Chapitre 5 — Suites numériques · coursV Programmer en Python

Sommaire du chapitre

I — Définition d'une suite
- Méthode 1 — Repérer les termes et les rangs
- Méthode 2 — Trouver le premier rang d'une suite
II — Suites définies explicitement
- Méthode 3 — Calculer un terme d'une suite explicite
- Méthode 4 — Exprimer $u_{n + 1}$ et $u_{n - 1}$ en fonction de $n$
III — Suites définies par récurrence
- Méthode 5 — Calculer des termes de proche en proche
- Méthode 6 — Traduire une situation par une relation de récurrence
IV — Calculatrice
- Méthode 7 — Calculer des termes avec la calculatrice
V — Programmer en Python
- Méthode 8 — Programmer le calcul d'un terme en Python
VI — Représentation graphique
- Méthode 9 — Représenter une suite et conjecturer ses variations
VII — Sens de variation : signe de $u_{n + 1} - u_{n}$
- Méthode 10 — Étudier le sens de variation par la différence
VIII — Sens de variation : quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$
- Méthode 11 — Étudier le sens de variation par le quotient
IX — Sens de variation : fonction associée
- Méthode 12 — Étudier le sens de variation à l'aide d'une fonction
X — Notion de limite
- Méthode 13 — Conjecturer la limite d'une suite
XI — Problèmes : déterminer un seuil
- Méthode 14 — Déterminer un seuil dans un problème

Méthode 8 — Programmer le calcul d'un terme en Python

Exemples corrigés

On reprend la suite $(v_{n})$ définie par $v_{0} = 1$ et $v_{n + 1} = 2 v_{n} + 3$ .

a)
Écrire une fonction terme_v(n) qui renvoie $v_{n}$ .
b)
Que renvoie terme_v(10) ?

Correction

def terme_v(n):
    v = 1
    for i in range(n):
        v = 2*v + 3
    return v

v = 1 donne $v_{0}$ ; la boucle tourne $n$ fois, de $v_{0}$ à $v_{n}$ ; dans v = 2*v + 3, le nouveau v est le terme suivant, l'ancien est le terme précédent

terme_v(10) renvoie 4093 :

v_{10} = 4093

comme avec la calculatrice

À vous de jouer

On reprend la suite $(b_{n})$ définie par $b_{0} = 2$ et $b_{n + 1} = 3 b_{n} - 2$ .

a)
Écrire une fonction terme_b(n) qui renvoie $b_{n}$ .
b)
Que renvoie terme_b(10) ?

Correction

def terme_b(n):
    b = 2
    for i in range(n):
        b = 3*b - 2
    return b

terme_b(10) renvoie 59050 :

b_{10} = 59050

comme avec la calculatrice

À faire : exercices 17 à 20

Exercice 17 — Écrire la fonction

La suite $(v_{n})$ est définie par $v_{0} = 4$ et $v_{n + 1} = 3 v_{n} - 5$ .

1.
Écrire une fonction terme_v(n) qui renvoie $v_{n}$ .
2.
Que renvoie terme_v(10) ?

Corrigé

def terme_v(n):
    v = 4
    for i in range(n):
        v = 3*v - 5
    return v

terme_v(10) renvoie $88576$ .

Exercice 18 — Lire un programme

On considère la fonction ci-dessous.

def mystere(n):
    u = 5
    for i in range(n):
        u = u/2 + 3
    return u

1.
Quelle suite cette fonction calcule-t-elle ? Donner son premier terme et sa relation de récurrence.
2.
Calculer à la main ce que renvoient mystere(1), mystere(2) et mystere(3).

Corrigé

1.
La suite définie par $u_{0} = 5$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{2} + 3$ : la fonction renvoie $u_{n}$ .
2.
$mystere(1) = \frac{5}{2} + 3 = 5, 5$ ; $mystere(2) = \frac{5 , 5}{2} + 3 = 5, 75$ ; $mystere(3) = \frac{5 , 75}{2} + 3 = 5, 875$ .

Exercice 19 — Une relation qui dépend de $n$

La suite $(w_{n})$ est définie par $w_{0} = 0$ et $w_{n + 1} = w_{n} + 2 n + 3$ .

def terme_w(n):
    w = 0
    for i in range(n):
        w = ..........
    return w

1.
Calculer $w_{1}$ , $w_{2}$ et $w_{3}$ .
2.
Compléter la fonction (dans la boucle, i joue le rôle de $n$ ).
3.
Que renvoie terme_w(10) ?

Corrigé

1.
$w_{1} = 0 + 0 + 3 = 3$ ; $w_{2} = 3 + 2 + 3 = 8$ ; $w_{3} = 8 + 4 + 3 = 15$ .
2.
Ligne à compléter : w = w + 2*i + 3.
3.
terme_w(10) renvoie $120$ .

→ À la première boucle, i vaut $0$ : on calcule bien $w_{1}$ à partir de $w_{0}$ .

Exercice 20 — La suite de Fibonacci

La suite $(f_{n})$ est définie par $f_{0} = 1$ , $f_{1} = 1$ et, pour tout $n$ , $f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_{n}$ : chaque terme est la somme des deux précédents.

def fibo(n):
    a = 1
    b = 1
    for i in range(n-1):
        a, b = b, ..........
    return b

1.
Calculer $f_{2}$ à $f_{6}$ .
2.
Compléter la fonction (a et b contiennent deux termes qui se suivent) pour qu'elle renvoie $f_{n}$ , pour $n ⩾ 1$ .
3.
Que renvoie fibo(20) ?

Corrigé

1.
$f_{2} = 2$ ; $f_{3} = 3$ ; $f_{4} = 5$ ; $f_{5} = 8$ ; $f_{6} = 13$ .
2.
Ligne à compléter : a, b = b, a + b (le nouveau terme est la somme des deux précédents).
3.
fibo(20) renvoie $10946$ .

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Méthode 8 — Programmer le calcul d'un terme en Python

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 17 — Écrire la fonction

Exercice 18 — Lire un programme

Exercice 19 — Une relation qui dépend de n

Exercice 20 — La suite de Fibonacci

Exercice 19 — Une relation qui dépend de $n$