Chapitre 5 — Suites numériques · coursIV Calculatrice

Sommaire du chapitre

I — Définition d'une suite
- Méthode 1 — Repérer les termes et les rangs
- Méthode 2 — Trouver le premier rang d'une suite
II — Suites définies explicitement
- Méthode 3 — Calculer un terme d'une suite explicite
- Méthode 4 — Exprimer $u_{n + 1}$ et $u_{n - 1}$ en fonction de $n$
III — Suites définies par récurrence
- Méthode 5 — Calculer des termes de proche en proche
- Méthode 6 — Traduire une situation par une relation de récurrence
IV — Calculatrice
- Méthode 7 — Calculer des termes avec la calculatrice
V — Programmer en Python
- Méthode 8 — Programmer le calcul d'un terme en Python
VI — Représentation graphique
- Méthode 9 — Représenter une suite et conjecturer ses variations
VII — Sens de variation : signe de $u_{n + 1} - u_{n}$
- Méthode 10 — Étudier le sens de variation par la différence
VIII — Sens de variation : quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$
- Méthode 11 — Étudier le sens de variation par le quotient
IX — Sens de variation : fonction associée
- Méthode 12 — Étudier le sens de variation à l'aide d'une fonction
X — Notion de limite
- Méthode 13 — Conjecturer la limite d'une suite
XI — Problèmes : déterminer un seuil
- Méthode 14 — Déterminer un seuil dans un problème

Application `Suites` de la NumWorks

Pour	On fait
entrer une suite explicite	Onglet `Suites`, `Ajouter une suite`, `Explicite`, puis par exemple $u_{n} = n^{2} - 8 n + 20$ ( $n$ avec la touche $x, n, t$ ).
entrer une suite récurrente	`Ajouter une suite`, `Récurrente d'ordre 1`, puis la relation $u_{n + 1} = \dots$ ( $u_{n}$ se trouve dans la boîte à outils toolbox) et le premier terme $u_{0}$ .
afficher des termes	Onglet `Tableau`, `Régler l'intervalle` : `N début`, `N fin`.
représenter la suite	Onglet `Graphique` : les points $(n; u_{n})$ ; menu `Axes` pour régler la fenêtre.

Les intitulés peuvent varier selon la version du logiciel.

Méthode 7 — Calculer des termes avec la calculatrice

Exemples corrigés

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $u_{n} = n^{2} - 8 n + 20$ . La suite $(v_{n})$ est définie par $v_{0} = 1$ et $v_{n + 1} = 2 v_{n} + 3$ .

a)
Afficher les termes $u_{0}$ à $u_{8}$ et les recopier.
b)
Représenter $(u_{n})$ à la calculatrice.
c)
Donner $v_{10}$ et $v_{20}$ .

Correction

Explicite :

u_{n} = n^{2} - 8 n + 20

; Tableau : N début

0

, N fin

8

du rang

0

au rang

8

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$u_{n}$	$20$	$13$	$8$	$5$	$4$	$5$	$8$	$13$	$20$

Graphique, Axes :

X_{m i n} = 0

X_{m a x} = 9

Y_{m i n} = 0

Y_{m a x} = 22

un peu au-delà des valeurs du tableau

Récurrente d'ordre 1 :

v_{n + 1} = 2 v_{n} + 3

v_{0} = 1

la relation et le premier terme

Tableau jusqu'à

20

v_{10} = 4093

v_{20} = 4194301

la calculatrice enchaîne les termes à notre place

À vous de jouer

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $a_{n} = n^{2} - 6 n + 11$ . La suite $(b_{n})$ est définie par $b_{0} = 2$ et $b_{n + 1} = 3 b_{n} - 2$ .

a)
Afficher les termes $a_{0}$ à $a_{6}$ et les recopier.
b)
Représenter $(a_{n})$ à la calculatrice.
c)
Donner $b_{10}$ et $b_{15}$ .

Correction

Explicite :

a_{n} = n^{2} - 6 n + 11

; Tableau : N début

0

, N fin

6

du rang

0

au rang

6

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$a_{n}$	$11$	$6$	$3$	$2$	$3$	$6$	$11$

Graphique, Axes :

X_{m i n} = 0

X_{m a x} = 7

Y_{m i n} = 0

Y_{m a x} = 12

un peu au-delà des valeurs du tableau

Récurrente d'ordre 1 :

b_{n + 1} = 3 b_{n} - 2

b_{0} = 2

la relation et le premier terme

Tableau jusqu'à

15

b_{10} = 59050

b_{15} = 14348908

lecture dans le tableau

À faire : exercices 13 à 16

Exercice 13 — Afficher des termes

Pour tout entier $n$ , on pose $u_{n} = n^{2} - 10 n + 30$ ; la suite $(v_{n})$ est définie par $v_{0} = 3$ et $v_{n + 1} = 2 v_{n} - 2$ .

1.
Afficher les termes $u_{0}$ à $u_{10}$ et les recopier.
2.
Représenter $(u_{n})$ à la calculatrice avec une fenêtre adaptée.
3.
Donner $v_{10}$ et $v_{20}$ .

Corrigé

1.
Explicite, Tableau de $0$ à $10$ :

$n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
$u_{n}$ $30$ $21$ $14$ $9$ $6$ $5$ $6$ $9$ $14$ $21$ $30$
2.
Par exemple $X$ de $0$ à $11$ et $Y$ de $0$ à $32$ .
3.
Récurrente d'ordre 1 : $v_{10} = 1026$ et $v_{20} = 1048578$ .

Exercice 14 — Conjecturer une expression

La suite $(w_{n})$ est définie par $w_{0} = 1$ et $w_{n + 1} = w_{n} + 2 n + 1$ .

1.
À la calculatrice, afficher $w_{0}$ à $w_{6}$ , puis donner $w_{10}$ et $w_{50}$ .
2.
Conjecturer une expression de $w_{n}$ en fonction de $n$ .

Corrigé

1.
$w_{0}$ à $w_{6}$ : $1$ ; $2$ ; $5$ ; $10$ ; $17$ ; $26$ ; $37$ . Puis $w_{10} = 101$ et $w_{50} = 2501$ .
2.
Chaque terme est un carré plus $1$ : $w_{n} = n^{2} + 1$ .

Exercice 15 — Représenter et conjecturer

Pour tout entier $n$ , on pose $t_{n} = \frac{20}{n + 1}$ .

1.
Afficher les termes $t_{0}$ à $t_{9}$ (arrondis à $0, 01$ ).
2.
Représenter la suite à la calculatrice et conjecturer son sens de variation.

Corrigé

1.
$20$ ; $10$ ; $6, 67$ ; $5$ ; $4$ ; $3, 33$ ; $2, 86$ ; $2, 5$ ; $2, 22$ ; $2$ .
2.
Les points descendent : la suite semble $d \overset{e}{ˊ} croissante$ .

Exercice 16 — Le carré ou la puissance ?

Pour tout entier $n$ , on pose $u_{n} = n^{2}$ et $v_{n} = 2^{n}$ .

1.
Afficher côte à côte les termes $u_{0}$ à $u_{10}$ et $v_{0}$ à $v_{10}$ .
2.
Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $u_{n} > v_{n}$ ? $u_{n} = v_{n}$ ?
3.
Que peut-on conjecturer pour $n ⩾ 5$ ?

Corrigé

1.
$n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
$n^{2}$ $0$ $1$ $4$ $9$ $16$ $25$ $36$ $49$ $64$ $81$ $100$
$2^{n}$ $1$ $2$ $4$ $8$ $16$ $32$ $64$ $128$ $256$ $512$ $1024$
2.
$u_{n} > v_{n}$ seulement pour $n = 3$ ; $u_{n} = v_{n}$ pour $n = 2$ et $n = 4$ .
3.
On conjecture que, pour $n ⩾ 5$ , $2^{n} > n^{2}$ : l'écart grandit vite.

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$u_{n}$	$30$	$21$	$14$	$9$	$6$	$5$	$6$	$9$	$14$	$21$	$30$

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$n^{2}$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$	$49$	$64$	$81$	$100$
$2^{n}$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$	$64$	$128$	$256$	$512$	$1024$

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Méthode 7 — Calculer des termes avec la calculatrice

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 13 — Afficher des termes

Exercice 14 — Conjecturer une expression

Exercice 15 — Représenter et conjecturer

Exercice 16 — Le carré ou la puissance ?

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