3)

= 27 - 81 = - 54

image de la racine

3

f

est croissante sur

[3; + \infty [

(c_{n})

est croissante à partir du rang

3

propriété 3

À faire : exercices 33 à 36

Exercice 33 — Étudier la fonction associée

Étudier le sens de variation de chaque suite, définie pour tout entier naturel $n$ .

a)
$u_{n} = n^{3} + 6 n^{2} + 1$
b)
$v_{n} = \frac{2 n + 3}{n + 1}$
c)
$w_{n} = n^{3} - 3 n^{2}$

Corrigé

a)
$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 1$ ; $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 12 x = 3 x (x + 4) ⩾ 0$ sur $[0; + \infty [$ : $(u_{n}) strictement croissante$ .
b)
$f (x) = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ ; $f^{'} (x) = \frac{2 ( x + 1 ) - ( 2 x + 3 )}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{- 1}{( x + 1 ) ^{2}} < 0$ : $(v_{n}) strictement d \overset{e}{ˊ} croissante$ .
c)
$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ ; $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ ; $f (2) = - 4$ .

$(w_{n}) croissante \overset{a}{ˋ} partir du rang 2$ .

Exercice 34 — D'autres fonctions

Étudier le sens de variation de chaque suite, définie pour tout entier naturel $n$ .

a)
$u_{n} = n^{2} - 8 n + 3$
b)
$v_{n} = 5 - \frac{4}{n + 2}$
c)
$w_{n} = \frac{n}{n ^{2} + 1}$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = 2 x - 8$ : $f$ décroît sur $[0; 4]$ , croît sur $[4; + \infty [$ : $(u_{n}) croissante \overset{a}{ˋ} partir du rang 4$ .
b)
$f (x) = 5 - \frac{4}{x + 2}$ ; $f^{'} (x) = \frac{4}{( x + 2 ) ^{2}} > 0$ : $(v_{n}) strictement croissante$ .
c)
$f^{'} (x) = \frac{( x ^{2} + 1 ) - x \times 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ , négatif pour $x ⩾ 1$ : $(w_{n}) d \overset{e}{ˊ} croissante \overset{a}{ˋ} partir du rang 1$ .

Exercice 35 — Une erreur fréquente

La suite $(u_{n})$ est définie par $u_{0} = 10$ et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , avec $f (x) = 0, 5 x + 2$ . Un élève affirme : « $f$ est croissante, donc $(u_{n})$ est croissante. »

1.
Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
2.
Que penser de l'affirmation de l'élève ?

Corrigé

1.
$u_{1} = 0, 5 \times 10 + 2 = 7$ ; $u_{2} = 5, 5$ ; $u_{3} = 4, 75$ .
2.
La suite décroît : $l’affirmation est fausse$ . La propriété ne vaut que pour une suite explicite $u_{n} = f (n)$ .

Exercice 36 — Suite croissante, fonction non croissante

Pour tout entier $n$ , on pose $u_{n} = (n - 0, 4)^{2}$ , et $f (x) = (x - 0, 4)^{2}$ sur $[0; + \infty [$ .

1.
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0; + \infty [$ .
2.
Calculer $u_{n + 1} - u_{n}$ et en déduire le sens de variation de $(u_{n})$ .
3.
Une suite croissante a-t-elle forcément une fonction associée croissante ?

Corrigé

1.
$f^{'} (x) = 2 (x - 0, 4)$ : $f$ décroît sur $[0; 0, 4]$ et croît sur $[0, 4; + \infty [$ .
2.
$u_{n + 1} - u_{n}$
$= (n + 0, 6)^{2} - (n - 0, 4)^{2}$
$u_{n + 1} - u_{n}$
$= (n + 0, 6 - n + 0, 4) (n + 0, 6 + n - 0, 4)$
$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
$u_{n + 1} - u_{n}$
$= 2 n + 0, 2$

$2 n + 0, 2 > 0$ : $(u_{n}) strictement croissante$ .
3.
$Non$ : ici la suite croît alors que $f$ n'est pas croissante sur $[0; + \infty [$ . La propriété du cours ne se renverse pas.

Chapitre 5 — Suites numériques · coursIX Sens de variation : fonction associée

Propriété 3 — Suite un​=f(n)

Méthode 12 — Étudier le sens de variation à l'aide d'une fonction

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 33 — Étudier la fonction associée

Exercice 34 — D'autres fonctions

Exercice 35 — Une erreur fréquente

Exercice 36 — Suite croissante, fonction non croissante

Propriété 3 — Suite $u_{n} = f (n)$